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2023年高考数学考点复习——期望与方差
考点一、期望与方差
例1、若随机变量，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为，，则，解得，
所以.故选：D.
例2、设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案：C
解析：二项式展开式的通项公式为，
又，
∴，，
即 ，解得：，
此时，，经检验可得，，
∴，，故选：C
例3、若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为随机变量，
所以，，
所以，，D项错误，
故选：D.
跟踪练习
1、袋中有大小相同的2红4绿共6个小球，随机从中摸取1个小球，甲方案为有放回地连续摸取3次，乙方案为不放回地连续摸取3次．记甲方案下红球出现的次数为随机变量，乙方案下红球出现的次数为随机变量，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案：C
解析：由题意知，，故.
,则，，
，则，
.
则，.
故选：C.
2、（多选）下列说法正确的有（ ）
A．，且，则
B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则
答案：BD
解析：A：由，，则，所以，故不正确；
B：若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确；
C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；
D：在某项测量中，测量结果服从正态分布，由于正态曲线关于对称，则，正确．
故选：BD．
3、（多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
答案：ACD
解析：从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，
并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，
取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
，记其概率为，故B错误；
因为，所以的期望，故C正确；
因为，所以的方差，故D正确．
故选：ACD．
4、已知随机变量，，则______，若，则______．
答案： 8
解析：由题意得，即，解得，则，解得．
故答案为：；8.
5、若随机变量，且，则_________．
答案：1
解析：因为，所以，解得，所以，故.
故答案为：1.
6、甲乙两人进行局球赛，甲每局获胜的概率为，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为元，设甲所获的奖金总额为元，则甲所获奖金总额的方差___________.
答案：60
解析：设甲获胜的局数为，则
所以
故答案为：60
7、立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由，则
则，故A错误；
由题知，不在的概率为，则，
则，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D
8、已知随机变量，且，则（ ）
A． B．8 C．12 D．24
答案：D
解析：
因为，所以.
故.
故选：D
9、（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．对于独立性检验，的值越大，说明这两个变量的相关程度越大
B．己知随机变量，若，，则
C．某人在10次射击中，击中目标的次数，则当时概率最大
D．，
答案：ABC
解析：A：独立检验中的值越大，说明这两个变量的相关程度越大，正确；
B：，，可得，正确；
C：由题意，，所以当且，要使概率依次增大，则有，即，故概率最大时有，正确；
D：，，错误；
故选：ABC
考点二、期望在实际生活中运用
例1、某商场为促销举行抽奖活动，设置了两种抽奖方案，方案的中奖率为，中奖可得2分；方案的中奖率为，中奖可得3分；未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，活动后顾客凭分数兑换相应奖品.
（1）若顾客甲选择方案抽奖，顾客乙选择方案抽奖，记他们的累计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）顾客甲、乙决定选择同一种方案抽奖（即都选择方案或都选择方案进行抽奖）.如果从累计得分的角度考虑，你建议他们选择方案还是方案？说明理由.
答案：（1）分布列见解析，；（2）选择方案，理由见解析.
解析：（1）由题意，的可能值有，其中表示甲、乙都未中奖；表示甲中奖、乙未中奖；表示甲未中奖、乙中奖；表示甲、乙都中奖；
∴，，，，
故的分布列为
∴.
（2）若顾客甲、乙决定选择同一种方案抽奖，则、
当选方案时，的可能值有，则，，，
∴期望.
当选方案时，的可能值有，则，，，
∴期望.
∴，故他们选择方案比较好.
例2、有750粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一，将750粒种子分种在250个坑内，每坑3粒；方案二，将750粒种子分种在375个坑内，每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为0.6，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次，且补种的种子同第一次).假定每个坑第一次播种需要2元，补种(按相应方案补种相应粒数)1个坑需1元，每个成活的坑可收获125粒试验种子，每粒试验种子收益1元.
（1）用X元表示播种费用，分别求出两种方案的数学期望；
（2）如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？
答案：（1）方案一数学期望：，方案二数学期望：；（2）选择方案二.
