资源简介

第三章 圆锥曲线的方程
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学案
一、学习目标
1.掌握椭圆的简单几何性质，能利用简单性质求椭圆方程.
2.理解椭圆简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想.
3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题.
二、基础梳理
两种椭圆的简单几何性质
标准方程
焦点位置及坐标 焦点在x轴上， 焦点在y轴上，
图形
范围 ， ，
对称性 关于x轴、轴对称，关于原点对称
顶点坐标 ，，， ，，，
长、短轴长 长轴长，短轴长
离心率
三、巩固练习
1.若直线经过椭圆的一个焦点，且椭圆的长轴长与短轴长的比值为，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则( )
A. B.2 C. D.4
3.已知椭圆的一个焦点是圆的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，M是椭圆上的动点，且满足恒成立，则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，是椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的右顶点，离心率e为.过点的直线l上存在点P，使得轴，且是等腰三角形，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法中正确的是( )
A.椭圆C的方程为 B.椭圆C的方程为
C. D.的周长为
8. （多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别为,短轴的上、下两个端点分别为,的面积为1,离心率为,点P是C上除长轴和短轴端点外的任意一点,的平分线交C的长轴于点M,则( )
A.椭圆的焦距等于短半轴长 B.面积的最大值为2
C. D.的取值范围是
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意可知，椭圆)的一个焦点为，所以.因为椭圆的长轴长与短轴长的比值为，即，所以.又因为，所以，.故选B.
2.答案：C
解析：因为椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,所以,得,故选C.
3.答案：D
解析：圆的标准方程为圆心坐标为.又.椭圆的焦点在轴上,椭圆的左顶点为.
4.答案：C
解析：由题意，得椭圆C的左焦点，将代入椭圆C的方程，可得，可取点.因为点，所以直线BP的方程为，令，得点.又点，则直线AE的方程为，令，得点.因为M是线段PF的中点，则，化简，得，则椭圆C的离心率.
5.答案：D
解析：因为点在椭圆的外部，所以，则，所以椭圆的离心率.因为，，且，要使恒成立，则，可得.又椭圆的离心率，所以椭圆离心率的取值范围是.
6.答案：C
解析：根据题意，得，得.由是等腰三角形，轴，得为钝角，且.又，所以，所以点，所以.
7.答案：ACD
解析：由已知，得，，则.又，所以，所以椭圆的方程为.由题意，得，的周长为.故选ACD.
8.答案：CD
解析：由椭圆C的离心率为,得.因为的面积为1,所以.又.所以,所以椭圆的焦距等于短轴长,因此A错误.由,得椭圆C的标准方程为,故,所以,因此B错误.由于的平分线交C的长轴于点M,因此,,所以,即.又,,所以,因此C正确.设,则.又,且,即,且,所以,且,所以,且,所以,所以,因此D正确.故选CD.

展开更多......

收起↑