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2023年高考数学考点复习——分布及其分布列
考点一 超几何分布
例1、北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.
答案：（1）考核等级为优秀的男志愿者人数为5，考核等级为优秀的女志愿者人数为7；（2）分布列见解析，期望为.
解析：（1）由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为.
因为，所以，
所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为.
因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是.
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为，
则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为.
（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故
例2、近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．
（1）用表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望；
（2）设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率．
答案：（1）分布列见解析；期望为；（2）．
解析：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且
所以，随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P
随机变量的数学期望
．
设B为事件“抽取的3名学生中，不近视2人，近视1人”；设为事件“抽取的3名学生中，不近视1人，近视2人”，则，且与互斥，从而，所以事件A发生的概率为
跟踪练习
1、端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
答案：（1）分布列见解析；（2）.
解析：（1）由条件可知，
，，，
所以的分布列，如下表，
（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，
则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
2、某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.
（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？
（2）从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设表示所抽取的3名同学的得分在的人数，求的分布列及数学期望.
答案：（1）甲的平均数，方差；乙的平均数，方差；乙小组的更稳定.（2）分布列见解析，.
解析：（1）甲小组的平均数：
甲小组的方差：
，
乙小组的平均数：
乙小组的方差：
.
两个小组成绩的平均数相同，甲的方差比乙的方差要大，所以乙小组的成绩更稳定.
（2）甲组同学成绩不低于70分的人有人，从中任意抽取3人，得分在的人数为人.，
,
,
的分布列如下：
故.
3、随着手机的日益普及，中学生使用手机的人数也越来越多，使用的手机也越来越智能．某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了名学生进行问卷调查．经统计，有的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学习成绩优秀的占，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占．
（1）请根据以上信息完成列联表，并分析是否有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？
学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计
在校期间使用手机
在校期间不使用手机
合计
（2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人，设这人中在校期间使用手机的学生人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．．
参考数据：
答案：（1）表格见解析，有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”；（2）分布列见解析，.
解析：（1）列联表如下：
学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计
在校期间使用手机
在校期间不使用手机
合 计
的观测值，
所以有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”．
（2）从学习成绩优秀的学生中按在校是否使用手机分层抽样选出人，
其中在校使用手机的学生有人，
在校不使用手机的学生有人．
可能的取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
的数学期望为．
4、为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；
（2）若从第一 五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
答案：(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为
解析：(1)由题意知，共选出50名学生参加预赛，
由频率分布直方图可得，成绩在[100,120]内的人数为：
人，
所以该班成绩良好的人数为27人；
(2)由题意，第一组有3人，第五组有4人，
从这两组随机取两个成绩，
所以，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以.
考点二、二项分布
例1、随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 50 100 250 60 40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
答案：（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．
解析：（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，
则，
随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，
所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．
（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，
则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．
现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．
则，，
，．
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以．
例2、2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）
平均锻炼时间
人数 27 39 a b 45 15
频率 0.09 0.13 0.38 c 0.15 0.05
（1）求，，的值；
（2）为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于分钟的居民进行奖励，为使30%的人得到奖励，试估计的取值？
（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均锻炼时间不低于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望．
答案：（1），；；（2）；（3）分布列见解析；期望为．
解析：（1）由题意，
设总人数为，则，得，
∴，．
（2），分别占0.15和0.05，共0.2，要使得30%到奖励，
则位于之间，且占0.1，∴．
（3）该社区得到奖励的人中锻炼时间不低于钟的占，
，的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
，
∴的分布列如下：
0 1 2 3 4
．
跟踪练习
1、某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为
（1）求直方图中的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
答案：（1）0.0025；（2）180；（3）分布列见解析，期望为.
解析：
( 1 )由直方图可得:∴x=0.0025.
(2) 新生上学所需时间不少于1小时的频率为,
所以新生中可以申请住宿的人数为：1200×0.15=180人
所以估计1200名新生中有180名学生可以申请住宿.
（3）X的可能取值为0,1,2,3,4.
由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为，
所以，
,
,
,
则X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故
.