解析：（1）方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为，所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概率
用元表示一个坑的播种费用，则的可能取值是2，3，
所以，
所以的分布列为：
2 3
P
所以，
所以；
方案二：一个坑内两粒种子都不发芽的概率为，所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概率；
用元表示一个坑的播种费用，则的可能取值为2，3，
所以，
所以的分布列为：
2 3
P
所以，
所以；
（2）设收益为Y元，
方案一：用元表示一个坑的收益，则Y1的可能取值为0，125，
的分布列为：
0 125
P
所以，
所以；
方案二：用元表示一个坑的收益，则Y2的可能取值为0，125，
的分别列为：
0 125
P
所以，
所以，
因为方案二所需的播种费用比方案一只多了294元，但是收益比方案一多14553元，故应该选择方案二.
例3、某商店为了吸引顾客，设计了两种摸球活动奖励方案．先制作一个不透明的盒子，里面放有形状大小完全相同的4个白球和2个红球．
方案一：不放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满300元摸一次，最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金，如表格所示．
红球个数 0 1 2
奖金 0元 30元 75元
方案二：可放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满200元摸一次，每摸到一个红球奖励15元．
（1）若顾客甲消费的金额为600元，且选择了方案一，求甲获得奖金数为30元的概率；
（2）若顾客乙消费的金额为800元，但他可以在摸出第一个球后，根据所摸出球的颜色，再决定执行方案一或方案二继续摸球．请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择，并说明理由．
答案：（1）；（2）见解析
解析：（1）根据题意，甲可以不放回地摸2次球，记甲获得奖金数为，
则．
（2）若乙第一次摸出的球为红球，
若选择方案一：乙还要摸球一次，乙摸出红球的概率是，白球的概率是，所以获得奖金数的期望为，
若选择方案二：乙还要摸球三次，根据题意，这三次乙摸到红球的个数服从二项分布，此时乙获得奖金数的期望为．
因此，选择方案一．
若乙第一次摸出的球为白球，
若选择方案一：乙还要摸球一次，乙获得奖金数的期望为，
若选择方案二：乙还要摸球三次，根据题意，这三次乙摸到红球的个数服从二项分布，此时乙获得奖金数的期望为．
因此，选择方案二．
综上，乙第一次摸出的球为红球时，选择方案一；乙第一次摸出的球为白球时，选择方案二.
跟踪练习
1、小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌中的一种．若当年卖甲品牌，则下一年卖甲品牌的概率为，卖乙品牌的概率为；若当年卖乙品牌，则下一年卖甲品牌的概率为，卖乙品牌的概率为．已知第一年该店卖甲品牌，且第年卖甲品牌有万元利润，卖乙品牌有万元利润．
（1）求前年的利润之和超过万元的概率；
（2）求该服装店第四年的利润的数学期望．
答案：（1）；（2）．
解析：（1）由题意，该服装店前年卖的品牌有种情况：
“甲、甲、甲”的概率为，利润为万元；
“甲、甲、乙”的概率为，利润为万元；
“甲、乙、甲”的概率为，利润为万元；
“甲、乙、乙”的概率为，利润为万元
所以前年的利润之和超过万元的概率为．
（2）由（1）知该服装店第三年卖甲品牌的概率为，
卖乙品牌的概率为，
所以第四年卖甲品牌的概率为，
从而第四年卖乙品牌的概率为，
又第四年卖甲品牌的利润为万元，卖乙品牌的利润为万元，
因此第四年的利润的数学期望为．
2、某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．
方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．
小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：
维修次数 0 1 2 3
空调台数 20 30 30 20
用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；
（2）请问小李选择哪种质保方案更合算．
答案：（1）；（2）方案二．
解析：（1）由题意，根据100台这种空调质保期内两年内维修次数的统计表，
可得两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率为：
（2）方案一的维修费用期望为：元，
维修总费用为：元，
方案二的维修费用期望为：元
维修总费用为：元，
故方案二更合算．
3、核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为元，记检测的总费用为元.
（1）当时，求的分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）比较与两种方案哪一个更好，说明理由；
（ⅱ）试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，和两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）.
答案：(1)分布列见解析；；(2)(ⅰ)的方案更好一些；(ⅱ)的方案更好一些.
