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厚德外国语学校2022级高一精品实验班第一次月考
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2.命题“存在，”的否定形式是（ ）
A．任意，
B．存在，或
C．存在，
D．任意，或
3.已知集合，，，则集合，，的关系为（ ）
A． B． C． D．，
4.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上是奇函数，也是增函数 B．函数在上是奇函数，也是减函数
C．函数在上是偶函数，也是增函数 D．函数在上是偶函数，也是减函数
5.命题p：，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．个 B．个 C．个 D．个
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9.给出的下列选项，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10.已知，且，，，则取值可能为（ ）
A． B． C． D．
11.设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12.用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数，则______．
14.计算：的值是__________．
15.已知正实数满足，则的最小值为___________.
16.设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为______________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知全集为R，A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数p，q的值；
（2）若B＝{x|x2+2x+q＝0}＝{m，n}（m，n∈R），求使得为整数的实数的整数值．
19. （本小题满分12分）
已知不等式的解集为.
(1)求、的值，
(2)若，，，求证：.
20. （本小题满分12分）
为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
21. （本小题满分12分）
已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
22. （本小题满分12分）
已知正数a、b满足．
（1）求2a+b的最小值；
（2）求的最小值．厚德外国语学校2022级高一精品实验班第一次月考
数学试卷参考答案
一单选题
1.A 2.D 3.B 4. A 5 .A 6.C 7.A 8.A
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9.BC 10. BCD 11.AB 12.ABD
三、填空题
13 . 14. 5. 15. 8 16 . -8
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
【详解】（1）因为，所以或．
又且，
所以，解得………………..4分
所以实数的取值范围是．……………………5分
（2）若（补集思想），则．
当时，，解得； ……………….6分
当时，，即，……………………..7分
要使，则，得．…………………….8分
综上，知时，，…………………….9分
所以时，实数的取值范围是．………………….10分
18． （1）由题意A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}，且A∩B＝{2}，
故……………………..2分
所以……………………..4分
解得……………………..6分
（2）由题意，
解得……………………..8分
此时
故为整数……………………..10分
所以，又
故……………………..12分
19.（1）解：由可得，解得，……………………..2分
所以，不等式的解集为，因此，，.………………..6分
（2）证明：由已知可得，
又因为且，则，……………………..10分
当且仅当时，等号成立，故，故.……………..12分
20. （1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，
则梯形长的底边，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故海报面积为．……………………..5分
（2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，
，……………………..7分
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
海报宽，海报长，……………………..9分
故， …………..11分
当且仅当，即，
故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．………………..12分
21.（1）解：函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域，
因为，
所以为上的奇函数；……………………..6分
（2）解：因为，因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在上单调递增，……………………..8分
则不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，……………………..10分
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以的范围为．……………………..12分
22. （1）因为a、b是正数，
所以，……………………..4分
当且仅当a＝b＝2时等号成立，
故a+b的最小值为4．……………………..6分
（2）由……………………..7分
因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，……………………..8分
则，……………………..10分
当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．………..12分

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