即X的数学期望为.
2、中国探月工程自2004年批准立项以来，聚焦“自主创新 重点跨越 支撑发展 引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？
关注 没关注 合计
男生
女生
合计
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三女生中随机抽取2人.记被抽取的2名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
答案：（1）列联表见解析，有的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”；
（2）分布列见解析，期望为
解析：（1）由题意，根据等高条形图中的数据，
可得：女性人中，其中人关注，人不关注；
男性人中，其中人关注，人不关注；
所以可得如下的的列联表：
关注 没关注 合计
男生 30 30 60
女生 12 28 40
合计 42 58 100
所以，
所以有的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”.
（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，
又因为随机变量，所以随机变量的分布列为：
0 1 2
所以.
3、新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区居民人一周的口罩使用量统计如表所示，其中个人一周的口罩使用为个以及个上的有人.
个人的一周口罩使用数量（单位：个）
频率
（1）求、的值；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从地区的所有居民中随机抽取人，记一周使用口罩数量（单位：个）在范围的人数为，求的分布列及数学期望.
答案：（1），；（2）分布列见解析，期望为.
解析：（1）由题意可得，则，
因为，解得；
（2）从地区的所有居民中随机抽取人，此人一周使用口罩数量（单位：个）在范围内的概率为，则，
所以，，，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故.
4、从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.
（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望.
答案：（1），平均身高为；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
解析：（1）根据题意得，解得，
设样本中男生身高的平均值为，
，
所以估计该市中学全体男生的平均身高为；
（3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为.
由已知得，
所以，，
，.
随机变量的分布列为
所以.
5、青年大学习是共青团中央组织的青年学习行动，共青团中央用习近平新时代中国特色社会主义思想武装全团 教育青年，把深入学习宣传贯彻党的十九大精神作为首要政治任务和核心业务，在全团部署实施“青年大学习”行动.某区为调在学生学习情况，对全区高中进行抽样调查，调查最近一周的周得分情况.如下茎叶图是抽查的A校和B校各30人得到的这周得分情况：
根据成绩分为如下等级：
成绩 (单位：分)
等级 不合格 合格 良好 优秀
（1）根据茎叶图判断A校和B校中的哪个学校完成学习的效果更好，并说明理由(不要求计算)；
（2）现要从A校被抽查的成绩等级合格和不合格的8名同学中任选4人进行座谈，记其中所含不合格人数，求的分布列和期望；
（3）若将所统计的这60人的频率作为概率，在全区的高中学生中任意抽取4人参加知识竞赛，记其中所含成绩优秀人数，求的分布列 期望和方差.
答案：(1)B校完成学习的效果更好，理由见解析；(2)分布列答案见解析，；（3）分布列答案见解析，，.
解析：(1)(i)根据茎叶图可知A校样本得分中位数为160分，B校样本得分中位数为169分，因此B校完成学习的效果更好；
(ii)根据茎叶图可知A校样本约有73%同学的分数在150分以上，B校样本有76%同学的分数在160分数段上，因此B校完成学习的效果更好；
(ⅲ)根据茎叶图可知A校样本在150，160，170分数段上分布较均匀，B校样本在170分左右人数更多更集中，因此B校完成学习的效果更好.
(以上给出了3种理由，只需答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)
(2)的所有可取取值为0，1，2
，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以，.
(3)所统计的这60人中获得优秀的有24人，频率为，将其作为概率，则
的所有可能取值为0，1，2，3，4
，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
所以，.
6、电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
附：，
0.05 0.01
3.841 6.635
答案：（1）没有的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析；，.
解析：（1）由频率分布直方图可得100名观众中体育迷的人数为，
故男性中体育迷为15人，故可得列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
所以，
故没有的把握认为“体育迷”与性别有关.
（2）由（1）可得任取一人为体育迷的概率为，
故，
所以，，
，.
故分布列为：
0 1 2 3
又，.
7、某地为了解高三学生运动量是否达标，随机抽取了200名同学进行调查，得到数据如下：在120名男生中，运动量达标的有60人；在80名女生中，运动量未达标的有50人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为运动量达标与性别有关.