解析：
(1)当n=3时，共分4组，当2份阳性在一组，第一轮检测4次，第二轮检测3次，共检测7次，
若2份阳性各在一组，第一轮检测4次，第二轮检测6次，共检测10次，
检测的总费用的所有可能值为7a，10a，任意检测有种等可能结果，2份阳性在一组有种等可能结果，
，，
所以检测的总费用的分布列为：
X 7a 10a
P
的数学期望；
(2)(ⅰ)当n=4时，共分3组，当2份阳性在一组，共检测7次，若2份阳性各在一组，共检测11次，
检测的总费用的所有可能值为7a，11a，任意检测有种等可能结果，2份阳性在一组有种等可能结果，
，，
所以检测的总费用的分布列为：
Y 7a 11a
P
的数学期望
所以的方案更好一些；
(ⅱ)时检测总次数比n=4时的少，时检测总次数比时的少，猜想的方案更好一些.
【点睛】
关键点睛：古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件数．
4、计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量
发电机最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
答案：（1）；（2）应安装发电机2台.
解析：（1）依题意，
由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
（2）记水电站年总利润为(单位:万元).
①安装1台发电机的情形，由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润，
②安装2台发电机的情形，依题意，当时，一台发电机运行，此时
，因此；当 时，两台发电机运行，此时，因此 由此得 的分布列为：
840 2000
0.2 0.8
所以，；
③安装3台发电机的情形，依题意，当时，一台发电机运行，此时
，因此，；当 时，两台发电机运行，此时，因此，
，当 时，三台发电机运行此时，因此，，由此得 的分布列为：
680 1840 3000
0.2 0.7 0.1
所以，，
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
5、某同学利用假期到一超市参加社会实践活动，发现该超市出售种水果礼盒，每天进货一次，每销售1个水果盒可获利50元，卖不完的水果礼盒则需当天降价处理，每盒亏损10元.若每天该礼盒的需求量在(单位：个)范围内等可能取值.
（1）求该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；
（2）若某日超市进货13个水果礼盒，请写出该水果礼盒日销售利润(元)的分布列，并求出的数学期望；
（3）这位同学想让水果礼盒的日销售利润最大，他应该建议超市日进货多少个水果礼盒？请说明理由.
答案：（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）建议超市日进货18个水果礼盒，理由见解析．
解析：（1）每天该礼盒的需求量在(单位：个)范围内等可能取值，
则该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；
（2）的可能取值为470，530，590，650，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
470 530 590 650
故；
（3）设水果礼盒的日进货量为个，
销售该礼盒的日利润为元．则的分布列为
…
P …
所以
，
因，所以进货量n为18时，可获得期望的最大值．
6、某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学参加打扫校园志愿活动.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单.抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学可参加活动.
（1）设该校高二年级报名参加活动的甲同学的编号被抽取到的次数为，求的分布列和数学期望；
（2）设两次都被抽取到的人数为变量，则的可能取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？请说明理由.
答案：（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2），取值为18的可能性最大，理由见解析.
解析：（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是，
第二次被抽到的概率也是，且两次相互独立，所以，
所以，
的分布列为
0 1 2
所以.
（2）两次抽中的人数，则，
设，那么，
解得，所以，
所以当时可能性最大.
考点三、 方差在实际生活的运用
例1、某投资公司准备在2023年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.
项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2024年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.
项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.
（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p表示）；
（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p表示）；
（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.
答案：（1） （2） （3）见解析
解析：（1）解：由题意
则盈利的天坑院数的均值.
（2）若投资项目二，则的分布列为
2 -1.2
盈利的均值.
（3）若盈利，则每个天坑院盈利（百万元），
所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为
（百万元）.
①当时，，
解得.
.故选择项目一.
②当时，，
解得.
此时选择项一.
③当时，，解得.
此时选择项二.
例2、某陶瓷厂只生产甲、乙两种不同规格的瓷砖，甲种瓷砖的标准规格长宽为，乙种瓷砖的标准规格长宽为，根据长期的检测结果，两种规格瓷砖每片的重量（单位：）都服从正态分布，重量在之外的瓷砖为废品，废品销毁不流入市场，其他重量的瓷砖为正品.
（1）在该陶瓷厂生产的瓷砖中随机抽取10片进行检测，求至少有1片为废品的概率；
（2）监管部门规定瓷砖长宽规格“尺寸误差”的计算方式如下：若瓷砖的实际长宽为，，标准长宽为，，则“尺寸误差”为，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“尺寸误差”的范围分别是，，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），现分别从甲、乙两种产品的正品中随机抽取各100片，分别进行“尺寸误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如图所示，已知经销商经营甲种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.12，“二级品”的利润率为0.08，“合格品”的利润率为0.02.经销商经营乙种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.10，“二级品”的利润率为0.05，“合格品”的利润率为0.02.视频率为概率.
