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第四章 图形的相似综合测试题（解析版）
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．给出四个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；
②两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
其中正确的命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
解：三边对应成比例的两个三角形相似，①正确；
两边对应成比例，且它们夹角对应相等的两个三角形相似，②不正确；
一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，③正确；
同为顶角的角（或同为底角的一个角）对应相等的两个等腰三角形相似，④不正确；
故选：B．
2．如图，四边形中，ABDC，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
解点，分别是边和对角线的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
故选B．
3．如图，中，是边上一点，交于点，连接，交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
，
∵，
∴，
，
∴，
故A选项正确；
∵，
故B选项说法错误，不符合题意；
，
故C选项说法错误，不符合题意；
∵与不相似，
∴
故D选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
4．如图，在、中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且，，，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
解∵可以假设，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，, ,，,
∴
∴
故选:B．
5．如图，在正方形和直角中，B、C、F三点共线，，，，连接，，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=AB，∠ACB=∠ACD=45°，∠BCD=90°，
∴∠CAF+∠AFC=45°，∠CAE+∠AEC=45°，
∵∠ECF=90°，B、C、F三点共线，
∴∠BCE=180°-∠ECF=90°，
∴∠BCE+∠BCD=180°，
∴D、C、E三点共线，
∵∠EAF=45°，
∴∠CAE+∠CAF=45°，
∴∠AEC=∠CAF，∠AFC=∠CAE，
∴△AEC∽△FAC，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形；
②每条直线有个黄金分割点；
③、分别在的边、上，若，则；
④如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
⑤三角形的重心一定在三角形内部．
A．个 B．个 C．个 D．个
解：①有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，例如，当两腰分别是一条对角线与四边形的一条边时结论不成立，所以原命题是假命题；
②每条线段有个黄金分割点，直线不能度量长度，所以原命题是假命题；
③、分别在的边、上，若，，那么不能证明DE//BC，所以原命题是假命题；
④如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，真命题；
⑤三角形的重心一定在三角形形内部，真命题．
故选：B．
7．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与相交于点M，已知，则点M离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
解∵和表示两根直立于地面的柱子，
∴AB⊥BC，CD⊥BC，MH⊥BC，
∴ABCDMH，
∴∠A=∠MCD，∠ABM=∠D
∴△ABM∽△CDM，
∴===(相似三角形对应高的比等于相似比)，
∴=
∴=，
即=，
∵MHAB，
∴∠A=∠CMH，∠ABC=∠MHC，
∴△MDH∽△ADB，
∴==，，
∴=，
解得MH=．
∴点M离地面的高度MH为m．
故选：A．
8．如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（ ）
A．： B．： C．： D．：
解:过点D作与BF交于点G，如图：
是的中线
即
即
故选：A．
9．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G.则下列结论：①△ADF∽△GCE；②△AFB∽△ABE；③CG＝3BG；④AF＝EF，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解:如图，连接AC，交BD于O，过点E作EH⊥BC于H，
∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，
∴∠ABE=135°，
∵∠AFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+45°>45°，
∴∠AFB=180°-∠AFD<135°，
∴∠AFB≠∠ABE，
∴△AFB与△ABE不相似，故②错误，
∵EH⊥BC，∠ABC=90°，
∴EHAB，
∴∠HEG=∠FAB，
∴∠AFD=∠FAB+∠ABD=45°+∠HEG=∠CEG，
又∵∠ADB=∠GCE=45°，
∴△ADF∽△GCE，故①正确，
∵EHAB，
∴△HEG∽△BAG，
∴，
∵△BCE是等腰直角三角形，
∴EH=CH=BH=BC=AB，
∴=，
即BG=2HG，
∴CH=BH=3HG，
∴CG=CH+HG=4HG，
∴CG=2BG，故③错误，
∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，
∴∠AOF=90°，∠FBE=∠DBC+∠CBE=45°+45°=90°，
OA=AB，BE=BC，
∴∠AOF=∠FBE，OA=BE，
在△AOF和△EBF中，
，
∴△AOF≌△EBF，
∴AF=EF，故④正确，
综上所述：正确的结论有①④，
故选：B．
10．如图，在正方形中，为上一点，点是上的一点且，连结，交于点满足，现给出下列结论：①；②；③若为中点，则其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADH=45°，
∵，
∴，
∵∠AHE=∠DHA，
∴△AHE∽△DHA，
∴∠HAE=∠ADH=45°，
∵AE=EG，
∴∠EGA=∠HAE=45°，
∴∠AEG=180°-∠HAE-∠EGA=90°，
∴EG⊥AF，故①符合题意；
如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABM，则△ADF≌△ABM，
∴AM=AF，DF=BM，∠DAF=∠BAM，
∴∠DAF+∠BAF=∠MAB+∠BAF=∠BAD=90°，
∴∠MAF=90°，