运动量达标 运动量未达标 合计
男生人数
女生人数
合计
（2）以上述数据样本来估计总体，现从该地的所有高三学生（人数众多）中逐一随机抽取3人，记这3人中运动量达标的男生人数为随机变量X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
，其中.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
答案：（1）列联表见解析，没有把握；（2）分布列见解析，.
解析：（1）列联表如下：
运动量达标 运动量未达标 合计
男生人数 60 60 120
女生人数 30 50 80
合计 90 110 200
∵，
∴没有95%的把握认为运动量达标与性别有关.
（2） 根据样本估计总体的思想，从众多学生中随机抽取1人，其为运动量达标的男生概率为，易知可能的取值是0，1，2，3，
且，
∴，
，
，
，
∴分布列为：
0 1 2 3
∴.
8、设甲 乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.
答案：（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）.
解析：（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，
所以，
从而，，
所以，随机变量的分布列为：
P 0 1 2 3 4 5
X
所以；
（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为，则，
且事件，
由题意知，事件之间互斥，
且与相互独立，
由（1）可得.
9、在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
答案：（1）；（2）分布列见解析，2.
解析：解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，
则,
,
,
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以期望．
考点三、 正态分布
例1、已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
答案：C
解析：随机变量服从正态分布，且，
由对称性可知，，又，，
故选：C．
例2、（多选）近年来，中国进入一个鲜花消费的增长期．某农户利用精准扶贫政策，货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，则下列正确的是（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则
A．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为
B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售更集中
C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中
D．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为
答案：ACD
解析：因红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则，即，A正确；
因，即红玫瑰的日销售量的标准差小于白玫瑰的日销售量的标准差，则红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中，B不正确，C正确；
因，则，即白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为，D正确.
故选：ACD
跟踪练习
1、已知随机变量，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
答案：D
解析：因为随机变量X服从正态分布，所以曲线关于对称，
因为，所以.
故选：D
2、（多选）（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量X，Y满足，且，则
C．线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
D．设，则越大，正态分布曲线越矮胖
答案：ACD
解析：对于：已知随机变量，则，故正确；
对于：随机变量，满足，所以，且，则，故错误；
对于：线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，故正确；
对于：设，则越大，正态分布曲线越矮胖，越小，正态分布曲线越瘦高，故正确；
故选：ACD．
3、某企业为了提高产量，需通过提高工人的工资，调动员工的工作积极性，为了对员工工资进行合理调整，需对员工的日加工量进行分析.为此随机抽取了50名员工某天加工零件的个数x（单位：个），整理后得到频数分布表如下：
零件个数x/个
频数y 5 6 9 12 8 6 4
（1）由频数分布表估计这50名员工这一天加工产量的平均值x（四舍五入取整）（区间值用中点值代替）；
（2）该企业为提高产量，开展了一周（7天）的“超量有奖”宣传活动，并且准备了6.5万元用于发给超量的员工.规定在这一周内，凡是生产线上日加工量在290个以上（含290）的员工，除获得“日生产线上的标兵”的荣称号外，当天还可额外获得100元的超量奖励，若该企业生产线上的4000名员工每天加工零件数量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的平均值，请利用正态分布知识估计6.5万元用于超量奖的准备金是否充足；
（3）为了解“日生产线上的标兵”员工的生产情况，企业有关部门对抽取的样本中的50名员工中的日生产量进行分析发现，有6个获得“日生产线上的标兵”的荣誉称号，现从这6名员工中任意抽取4名员工，记日生产量至少为300个的员工人数为，求的分布列与数学期望.
参考数据：，，.
答案：（1）248；（2）充足；（3）分布列见解析，.
解析：（1）由频数分布表得：
（2）由（1）知，所以，
所以，
因为，所以每天需奖励（元），
所以一周需奖励（元），所以6.5万元的准备金充足.