①若经销商在甲、乙两种瓷砖上各投资10万元，和分别表示投资甲、乙两种瓷砖所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种瓷砖的利弊；
②若经销商在甲、乙两种瓷砖上总投资10万元，则分别在甲、乙两种瓷砖上投资多少万元时，可使得投资所获利润的方差和最小？
附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，
答案：（1）；（2）①万元，；万元，；详见解析；②甲瓷砖上投资2.5万元，乙瓷砖上投资7.5万元.
解析：（1）由正态分布可知，抽取的1片瓷砖的质量在之内的概率为0.9974，则这10片质量全部在之内（即没有废品）的概率为，则这10片中至少有1片是废品的概率为.
（2）①由利润率和投资额得可以为1.2万元、0.8万元和0.2万元，可以为1万元、0.5万元和0.2万元，由直方图可得对应的频率分别为0.3，0.5，0.2和0.2，0.8，0.
所以随机变量的分布列：
1.2 0.8 0.2
0.3 0.5 0.2
万元，
.
随机变量的分布列：
1 0.5 0.2
0.2 0.8 0
万元，
，
经销商经销甲瓷砖的平均利润0.8万元大于经销乙瓷砖的平均利润0.6万元，但经销甲瓷砖的方差0.12也远大于经销乙瓷砖的方差0.04，所以经销甲瓷砖的平均利润大，相对不稳定，而经销乙瓷砖的平均利润小，但相对稳定.
②设经销商在经销甲瓷砖上投资万元，则在经销乙瓷砖上投资万元，
经销甲瓷砖的方差与经销乙瓷砖的方差的和为，
当时，取最小值，
故在经销甲瓷砖上投资2.5万元，经销乙瓷砖上投资7.5万元时，可使得投资所获利润的方差和最小.
跟踪练习
1、为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
答案：（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
解析：（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
2、某市高中生诗词大赛如期举行，甲、乙两校进入最后决赛的第一环节．现从全市高中老师中聘请专家设计了第一环节的比赛方案：甲、乙两校从6道不同的题目中随机抽取3道分别作答，已知这6个问题中，甲校选手只能正确作答其中的4道，乙校选手正确作答每道题目的概率均为，甲、乙两校对每道题的作答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两校总共正确作答2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两校哪所学校获得第一环节胜利的可能性更大？
答案：（1）；（2）甲校获得第一环节胜利可能性更大.
解析：（1）由题意可知，甲、乙共答对两道题的可能有，
甲校1道乙校1道；甲校2道乙校0道，所求概率
.
（2）设甲校正确作答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3，
，，，
则X的分布列为：
X 1 2 3
P
∴，
，
设乙校正确作答的题数为Y，则Y取值分别为0，1，2，3，
，，，，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
∴．（或∵，∴）（或），
由，可得，甲校获得第一环节胜利可能性更大.
3、某地举行一场游戏，每个项目成功率的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i个项目的成功率，Ri为该项目成功的人数，N为参加游戏的总人数．现对300人进行一次测试，共5个游戏项目．测试前根据实际情况，预估了每个项目的难度，如下表所示：
项目号 1 2 3 4 5
游戏前预估成功率Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，随机抽取了20人的数据进行统计，结果如下：
项目号 1 2 3 4 5
实测成功人数 16 16 14 14 4
（1）根据题中数据，估计这300人中第5个项目的实测成功的人数；
（2）从抽样的20人中随机抽取2人，记这2人中第5个项目成功的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）游戏项目的预估难度和实测难度之间会有偏差，设P′i为第i个项目的实测成功率，并定义统计量S＝[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，若S<0.05，则本次游戏项目的成功率预估合理，否则不合理，试检验本次测试对成功率的预估是否合理．
答案：（1）60人；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）合理．
解析：（1）∵20人中答对第5题的人数为4，
∴第5题的实测难度为＝0.2，
∴估计300人中有300×0.2＝60（人）实测答对第5题．
（2）由（1）知：20人中第5个项目答错16人，答对4人，而X的所有可能取值是0，1，2．
∴，
X的分布列为
X 0 1 2
P
.
