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第02课 三角形的高线、中线和角平分线
课程标准 课标解读
1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点． 1、掌握三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．2、掌握钝角三角形的高的画法．
知识点01 三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图2，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。
AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
要点诠释：
　　①三角形的高是线段；
　　②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。
　　③三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点。
知识点02 三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC。　
AD是ΔABC的中线BD＝CD＝BC。
要点诠释：
　　①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．
④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
知识点03 三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线的数学语言：
如图4，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上。
即AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC
(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)
要点诠释：
　　①三角形的角平分线是线段；
②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心．
④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。
知识点04 三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
要点诠释：
　　①三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
　　②三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
　　③四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．
考法01 三角形的高线的概念
【典例1】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D选项中线段BE是△ABC的高.
考点：三角形的高
【典例2】三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是_____．
【答案】直角三角形
【解析】
【分析】
根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
【详解】
解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
∴此三角形是直角三角形．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
考法02 三角形的中线的概念和性质
【典例3】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可．
【详解】
∵DF是△CDE的中线，
∴S△CDE=2S△DEF，
∵CE是△ACD的中线，
∴S△ACD=2S△CDE=4S△DEF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC=2S△ACD=8S△DEF，
∵△DEF的面积是2，
∴S△ABC=2×8=16．
故选A
【点睛】
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
【典例4】BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
【详解】
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．
考法03 三角形的角平分线的概念和性质
【典例5】如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．
【答案】125
【分析】
由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠BOC．
【详解】
解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=180°-（180°-70°）
=125°，
故答案为：125．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
【典例6】如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D.若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是(　　)
　　
A．10° B．12° C．15° D．18°
【答案】A
【分析】
根据角平分线定义求出∠EAC=64°,根据垂线定义求出∠CAD=54°,相减即可求解.
【详解】
解：∵AE平分∠BAC, ∠BAC＝128°，
∴∠EAC=64°,
∵AD⊥BC,∠C＝36°，
∴∠CAD=54°,
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC =64°-54°=10°,
故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义,垂线的定义,属于简单题,表示出∠EAD=∠EAC-∠DAC是解题关键.
题组A 基础过关练
1．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【答案】A
【详解】
根据题意可得，在△ABC中，，则，
又AD为△ABC的角平分线，
又在△AEF中，BE为△ABC的高
∴
考点：1、三角形的内角内角之和的关系 2、对顶角相等的性质.
2．如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，依此即可求解．
【详解】
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△CDE=S△ACD，S△ACD=S△ABC，
∴S阴影=S△ABC=×4=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．
3．不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上皆不对
【答案】C
【详解】
试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
4．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【详解】
试题分析：因为直角三角形的三条高线的交点是直角顶点，而其他三角形三条高线的交点都不在顶点上，所以如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形．
故选B．
点睛：本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．
5．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】
试题分析：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误；
三角形的角平分线是线段，故②错误；
三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故③错误；
所以正确的命题是④⑤，共2个．
故选B．
6．下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【分析】
根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
【详解】
①三角形的角平分线是线段，说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
7．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______．
【答案】三角形的稳定性
【详解】
钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性
故答案为：三角形的稳定性
8．如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，再根据角平分线的定义可得∠DBC= ∠ABC，∠DCE=∠ACE，然后整理可得∠D=∠A．
【详解】
由三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE，
∴ (∠A+∠ABC)=∠D+∠ABC，
∴∠D=∠A，
∵∠A=50°，
∴∠D=25°；
故答案为：25°.
【点睛】
此题考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解题关键在于得到∠D=∠A．
题组B 能力提升练
1．已知∠AOB=3∠BOC,射线0D平分∠AOC,若∠BOD=30°,则∠BOC的度数为________.
【答案】15°或30°．
【解析】
【分析】
根据题意先画出图形，分两种情况讨论∠BOC在∠AOB内部和∠BOC在∠AOB外部时，先根据∠AOB=3∠BOC，可设∠BOC=x，则∠AOB=3x，再根据角平分线的定义，将各个角用含有x的式子表示，最后根据∠BOD=30°，即可求出x的值，从而得出∠BOC的度数．
【详解】
如图1，当∠BOC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=3∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=x，
∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=2x，
∵∠BOD=30°，
∴2x=30°，
∴x=15°，
即∠BOC=15°；
如图2，当∠BOC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=3∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=2x，
∴∠BOD=∠DOC-∠BOC=x，
∵∠BOD=30°，
∴x=30°，
即∠BOC=30°．
∴∠BOC的度数为：15°或30°．
故答案为：15°或30°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质以及角的计算，根据已知画出相应的图形是本题的关键，注意有两种情况，不要漏解．
2．下列叙述正确的是（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点．
A．②④ B．①②④ C．③④ D．④
【答案】A
【分析】
分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可．
【详解】
解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误；
②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确；
③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误；
④三角形的三条角平分线交于一点，说法正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题．
3．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB=__________
【答案】8 cm．
【详解】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，
∴AB+BC=27－9=18 cm，∴AB+2BD=18 cm，
∵AD＝6cm，△ABD周长为19cm，
∴AB+BD=19－6=13 cm，
∴BD=5 cm，
∴AB=8 cm，
故答案为8 cm．
4．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】⑴4.8cm；⑵12cm ；⑶2cm.