（3）由频数分布表可知，6个获得“日生产线上的标兵”荣誉称号中，日生产量至少为300个的员工有4名，所以的可能值为2，3，4，
所以,,
所以的分布列为
2 3 4
P
的数学期望为
4、2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：9:46，记作时刻46.
（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：若随机变量T服从正态分布，则，，.
答案：（1）10:04；（2）答案见解析；（3）819.
解析：（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
，即10:04；
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的车辆数，即，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.
所以，，，，.
所以X的分布列为：
0 1 2 3 4
（3）由（1）得，.
所以，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，由
，得
，
所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为.
5、某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答道题，第一题为教育心理学知识，答对得分，答错得分，后两题为学科专业知识，每道题答对得分，答错得分．
（Ⅰ）若一共有人应聘，他们的工作经历评分服从正态分布，分及以上达标，求进面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列及数学期望．
附：若随机变量，则，，．
答案：（Ⅰ）159；（Ⅱ）分布列见解析，7.9.
解析： （Ⅰ）因为服从正态分布，
所以，
因此进入面试的人数为．
（Ⅱ）由题可知，Y的可能取值为，，，，，，
则；
；
；
；
；
．
故的分布列为：
所以．
6、绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球、个黄球、5个黑球（），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．
（1）经统计，每人的植树棵数服从正态分布，现有100位植树者，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？
附参考数据：若，则，．
答案：（1）人；（2）第二种方法所得奖金期望值大.
解析：（1）由题设，，而，
∴100位植树者中植树的棵数在内的人数为人.
（2）摸甲箱：由题设知，故中100元、50元、没中奖的概率分别为、、；
摸乙箱：中100元、50元的概率分别为、，
∴甲箱内一次摸奖，奖金可能值为，且，，，则，
∴三次摸奖的期望为，而可能取值为，即.
两次乙箱内摸奖，所得奖金可能值为，
，，，
此时，期望奖金为元.
综上，，故第二种方案摸奖期望值大.
7、数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）
解题中可参考使用下列数据：，，．
答案：（1）分布列见解析，数学期望为；（2）50．
解析：（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为．因此，的可能值为0，1，2，3，4，则
，，，，．
故的分布列为
0 1 2 3 4
所以的数学期望．
（2）由题意可知，．
，所以．
由服从正态分布，得
，
则，，．
所以此次竞赛受到奖励的人数为50．
8、中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）求；
（ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
答案：（1），；（2）（i）；（ii）.
解析：（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，
则平均数；
方差
.
（2）（i）由（1）得，，故学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，
则
.
（ii），
故随机抽取一名学生，测试分数在90.8分以上的概率为0.0228.
设“这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上”为事件，
则，
故这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上的概率为0.13.
考点四 、独立重复实验
例1、某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得-10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得-10分.规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功.若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；
（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列 期望和闯关成功的概率.
答案：（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：，成功的概率：．
解析：（1）设事件为参赛者甲回答正确第个问题，
所以；
（2）由题意，所有可能取值为
所以的分布列为：
-20 -10 0 10 20 30
由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为．
例2、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设各局比赛结果互相独立.
（1）分别求甲队以，，胜利的概率；
（2）若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分，求乙队得分的分布列及数学期望.
答案：（1），，；（2）分布列见解析，数学期望为.
解析：（1）甲队以胜利的概率；
甲队以胜利的概率；
甲队以胜利的概率；
（2）由题意知：所有可能的取值为，
，，
，
，
的分布列为：
数学期望.
跟踪练习
1、某公司每五年需淘汰一批旧机器并购买一批新机器，购买新机器的同时，也要购买易损零件．每台新机器随机器购买第一个易损零件花费1500元，优惠0元；每多买一个易损零件都要在原优惠基础上多优惠100元，即购买第一个易损零件没有优惠，第二个易损零件优惠100元，第三个易损零件优惠200元，……，依此类推，每台新机器最多可随新机购买8个易损零件．平时购买易损零件按零售价每个2000元买入．根据以往的记录，十台机器正常工作五年内使用的易损零件数如表：
使用易损零件数 6 7 8
机器台数 3 5 2
以这十台机器使用易损零件数的频率代替一台机器使用易损零件数发生的概率，假设每台机器使用易损零件的个数是相互独立的，记X表示两台机器五年内使用的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若在购买两台新机器时，每台机器随机器购买7个易损零件，求这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望．
答案：（1）分布列见解析；（2）16784元.