（3）将抽样的20名学生测试中第i题的实测难度作为300名学生测试中第i题的实测难度．列表如下：
题号 1 2 3 4 5
实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2
S＝×[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012．
因为S＝0.012<0.05，所以，该次测试的难度预估是合理的．
4、为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，个球除所标面值外完全相同．
（1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个所标的面值均为元．求
①顾客所获的奖励额为元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列与均值．
（2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
答案：（1）①；②分布列见解析，；（2）应该选择方案2，理由见解析.
解析：（1）设顾客所获的奖励额为．
①依题意，得，即
顾客所获的奖励额为元的概率为
②依题意，得随机变量的所有可能取值为，．
，．
即随机变量的分布列为
所以顾客所获的奖励额的均值为
．
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元．
所以先寻找均值为元的可能方案．
对于由标有面值为元和元组成的情况，
如果选择的方案，因为元是面值之和的最大值，所以均值不可能为元；
如果选择的方案，因为元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为元，
因此可能的方案是，记为方案1；
对于由标有面值为元和元组成的情况，同理可排除和的方案，
所以可能的方案是，记为方案2．
对于方案1，即方案，设顾客所获的奖励额为，则随机变量的分布列为：
，
；
对于方案2，即方案，设顾客所获的奖励额为，则随机变量的分布列为：
，
；
因为两种方案所获的奖励额都符合要求，但方案2所获的奖励额的方差比方案1的小，
即方案2使每位顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2．2023年高考数学考点复习——期望与方差
考点一、期望与方差
例1、若随机变量，，则（ ）
A． B． C． D．
例2、设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例3、若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习
1、袋中有大小相同的2红4绿共6个小球，随机从中摸取1个小球，甲方案为有放回地连续摸取3次，乙方案为不放回地连续摸取3次．记甲方案下红球出现的次数为随机变量，乙方案下红球出现的次数为随机变量，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2、（多选）下列说法正确的有（ ）
A．，且，则
B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则
3、（多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
4、已知随机变量，，则______，若，则______．
5、若随机变量，且，则_________．
6、甲乙两人进行局球赛，甲每局获胜的概率为，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为元，设甲所获的奖金总额为元，则甲所获奖金总额的方差___________.
7、立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ）
A． B．
C． D．
8、已知随机变量，且，则（ ）
A． B．8 C．12 D．24
9、（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．对于独立性检验，的值越大，说明这两个变量的相关程度越大
B．己知随机变量，若，，则
C．某人在10次射击中，击中目标的次数，则当时概率最大
D．，
考点二、期望在实际生活中运用
例1、某商场为促销举行抽奖活动，设置了两种抽奖方案，方案的中奖率为，中奖可得2分；方案的中奖率为，中奖可得3分；未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，活动后顾客凭分数兑换相应奖品.
（1）若顾客甲选择方案抽奖，顾客乙选择方案抽奖，记他们的累计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）顾客甲、乙决定选择同一种方案抽奖（即都选择方案或都选择方案进行抽奖）.如果从累计得分的角度考虑，你建议他们选择方案还是方案？说明理由.
例2、有750粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一，将750粒种子分种在250个坑内，每坑3粒；方案二，将750粒种子分种在375个坑内，每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为0.6，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次，且补种的种子同第一次).假定每个坑第一次播种需要2元，补种(按相应方案补种相应粒数)1个坑需1元，每个成活的坑可收获125粒试验种子，每粒试验种子收益1元.
（1）用X元表示播种费用，分别求出两种方案的数学期望；
（2）如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？
例3、某商店为了吸引顾客，设计了两种摸球活动奖励方案．先制作一个不透明的盒子，里面放有形状大小完全相同的4个白球和2个红球．
方案一：不放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满300元摸一次，最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金，如表格所示．
红球个数 0 1 2
奖金 0元 30元 75元
方案二：可放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满200元摸一次，每摸到一个红球奖励15元．
（1）若顾客甲消费的金额为600元，且选择了方案一，求甲获得奖金数为30元的概率；
（2）若顾客乙消费的金额为800元，但他可以在摸出第一个球后，根据所摸出球的颜色，再决定执行方案一或方案二继续摸球．请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择，并说明理由．
跟踪练习
1、小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌中的一种．若当年卖甲品牌，则下一年卖甲品牌的概率为，卖乙品牌的概率为；若当年卖乙品牌，则下一年卖甲品牌的概率为，卖乙品牌的概率为．已知第一年该店卖甲品牌，且第年卖甲品牌有万元利润，卖乙品牌有万元利润．
（1）求前年的利润之和超过万元的概率；
（2）求该服装店第四年的利润的数学期望．
2、某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．
方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．
小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：
维修次数 0 1 2 3
空调台数 20 30 30 20
用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；
（2）请问小李选择哪种质保方案更合算．
3、核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为元，记检测的总费用为元.
