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2023年高考数学考点复习——排列组合
考点一、排列
例1、，，，，五人站成一排，如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例2、七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例3、某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ）
A．216种 B．240种 C．288种 D．384种
跟踪练习
1、，，，，，六名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．，，去询问成绩，回答者对说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对说：“你的名次在之前．”对说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，人的名次排列情况种数共有（ ）
A． B． C． D．
2、十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
3、为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（ ）
A． B． C． D．
4、甲 乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲 乙两人分配到延安 西安 汉中这3个赛区，则甲 乙都被分到汉中赛区的概率为（ ）
A． B． C． D．
5、将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)
6、某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》 《英雄赞歌》 《唱支山歌给党听》 《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》 《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有___________种.
7、杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）
8、6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（　　）
A．288种 B．144种 C．96种 D．48种
9、由1，2，3，4，5，6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1必须排在前两位，且2，3，4必须排在一起，则这样的六位数共有（ ）
A．48个 B．60个 C．72个 D．84个
10、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ）
A．42种 B．96种 C．120种 D．144种
11、一只口袋内装有个白球，个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第次摸出的是白球的概率为________．
12、某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
考点二 组合
例1、从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（ ）
A．10 B．20 C．540 D．1080
例2、试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有___________种．
例3、某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
跟踪练习
1、某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲 乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到和两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲 乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
2、某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有___________种（请用数字作答）
3、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的数学期望______．
4、从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．55 C．30 D．25
5、国外新冠肺炎不断扩散蔓延，某地8名防疫工作人员到A、B、C、D四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区、A社区安排1名、B社区安排2名、C社区安排3名，剩下的人员到D社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．39种 B．168种
C．1268种 D．1680种
6、从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）
A．84 B．168 C．240 D．252
7、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的数学期望______．
考点三 排列组合综合运用
例1、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（ ）
A．720 B．100 C．150 D．345
例2、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲 乙两人，要求每人至少分得份，则不同的分法共有（ ）
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
例3、将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（ ）
A．24种 B．36种 C．60种 D．72种
跟踪练习
1、现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420种 B．780种 C．540种 D．480种
2、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（ ）
A．720 B．100 C．150 D．345
3、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲 乙两人，要求每人至少分得份，则不同的分法共有（ ）
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
4、现有甲、乙、丙、丁四名义工到，，三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
5、5名同学到甲 乙 丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲 乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
6、某部门安排甲 乙 丙 丁 戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲 乙两名专家必须安排在同一地工作，丙 丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
7、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算） 太乙算 两仪算 三才算 五行算 八卦算 九宫算 运筹算 了知算 成数算 把头算 龟算 珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
8、一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．36 B．48 C．72 D．120
9、年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
10、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ）．
A．204 B．260 C．384 D．480
11、从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
12、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ）．
A．204 B．260 C．384 D．480
13、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
14、2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的，，三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.
15、南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．2023年高考数学考点复习——排列组合
考点一、排列
例1、，，，，五人站成一排，如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
答案：A
解析：，必须相邻且在的右边，考虑，作为一个整体，
所以不同的排法种数为种.故选：A
例2、七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
答案：D
解析：特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．
故选：D
例3、某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ）
A．216种 B．240种 C．288种 D．384种
答案：D
解析：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，
乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，
所以6人的名次排列情况可能有种．
故选：D．
跟踪练习
1、，，，，，六名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．，，去询问成绩，回答者对说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对说：“你的名次在之前．”对说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，人的名次排列情况种数共有（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为，，都没有得到冠军，所以从，，中选一个为冠军，有种可能．
因为不是最后一名，的名次又在之前，所以最后一名有种可能，剩下个位置．
因为，定序，所以有种可能，
所以人的名次排列有种不同情况．
故选：A
2、十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：用根算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为；；；，
三位数有；；；这四种情况每一种情况三个数的全排列，有种，
能被整除的基本事件的个数为的全排列，有种，
所以这个三位数能被3整除的概率为，
故选：A.
3、为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：总共的降落方法有(种)，
1号与6号相邻降落的方法有：(种)
1号与6号相邻降落的概率为：，
故选:D
4、甲 乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲 乙两人分配到延安 西安 汉中这3个赛区，则甲 乙都被分到汉中赛区的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：当甲 乙两人分配到不同的赛区时，有种分法，
当甲 乙两人分配到相同的赛区时，有3种分法，
则总共有6+3=9种分法，
而甲 乙都被分到汉中赛区仅1种分法，
所以甲 乙都被分到汉中赛区的概率为.
故选：A.