解析：
（1）记X表示两台机器五年内使用的易损零件数，
则X的可能取值为12，13，14，15，16，
，
，
，
，
，
∴X的分布列为：
X1213141516P0.090.30.370.20.04
（2）在购买两台新机器时，每台机器随机器购买7个易损零件，
所需费用为：元，
（元），
∴这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望为：
（元）.
2、一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，各部件的状态相互独立．
（1）求设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率；
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
答案：（1）0.37；（2）分布列见解析；期望为．
解析：解：（1）用A，B，C分别表示事件：“设备在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整”，则
，，
用D表示事件：“设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整”则
所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.378 0.456 0.154 0.012
故X的数学期望为
3、一位同学分别参加了三所大学招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为、、，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．
（1）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；
（2）设该同学通过笔试的大学所数为，求的分布列和数学期望．
答案：（1）；（2）分布列见解析；期望为
解析：（1）设该同学分别通过三所大学笔试的的事件为
该同学至少通过一所大学笔试的概率
，
所以该同学至少通过一所大学笔试的概率为；
（2）由条件可知，
，
；
；
，
分布列如下图，
4、体育交流是学校之间交流的重要方式.甲乙两校定期举办击球比赛，规定：把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合.每一回合中，发球队赢球后得分1分，另一队得零分，在下一回由发球队继续发球；发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球.甲乙两队正在进行这种击球比赛，假设每一回合甲队贏球的概率是，乙队赢球的概率是，且各回合比赛的结果相互独立.
（1）第一回合由甲队发球，在连续三个回合中，求甲队得1分的概率；
（2）比赛进入决胜局，两队得分均为25分.在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队伍获胜.求在比赛四回合以内（包含第四回合），甲队获胜的概率.
答案：（1）；（2）.
解析：记第局比赛甲队获胜为事件，乙队获胜为
事件，
则
（1）记第一回合由甲队发球，在连续三个回合中甲队
得1分为事件，
则，
由于各回合比赛的结果相互独立，且事件与互斥，
所以
（2）记在四回合以内，甲队获胜为事件，
由于甲队获胜时需要比乙队得分多2分，
所以至少需要进行两个回合的比赛，
当比赛两个回合时，只有甲队连贏两个回合，甲队才获胜，
则，
当比赛三个回合时，只有这一种情况，且甲队输，
当比赛四个回合时，只有以下两种情况，甲队会获胜，
即事件与，且两个事件互斥，
则
所以
5、有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．
答案：（1）；（2）分布列见解析，.
解析：（1）甲乙交换的均是红球，则概率为，
甲乙交换的均是白球，则概率为，
所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为；
（2）X可取0，1，2，3，4，
由（1）得，一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球的概率为，
乙袋中有1个白球3个红球的概率为，
乙袋中有3个白球1个红球的概率为，
则，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以数学期望.
6、某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示：
男性 女性
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；
（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节 各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
答案：（1）有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”；（2）分布列答案见解析，数学期望：（分）.
解析：（1）补充列联表如下表：
男性 女性 总计
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
总计
，
有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”.
（2）的所有可能的取值为.
’
的分布列为
（分）
7、羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．
（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；
（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望．
答案：（1）；（2）分布列见解析；期望为3．
解析：（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A，
可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以；
（2）易知X的取值为0，1，2，3，4，且，
，，
，，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望．
8、甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲蠃的概率为，输的概率为.
（1）求甲最终获胜的概率；
（2）记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
答案：（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望是.
