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4.3.2 对数的运算
第1课时 对数的运算
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点　对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
注意点：
(1)性质的逆运算仍然成立．
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义．
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.计算：log123＋log124等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
2.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝logax；⑤＝loga.其中正确的有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：A
解析：根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③与⑤正确．
3.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　)
A.x＝ B.x＝ C.x＝a＋3b－5c D.x＝a＋b3－c3
答案：A
解析：lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg，由lg x＝lg，可得x＝.
4.设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A.a－2 B.3a－(1＋a)2 C.5a－2 D.－a2＋3a－1
答案：A
解析：∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
5.若lg 2＝m，则lg 5等于(　　)
A.m B. C.1－m D.
答案：C
解析：lg 5＝lg ＝lg 10－lg 2＝1－m.
6.化简log612－2log6的结果为(　　)
A.6 B.12 C.log6 D.
答案：C
解析：原式＝log6－log62＝log6＝log6.
7.下列计算正确的是(　　)
A.(a3)2＝a9 B.log26－log23＝1 C. D.log3(－4)2＝2log3(－4)
答案：B
解析：由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2＝a6，＝a0＝1，∴A，C不正确；由对数的运算性质，可得log26－log23＝log2＝log22＝1，∴B正确；根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log3(－4)，而log3(－4)无意义，∴D不正确．
8.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)
A.2 B. C.100 D.
答案：C
解析：∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，∴lg(ab)＝2，∴ab＝100.
9.(多选)已知f(x)＝log5x，则对任意的a，b∈(0，＋∞)，下列关系成立的是(　　)
A.f(ab)＝f(a)＋f(b) B.f(ab)＝f(a)f(b) C.f ＝f(a)＋f(b) D.f ＝f(a)－f(b)
答案：AD
解析：∵f(x)＝log5x，a，b∈(0，＋∞)，∴f(ab)＝log5(ab)＝log5a＋log5b＝f(a)＋f(b)，f ＝log5＝log5a－log5b＝f(a)－f(b)．
10.如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根为α，β，则α·β的值是(　　)
A. B.lg 35 C.lg 7·lg 5 D.35
答案：A
解析：由题意知，lg α，lg β是一元二次方程x2＋(lg 7＋lg 5)x＋lg 7·lg 5＝0的两根，依据根与系数的关系得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)，lg(α·β)＝lg(7×5)-1，∴α·β＝.
二、填空题
11.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg ＝_________.
答案：b＋3a－1
解析：lg ＝lg 12－lg 5＝lg(3×22)－(1－lg 2)＝lg 3＋lg 22－1＋lg 2＝lg 3＋3lg 2－1＝b＋3a－1.
12.lg ＋lg 的值是________．
答案：1
解析：原式＝lg ＝lg 10＝1.
13.设alog34＝2，则4-a＝__________.
答案：
解析：∵alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，则4-a＝＝.
14.已知xlog32＝1，则2x＋2 - x＝__________.
答案：
解析：由xlog32＝1，可知log32x＝1，即2x＝3，故2x＋2 - x＝3＋＝.
15.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc) ＝__________.
答案：
解析：x＝a2＝b＝c4，∴(abc)4＝x7，∴，即logx(abc)＝.
三、解答题
16.求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；(4)log35－log315；(5).
解：(1)方法一　log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7.
方法二　log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg 5＋lg 2＝lg(5×2)＝lg 10＝1.
(3)ln 3＋ln ＝ln＝ln 1＝0.
(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33- 1＝－1.
(5) ＝
＝
＝＝＝＝1.
17.用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg .
解：(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg(xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z.
18.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；(2)；(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
(4)lg －lg ＋lg ；(5)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解：(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
(4)方法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－××lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
方法二　原式＝lg －lg 4＋lg 7＝lg ＝lg(·)＝lg ＝.
(5)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2
＝2＋1＝3.
19.已知lg 2＝a，lg 3＝b.
(1)求lg 72，lg 4.5；
(2)若lg x＝a＋b－2，求x的值．
解：(1)lg 72＝lg(23×32)＝3lg 2＋2lg 3＝3a＋2b；
lg 4.5＝lg ＝2lg 3－lg 2＝2b－a.
(2)lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2＝lg 2＋lg 3＋lg ＝lg ，
∴x＝＝0.06.
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4.3.2 对数的运算
第1课时 对数的运算
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点　对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
注意点：
(1)性质的逆运算仍然成立．
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义．
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.计算：log123＋log124等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝logax；⑤＝loga.其中正确的有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　)
A.x＝ B.x＝ C.x＝a＋3b－5c D.x＝a＋b3－c3
4.设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A.a－2 B.3a－(1＋a)2 C.5a－2 D.－a2＋3a－1
5.若lg 2＝m，则lg 5等于(　　)
A.m B. C.1－m D.
6.化简log612－2log6的结果为(　　)
A.6 B.12 C.log6 D.
7.下列计算正确的是(　　)
A.(a3)2＝a9 B.log26－log23＝1 C. D.log3(－4)2＝2log3(－4)
8.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)
A.2 B. C.100 D.