5、将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)
答案：48
解析：
根据题意，分3步进行分析：
安排甲乙丙，要求甲、乙均在丙的同侧，有种情况；
将戊安排在3人的空位中，有4种情况；
4人排好后，有5个空位，由于丙丁不相邻，则丁的安排方法有3种；
则有种不同的排法，
故答案为：48．
6、某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》 《英雄赞歌》 《唱支山歌给党听》 《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》 《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有___________种.
答案：120
解析：根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，
在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有种安排方法，
则有种不同的安排方法，
故答案为：120.
7、杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）
答案：
解析：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有种选拔方法；
②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法；
③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有种选拔方法；
④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法，则有.
故答案为：
8、6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（　　）
A．288种 B．144种 C．96种 D．48种
答案：B
解析：把甲乙两人捆绑成一个元素，有种排法，现在相当于有5个元素排在5个位置上，先将丙排在中间3个位置中的某一个，有种排法，再将剩余的4个元素排在剩余的4个位置上，有种排法，所以共有种排法.
故选:B.
9、由1，2，3，4，5，6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1必须排在前两位，且2，3，4必须排在一起，则这样的六位数共有（ ）
A．48个 B．60个 C．72个 D．84个
答案：B
解析：把2，3，4捆绑在一起，作为一个元素排列，当1排在第一位时，有种排法；
当1排在第二位时，2，3，4作为一个元素只能排在第三、四、五位或第四、五、六位，故共有种排法.
由分类加法计数原理得，共有60种排法.
故选：B.
10、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ）
A．42种 B．96种 C．120种 D．144种
答案：C
解析：因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，
所以课程编排方案共有种，
故选：C.
11、一只口袋内装有个白球，个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第次摸出的是白球的概率为________．
答案：
解析：将个白球和个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，
每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为，
其中第个球是白球的排法数为，
故所求概率为，故答案为：
12、某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
答案：
解析：一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种故答案为：.
考点二 组合
例1、从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（ ）
A．10 B．20 C．540 D．1080
答案：A
解析：从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，
即6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1个，
等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个，
将6个小球排成一排，除去两端共有5个空，
从中任取2个插入挡板，共有（种）方法，
即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，不同的选取方案数为10.
故选：A
例2、试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有___________种．
答案：60
解析：先选一个人安排到甲村，有种方法；再从剩下的5个人中选2个人安排到乙村，有,最后把剩下的3个人安排到丙村，有种方法，根据乘法分步原理共有种方法.
故答案为：60
例3、某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
答案：A
解析：从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）
故选：A
跟踪练习
1、某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲 乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到和两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲 乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
答案：B
解析：由题意，分情况讨论，若和两个社区一个社区1个志愿者，另一个社区3个志愿者，则只需让甲或乙单独去一个社区即可，共种情况；
若和两个社区分别有两个志愿者，则共有种情况；
因此共：种不同的分配方案
故选：B
2、某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有___________种（请用数字作答）
答案：20
解析：先将亮的7盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有6个符合条件的空位，进而在6个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有种方法.
故答案为：20
3、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的数学期望______．
答案：
解析：从9个球中任取3个球有种不同的方法，
1-9中能被3整除的有3,6,9，除3余1的有1,4,7，除3余2的有2,5,8，
故将1-9划分为以上三类，显然来自同一类的三个数和为3的倍数，每个类别抽1个的三个数和也为3的倍数（其余数为0+1+2=3为3的倍数），所以在其中取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有种，所以取出的3个球的标号之和能被3整除的概率．
由题意知的所有可能取值为0，1，2，取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有：
①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个；
②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个；
③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个．
则．
取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：
①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个；
②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个；
③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个，
则，
所以．
故答案为：；．
4、从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．55 C．30 D．25
答案：B
解析：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，
若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，
则有种不同的选取方案，故选：B．
5、国外新冠肺炎不断扩散蔓延，某地8名防疫工作人员到A、B、C、D四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区、A社区安排1名、B社区安排2名、C社区安排3名，剩下的人员到D社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．39种 B．168种
C．1268种 D．1680种
答案：D
解析：首先从8名工作人员中选1名去A社区，方法数有；然后从其余7名工作人员中选2名去B社区，方法数有；再从其余5名工作人员中选3名去C社区，方法数有：最后剩下的2名工作人员去D社区，故不同的安排方法共有种.
故选：D.
6、从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）
A．84 B．168 C．240 D．252
答案：B
解析：根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，
即从9个球中取出3个，有种，而这3个球的排法有2×1×1=2种，
则共有种，
故选:B.