（1）当时，求的分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）比较与两种方案哪一个更好，说明理由；
（ⅱ）试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，和两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）.
4、计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量
发电机最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
5、某同学利用假期到一超市参加社会实践活动，发现该超市出售种水果礼盒，每天进货一次，每销售1个水果盒可获利50元，卖不完的水果礼盒则需当天降价处理，每盒亏损10元.若每天该礼盒的需求量在(单位：个)范围内等可能取值.
（1）求该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；
（2）若某日超市进货13个水果礼盒，请写出该水果礼盒日销售利润(元)的分布列，并求出的数学期望；
（3）这位同学想让水果礼盒的日销售利润最大，他应该建议超市日进货多少个水果礼盒？请说明理由.
6、某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学参加打扫校园志愿活动.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单.抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学可参加活动.
（1）设该校高二年级报名参加活动的甲同学的编号被抽取到的次数为，求的分布列和数学期望；
（2）设两次都被抽取到的人数为变量，则的可能取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？请说明理由.
考点三、 方差在实际生活的运用
例1、某投资公司准备在2023年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.
项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2024年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.
项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.
（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p表示）；
（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p表示）；
（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.
例2、某陶瓷厂只生产甲、乙两种不同规格的瓷砖，甲种瓷砖的标准规格长宽为，乙种瓷砖的标准规格长宽为，根据长期的检测结果，两种规格瓷砖每片的重量（单位：）都服从正态分布，重量在之外的瓷砖为废品，废品销毁不流入市场，其他重量的瓷砖为正品.
（1）在该陶瓷厂生产的瓷砖中随机抽取10片进行检测，求至少有1片为废品的概率；
（2）监管部门规定瓷砖长宽规格“尺寸误差”的计算方式如下：若瓷砖的实际长宽为，，标准长宽为，，则“尺寸误差”为，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“尺寸误差”的范围分别是，，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），现分别从甲、乙两种产品的正品中随机抽取各100片，分别进行“尺寸误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如图所示，已知经销商经营甲种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.12，“二级品”的利润率为0.08，“合格品”的利润率为0.02.经销商经营乙种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.10，“二级品”的利润率为0.05，“合格品”的利润率为0.02.视频率为概率.
①若经销商在甲、乙两种瓷砖上各投资10万元，和分别表示投资甲、乙两种瓷砖所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种瓷砖的利弊；
②若经销商在甲、乙两种瓷砖上总投资10万元，则分别在甲、乙两种瓷砖上投资多少万元时，可使得投资所获利润的方差和最小？
附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，
跟踪练习
1、为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
2、某市高中生诗词大赛如期举行，甲、乙两校进入最后决赛的第一环节．现从全市高中老师中聘请专家设计了第一环节的比赛方案：甲、乙两校从6道不同的题目中随机抽取3道分别作答，已知这6个问题中，甲校选手只能正确作答其中的4道，乙校选手正确作答每道题目的概率均为，甲、乙两校对每道题的作答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两校总共正确作答2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两校哪所学校获得第一环节胜利的可能性更大？
3、某地举行一场游戏，每个项目成功率的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i个项目的成功率，Ri为该项目成功的人数，N为参加游戏的总人数．现对300人进行一次测试，共5个游戏项目．测试前根据实际情况，预估了每个项目的难度，如下表所示：
项目号 1 2 3 4 5
游戏前预估成功率Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，随机抽取了20人的数据进行统计，结果如下：
项目号 1 2 3 4 5
实测成功人数 16 16 14 14 4
（1）根据题中数据，估计这300人中第5个项目的实测成功的人数；
（2）从抽样的20人中随机抽取2人，记这2人中第5个项目成功的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）游戏项目的预估难度和实测难度之间会有偏差，设P′i为第i个项目的实测成功率，并定义统计量S＝[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，若S<0.05，则本次游戏项目的成功率预估合理，否则不合理，试检验本次测试对成功率的预估是否合理．
4、为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，个球除所标面值外完全相同．
（1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个所标的面值均为元．求
①顾客所获的奖励额为元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列与均值．
（2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

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