【分析】
（1）利用直角三角形面积的两种求法求线段AD的长度即可；（2）先求△ABC的面积，再根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求得△ABE的面；（3）由AE是中线，可得BE=CE，根据△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，即可求解．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC=BC AD，
∴AD= =4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE AD=EC AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点睛】
本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用直角三角形面积的两两种表达方式求线段AD的长．
5．如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：．
【答案】证明见解析.
【详解】
试题分析：根据三角形内角和定理以及AD是BC边上的高，求得∠BAD=90°-∠B，再根据AE平分∠BAC，求得∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求解．
试题解析：∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°-∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C．
∵∠DAE=∠BAE-∠BAD，
∴∠DAE=（90°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=∠B-∠C=（∠B-∠C）．
6．如图，的两条外角平分线交于点，，三角形的内角和为，求的度数.
【答案】.
【解析】
【分析】
先由三角形的内角和定理求出，然后再根据补角及角平分线的性质求出，最后再根据三角形的内角和定理求出∠P即可.
【详解】
解：
平分，平分
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
题组C 培优拔尖练
1．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
【答案】∠CDF=72°．
【详解】
试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
试题解析：∵∠A=40°，∠B=76°，
∴∠ACB=180°﹣40°﹣76°=64°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=32°，
∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，
∴∠CDE=90°，DF⊥CE，
∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，
∴∠CDF=72°．
2．如图，在中，，边上的高，为边上任一点，于点，于点，求的值.
【答案】10
【分析】
连接AP，由三角形ABC的面积等于三角形APB与三角形APC面积的和，根据三角形面积公式即可求得答案.
【详解】
连接，
∵CD⊥AB，，，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线是解题的关键.
3．如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90+∠A．
变式1：如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A．
变式2：如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求证：∠BOC=90-∠A．
【答案】见解析
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；
变式1：根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，由三角形外角性质可得；∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1，两式联立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1，即∠BOC=∠A．
变式2：根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BOC=90-∠A..
【详解】
（1）证明：在△BOC中，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A；
变式1：∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，
∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD
∵∠2、∠ACO分别是△BCO、△ABC的外角
∴∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1，
∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1，
∴∠BOC=∠A．
变式2：∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分线.
∴∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC，
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°- （∠A+180°），
=90°- ∠A；
【点睛】
本题考查三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．
4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
【答案】(1) 111 ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；
（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；
（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.
【详解】
（1）如图1,延长AD交BC于E，
在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28 +72 =100 ，
在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100 +11 =111 ；
（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：
如图2，
∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3
∴∠A+∠1=∠P+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠A+∠2=∠P+∠4
由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C
∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C
∴∠A－∠C=2∠P
（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:
如图3,
同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2
∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠A+∠C=2∠P
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
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分层提分第02课 三角形的高线、中线和角平分线
课程标准 课标解读
1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点． 1、掌握三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．2、掌握钝角三角形的高的画法．
知识点01 三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图2，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。
AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
要点诠释：
　　①三角形的高是 ；
　　②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。
　　③三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形 ，三条高的交点也在三角形 ；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的 ，且三条高的交点在三角形的 ；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是 。
知识点02 三角形的中线
三角形的一个顶点与它的 的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC。　
AD是ΔABC的中线BD＝CD＝BC。
要点诠释：
　　①三角形的中线是 ；
②三角形三条中线全在三角形 ；
③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的 ．
④中线把三角形分成 相等的两个三角形。
知识点03 三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的 之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线的数学语言：
如图4，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上。
即AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC
(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)
要点诠释：
　　①三角形的角平分线是 ；
②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的 ；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的 ．
④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。
知识点04 三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的 ．
要点诠释：
　　①三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指 ．
　　②三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
　　③四边形 ，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．
考法01 三角形的高线的概念
【典例1】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．C． D．
【典例2】三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是_____．
考法02 三角形的中线的概念和性质
【典例3】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于
A．16 B．14 C．12 D．10
【典例4】BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是_____．
考法03 三角形的角平分线的概念和性质
【典例5】如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．
【典例6】如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D.若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是(　　)
　　
A．10° B．12° C．15° D．18°
题组A 基础过关练
1．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
2．如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上皆不对
4．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______．
8．如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___.
题组B 能力提升练
1．已知∠AOB=3∠BOC,射线0D平分∠AOC,若∠BOD=30°,则∠BOC的度数为________.
2．下列叙述正确的是（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点．
A．②④ B．①②④ C．③④ D．④
3．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB=__________
4．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
5．如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：．
6．如图，的两条外角平分线交于点，，三角形的内角和为，求的度数.
题组C 培优拔尖练
1．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
2．如图，在中，，边上的高，为边上任一点，于点，于点，求的值.
3．如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90+∠A．
变式1：如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A．
变式2：如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求证：∠BOC=90-∠A．
4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
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