解析：（1）设甲最终获胜的概率为P，比赛四局甲获得胜利的概率为，比赛五局甲获得胜利的概率为，
比赛六局甲获得胜利的概率为，比赛七局甲获得胜利的概率为，
于是得，
所以甲最终获胜的概率为；
（2）X的可能取值为4，5，6，7，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
X 4 5 6 7
P
于是得，
所以的数学期望为.2023年高考数学考点复习——分布及其分布列
考点一 超几何分布
例1、北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.
例2、近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．
（1）用表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望；
（2）设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率．
跟踪练习
1、端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
2、某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.
（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？
（2）从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设表示所抽取的3名同学的得分在的人数，求的分布列及数学期望.
3、随着手机的日益普及，中学生使用手机的人数也越来越多，使用的手机也越来越智能．某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了名学生进行问卷调查．经统计，有的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学习成绩优秀的占，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占．
（1）请根据以上信息完成列联表，并分析是否有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？
学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计
在校期间使用手机
在校期间不使用手机
合计
（2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人，设这人中在校期间使用手机的学生人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．．
参考数据：
4、为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；
（2）若从第一 五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
考点二、二项分布
例1、随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 50 100 250 60 40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
例2、2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）
平均锻炼时间
人数 27 39 a b 45 15
频率 0.09 0.13 0.38 c 0.15 0.05
（1）求，，的值；
（2）为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于分钟的居民进行奖励，为使30%的人得到奖励，试估计的取值？
（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均锻炼时间不低于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望．
跟踪练习
1、某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为
（1）求直方图中的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
2、中国探月工程自2004年批准立项以来，聚焦“自主创新 重点跨越 支撑发展 引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？
关注 没关注 合计
男生
女生
合计
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三女生中随机抽取2人.记被抽取的2名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
3、新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区居民人一周的口罩使用量统计如表所示，其中个人一周的口罩使用为个以及个上的有人.
个人的一周口罩使用数量（单位：个）
频率
（1）求、的值；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从地区的所有居民中随机抽取人，记一周使用口罩数量（单位：个）在范围的人数为，求的分布列及数学期望.
4、从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.
（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望.
5、青年大学习是共青团中央组织的青年学习行动，共青团中央用习近平新时代中国特色社会主义思想武装全团 教育青年，把深入学习宣传贯彻党的十九大精神作为首要政治任务和核心业务，在全团部署实施“青年大学习”行动.某区为调在学生学习情况，对全区高中进行抽样调查，调查最近一周的周得分情况.如下茎叶图是抽查的A校和B校各30人得到的这周得分情况：
根据成绩分为如下等级：
成绩 (单位：分)
等级 不合格 合格 良好 优秀
（1）根据茎叶图判断A校和B校中的哪个学校完成学习的效果更好，并说明理由(不要求计算)；
（2）现要从A校被抽查的成绩等级合格和不合格的8名同学中任选4人进行座谈，记其中所含不合格人数，求的分布列和期望；
（3）若将所统计的这60人的频率作为概率，在全区的高中学生中任意抽取4人参加知识竞赛，记其中所含成绩优秀人数，求的分布列 期望和方差.
6、电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
附：，
0.05 0.01
3.841 6.635
7、某地为了解高三学生运动量是否达标，随机抽取了200名同学进行调查，得到数据如下：在120名男生中，运动量达标的有60人；在80名女生中，运动量未达标的有50人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为运动量达标与性别有关.
运动量达标 运动量未达标 合计
男生人数
女生人数
合计
（2）以上述数据样本来估计总体，现从该地的所有高三学生（人数众多）中逐一随机抽取3人，记这3人中运动量达标的男生人数为随机变量X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
，其中.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
8、设甲 乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.