9.(多选)已知f(x)＝log5x，则对任意的a，b∈(0，＋∞)，下列关系成立的是(　　)
A.f(ab)＝f(a)＋f(b) B.f(ab)＝f(a)f(b) C.f ＝f(a)＋f(b) D.f ＝f(a)－f(b)
10.如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根为α，β，则α·β的值是(　　)
A. B.lg 35 C.lg 7·lg 5 D.35
二、填空题
11.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg ＝_________.
12.lg ＋lg 的值是________．
13.设alog34＝2，则4 - a＝__________.
14.已知xlog32＝1，则2x＋2 - x＝__________.
15.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc) ＝__________.
三、解答题
16.求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；(4)log35－log315；(5).
17.用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg .
18.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；(2)；(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
(4)lg －lg ＋lg ；(5)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
19.已知lg 2＝a，lg 3＝b.
(1)求lg 72，lg 4.5；
(2)若lg x＝a＋b－2，求x的值．
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4.3.2 对数的运算
第2课时 换底公式
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点　换底公式
1.对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2.对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．
(2) (a>0，且a≠1，b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
注意点：
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A.3 B.8 C.4 D.log48
答案：A
解析：由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.
2.的值是(　　)
A. B. C.1 D.2
答案：A
解析：方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即＝＝·＝.
方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即＝＝＝.
3.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：log36＝＝＝.
4.已知x，y为正实数，则(　　)
A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
答案：D
解析：2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.
5.等于(　　)
A.lg 3 B.－lg 3 C. D.－
答案：C
解析：原式=.
6.已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　)
A.a＝bc B.b2＝ac C.c＝ab D.c2＝ab
答案：C
解析：由题意，令log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，∴c＝6k＝(2×3)k＝2k×3k＝ab.
7.若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝2 D.＋＝
答案：A
解析：由题意知，a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B不正确；＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确．
8.若＝log35，则5m＋5－m的值为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：由于＝log35，所以m＝log53，.
9.设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　)
A．p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D．pq
答案：C
解析：∵log83＝＝＝p，∴lg 3＝3plg 2.∵log35＝＝q，∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝.
10. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，则火箭的最大速度(单位：m/s)为(　　)
A. 2 198 m/s B. 2 000 m/s C. 2 918 m/s D. 2 819 m/s
答案：A
解析：因为v＝ln2 000＝2 000·ln，所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
二、填空题
11.计算：log5·log36·log6＝________.
答案：2
解析：原式＝··＝··＝2.
12.已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是__________．
答案：2
解析：因为2a＝5b＝M，且＋＝2，所以a＝log2M，b＝log5M，所以＝logM2，＝logM5，所以＋＝logM4＋logM5＝logM20＝2，所以M2＝20，又M>0，所以M＝2.
13.(1) (log43＋log83)(log32＋log92) __________．
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值__________．
答案：(1) (2)
解析：(1)原式＝＝·＝×＝.
(2)方法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝＝＝.
方法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝＝＝.
14.已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值__________．
答案：
解析：∵3a＝5b＝c，∴c>0，∴a＝log3c，b＝log5c，∴＝logc3，＝logc5，∴＋＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝(负值舍去)．
15.已知函数f(x)＝ln(－x)＋2，则f(lg 5)＋f ＝________.
答案：4
解析：∵f(x)＝ln(－x)＋2，∴f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋2＋ln(＋x)＋2＝ln 1＋4＝4，则f(lg 5)＋f ＝f(lg 5)＋f(－lg 5)＝4.
三、解答题
16.计算下列各式的值：
(1)；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋＝log5＋＝log553－1＝2.
(2)方法一　原式＝
＝
＝log25·3log52＝13log25·＝13.
方法二　原式＝
＝＝＝13.
17.设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
证明：设xa＝yb＝zc＝k，k>0，则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk.
因为＋＝，所以＋＝，即logkx＋logky＝logkz.
所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy.
18.(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解：(1)方法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
19.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y.
解：由换底公式，得logax＋－＝3(a>1)，
∴logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t(t≠0)，∴logay＝t2－3t＋3.
∴y＝at2－3t＋3(t≠0)．
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4.3.2 第2课时 换底公式 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
4.3.2 对数的运算
第2课时 换底公式
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知识点　换底公式
1.对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2.对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．
(2) (a>0，且a≠1，b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
注意点：
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A.3 B.8 C.4 D.log48
2.的值是(　　)
A. B. C.1 D.2
3.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)
A. B. C. D.
4.已知x，y为正实数，则(　　)
A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
5.等于(　　)
A.lg 3 B.－lg 3 C. D.－
6.已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　)
A.a＝bc B.b2＝ac C.c＝ab D.c2＝ab
7.若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝2 D.＋＝
8.若＝log35，则5m＋5－m的值为(　　)
A. B. C. D.
9.设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　)
A．p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D．pq
10. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，则火箭的最大速度(单位：m/s)为(　　)
A. 2 198 m/s B. 2 000 m/s C. 2 918 m/s D. 2 819 m/s
二、填空题
11.计算：log5·log36·log6＝________.
12.已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是__________．
13.(1) (log43＋log83)(log32＋log92) __________．
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值__________．
14.已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值__________．
15.已知函数f(x)＝ln(－x)＋2，则f(lg 5)＋f ＝________.
三、解答题
16.计算下列各式的值：
(1)；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
17.设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
18.(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
19.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y.
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4.3.2 第2课时 换底公式 1/1

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