7、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的数学期望______．
答案：
解析：从9个球中任取3个球有种不同的方法，
1-9中能被3整除的有3,6,9，除3余1的有1,4,7，除3余2的有2,5,8，
故将1-9划分为以上三类，显然来自同一类的三个数和为3的倍数，每个类别抽1个的三个数和也为3的倍数（其余数为0+1+2=3为3的倍数），所以在其中取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有种，所以取出的3个球的标号之和能被3整除的概率．
由题意知的所有可能取值为0，1，2，取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有：
①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个；
②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个；
③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个．
则．
取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：
①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个；
②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个；
③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个，
则，
所以．
故答案为：；．
考点三 排列组合综合运用
例1、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（ ）
A．720 B．100 C．150 D．345
答案：B
解析：根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分为3组，
若分为的三组，有种分组方法，
若分为的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
②将甲所在的组安排在或班，剩下2组任意安排，有种安排方法，
则有种分配方案；
故选：B．
例2、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲 乙两人，要求每人至少分得份，则不同的分法共有（ ）
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
答案：B
解析：4份不同的礼物分成两组有两种情况：1份和份；份和份；
所以不同的分法有种，
故选：B.
例3、将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（ ）
A．24种 B．36种 C．60种 D．72种
答案：B
解析：先取2人为一组有种取法，取出的2人与剩余2人看作三组安排不同工作有种，
根据分步乘法计数原理不同的安排方式共有
故选：B
跟踪练习
1、现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420种 B．780种 C．540种 D．480种
答案：B
解析：依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图.
①若用5种颜色完成涂色，则种方法；
②若用4种颜色完成涂色，颜色有种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有种；
③若用3种颜色完成涂色，颜色有种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有种.
所以不同的着色方法共有种.
故选：B.
2、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（ ）
A．720 B．100 C．150 D．345
答案：B
解析：根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分为3组，
若分为的三组，有种分组方法，
若分为的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
②将甲所在的组安排在或班，剩下2组任意安排，有种安排方法，
则有种分配方案；
故选：B．
3、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲 乙两人，要求每人至少分得份，则不同的分法共有（ ）
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
答案：B
解析：4份不同的礼物分成两组有两种情况：1份和份；份和份；
所以不同的分法有种，
故选：B.
4、现有甲、乙、丙、丁四名义工到，，三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是，其中甲被分到社区的方法数是，因此甲被分到社区的概率．
故选：A．
5、5名同学到甲 乙 丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲 乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
答案：C
解析：根据题意，分2种情况讨论：
①将5人分为1、1、3的三组，
此时5人分三组有种分组方法，
分配到甲、乙两个社区的人数不同，有种情况，
则此时有种分配方法；
②将5人分为1、2、2的三组，
此时5人分三组有种分组方法，
分配到甲、乙两个社区的人数不同，有种情况，
则此时有种分配方法；
则有种分配方法，
故选：C
6、某部门安排甲 乙 丙 丁 戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲 乙两名专家必须安排在同一地工作，丙 丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
答案：B
解析：因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，
所以不同的分配方法种数有：.
故选：B.
7、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算） 太乙算 两仪算 三才算 五行算 八卦算 九宫算 运筹算 了知算 成数算 把头算 龟算 珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为，再分配给3个人，方法种数为.
故选：A.
8、一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．36 B．48 C．72 D．120
答案：B
解析：先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法；②若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法．
故选：B．
9、年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
答案：A
解析：①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列即可，有种情况；
②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；
③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；
不同的分析情况共有种．
故选：A.
10、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ）．
A．204 B．260 C．384 D．480
答案：C
解析：两个数字之和等于5的情形只有两种：．
下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有种方法，若2，3都选取，则有种方法．
由乘法原理可得：方法．
同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有方法．
利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为种方法．
故选：C
11、从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
答案：A
解析：由题意分类讨论：
（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).
（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.
（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）
由分类加法计数原理得共有(个)．
故选：A．
12、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ）．
A．204 B．260 C．384 D．480
答案：C
解析：两个数字之和等于5的情形只有两种：．
下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有种方法，若2，3都选取，则有种方法．
由乘法原理可得：方法．
同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有方法．
利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为种方法．
故选：C
13、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
答案：B
解析：由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种
所以每位同学的不同选修方式有种，
故选：B.
14、2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的，，三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.
答案：
解析：分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，
当分成1，1，3时，有种情况，当分成1，2，2时，有种情况；
第二步，把这三组分到三个城市.则共有种情况.
城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.
则共有（种），
因此所求概率.
故答案为：
15、南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．
答案：156
解析：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：
先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，
所以小李和小王不受限制的排法有种，
若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：
在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，
再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，
最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况，
则小李和小王在一起的排法有种，
所以小李和小不在一起的排法有种，
故答案为：156

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