9、在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
考点三、 正态分布
例1、已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
例2、（多选）近年来，中国进入一个鲜花消费的增长期．某农户利用精准扶贫政策，货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，则下列正确的是（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则
A．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为
B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售更集中
C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中
D．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为
跟踪练习
1、已知随机变量，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
2、（多选）（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量X，Y满足，且，则
C．线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
D．设，则越大，正态分布曲线越矮胖
3、某企业为了提高产量，需通过提高工人的工资，调动员工的工作积极性，为了对员工工资进行合理调整，需对员工的日加工量进行分析.为此随机抽取了50名员工某天加工零件的个数x（单位：个），整理后得到频数分布表如下：
零件个数x/个
频数y 5 6 9 12 8 6 4
（1）由频数分布表估计这50名员工这一天加工产量的平均值x（四舍五入取整）（区间值用中点值代替）；
（2）该企业为提高产量，开展了一周（7天）的“超量有奖”宣传活动，并且准备了6.5万元用于发给超量的员工.规定在这一周内，凡是生产线上日加工量在290个以上（含290）的员工，除获得“日生产线上的标兵”的荣称号外，当天还可额外获得100元的超量奖励，若该企业生产线上的4000名员工每天加工零件数量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的平均值，请利用正态分布知识估计6.5万元用于超量奖的准备金是否充足；
（3）为了解“日生产线上的标兵”员工的生产情况，企业有关部门对抽取的样本中的50名员工中的日生产量进行分析发现，有6个获得“日生产线上的标兵”的荣誉称号，现从这6名员工中任意抽取4名员工，记日生产量至少为300个的员工人数为，求的分布列与数学期望.
参考数据：，，.
4、2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：9:46，记作时刻46.
（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：若随机变量T服从正态分布，则，，.
5、某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答道题，第一题为教育心理学知识，答对得分，答错得分，后两题为学科专业知识，每道题答对得分，答错得分．
（Ⅰ）若一共有人应聘，他们的工作经历评分服从正态分布，分及以上达标，求进面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列及数学期望．
附：若随机变量，则，，．
6、绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球、个黄球、5个黑球（），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．
（1）经统计，每人的植树棵数服从正态分布，现有100位植树者，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？
附参考数据：若，则，．
7、数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）
解题中可参考使用下列数据：，，．
8、中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）求；
（ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
考点四 、独立重复实验
例1、某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得-10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得-10分.规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功.若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；
（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列 期望和闯关成功的概率.
例2、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设各局比赛结果互相独立.
（1）分别求甲队以，，胜利的概率；
（2）若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分，求乙队得分的分布列及数学期望.
跟踪练习
1、某公司每五年需淘汰一批旧机器并购买一批新机器，购买新机器的同时，也要购买易损零件．每台新机器随机器购买第一个易损零件花费1500元，优惠0元；每多买一个易损零件都要在原优惠基础上多优惠100元，即购买第一个易损零件没有优惠，第二个易损零件优惠100元，第三个易损零件优惠200元，……，依此类推，每台新机器最多可随新机购买8个易损零件．平时购买易损零件按零售价每个2000元买入．根据以往的记录，十台机器正常工作五年内使用的易损零件数如表：
使用易损零件数 6 7 8
机器台数 3 5 2
以这十台机器使用易损零件数的频率代替一台机器使用易损零件数发生的概率，假设每台机器使用易损零件的个数是相互独立的，记X表示两台机器五年内使用的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若在购买两台新机器时，每台机器随机器购买7个易损零件，求这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望．
2、一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，各部件的状态相互独立．
（1）求设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率；
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
3、一位同学分别参加了三所大学招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为、、，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．
（1）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；
（2）设该同学通过笔试的大学所数为，求的分布列和数学期望．
4、体育交流是学校之间交流的重要方式.甲乙两校定期举办击球比赛，规定：把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合.每一回合中，发球队赢球后得分1分，另一队得零分，在下一回由发球队继续发球；发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球.甲乙两队正在进行这种击球比赛，假设每一回合甲队贏球的概率是，乙队赢球的概率是，且各回合比赛的结果相互独立.
（1）第一回合由甲队发球，在连续三个回合中，求甲队得1分的概率；
（2）比赛进入决胜局，两队得分均为25分.在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队伍获胜.求在比赛四回合以内（包含第四回合），甲队获胜的概率.
5、有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．
6、某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示：
男性 女性
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；
（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节 各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
7、羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．
（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；
（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望．
8、甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲蠃的概率为，输的概率为.
（1）求甲最终获胜的概率；
（2）记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望.

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