∵∠HAF=45°，
∴∠MAG=∠FAG=45°，
在△MAG和△FAG中，，
∴△MAG≌△FAG（SAS），
∴GM=GF，
∵MB+BG=MG，
∴DF+BG=GF，故②符合题意；
设正方形ABCD的边长为2a，BG=m，
∵F为CD的中点，
∴CF=DF=a，
∴CG=2a-m，FG=DF+BG=a+m，
在Rt△FCG中，，
∴，
∴m=a，即BG=a，
∴CG=2a-m=2a-a=a，
∴CG=2BG，故③符合题意；
故选：D．
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．如图，矩形内接于，且边落在上．若，，，，那么的长为__．
解：设AD与EH相交与点M，
四边形是矩形，
∴，
∴，
，，
，
设，则有，，
，
解得：，
则．
故答案为：．
12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，则图中阴影部分的面积等于______．
解：在网格图中取点A、B、C、D、E、F、G，如图，
结合网格图，∵，
∴
∴：：，
∴：：，
∴，，
∵，
∴
∴：：：，
∴：：，
∴：：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，P，Q两点同时出发，同时停止，经过 _____秒，以C，P，Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
解：∵∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，
∴AC＝＝6（cm），
设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．
∵CP=BC-BP=8-2y，CB=8，CQ=y，CA=6．
∵△CPQ∽△CBA，
∴，
∴，
∴y=．
设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．
∴CP=BC-BP=8-2y．
∵△CPQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴y=．
所以，经过秒或者经过秒后两个三角形都相似，
故答案是：或．
14．英国数学家莫雷在1904年发现莫雷角三等分线定理：如图，将任意△ABC的三个内角三等分，每两个内角相邻的三等分线交点D，E，F恰好构成一个正三角形．若△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，且△ADE的面积为6，则△FBC的面积为________．
解：连接AF并延长交DE于点G，交BC于点H
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°
∵每两个内角相邻的三等分线交点D，E，F
∴∠DBA=∠FBD=∠FBC =∠ABC=15°
同理，得
∠BAD=∠CAE=∠DAE=30°
∠BCF=∠ACE =∠ACB=15°
∴∠DBA=∠ACE，∠BFC=180°-∠BCF-∠FBC=150°
则△ABD≌△ACE
∴AD=AE
又∵△DEF是等边三角形
∴DF=EF
则AH为DE和BC的垂直平分线
∴FH⊥BC，AG⊥DE，∠DAG=∠DAE=15°=∠CBF，
∠DFG=∠DFE=30°，∠BFH=∠BFC=75°
则∠BFD=180°-∠DFG-∠BFH=75°
∴∠BDF=180°-∠BFD-∠FBD=90°
即BD⊥DF
∵BF平分∠CBD
∴FH=DF=DE=2DG
又∵∠DAG=∠CBF，∠AGD=∠BHF=90°
∴△ADG∽△BFH
则
∴
则
故答案为：24.
15．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接、，直线、交于点，连接．
（1）与的等量关系是：___；
（2）在旋转过程中，线段的最大值是___．
解：（1），理由如下：
由旋转可知：，
，，，
，，
，
，
；
故答案为：；
（2）取的中点，连接，，设，交于点，如图：
由（1）知，
，
，
，
是的中点，
，
，
当，，共线时，最大为，
故答案为：．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，点C、D在线段AB上，是等边三角形，若，求证：．
证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵∠APB=120°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∵∠A+∠APC=60°，
∴∠BPD=∠A，
∴△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=CD，
∴，
∴．
17．（6分）如图，，分别是的边，上的点， ，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
解：（1）∵，，，．
∴，
∴，
∵，∠A=∠A，
∴．
（2）∵，
∴，
又∵，
∴．
18．（8分）如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，
(1)试说明：△ABC∽△ADE；
(2)若AC=2AE，BC=6，求DE的长．
解：（1）∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠C，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AC=2AE，BC=6，
∴，
∴DE=3，
即DE的长是3．
19．（8分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．
（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在 ABCD中，且AD＝BC，
∴且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴，
∴EC＝2DF＝8，
解法一：∴．
解法二：∴．
20．（8分）如图，已知正方形的边长为，正方形的边长为，点在边上，点在延长线上，点为上的点，连接，．
(1)当时，求证：．
(2)若点为的中点，在（1）的条件下，求出与满足的关系式．
（1）证明：连接DF，
四边形，都是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
∵，
．
（2）点为的中点，
，
，，
，
由（1）可知，
，
，
，
即与满足的关系式为．
21．（9分）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG．
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．
（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形．
∴AB=BF=BC，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=90°=∠C，
∵BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG；
（2）解：延长BH，AD交于Q，如图，
设FH=HC=x， 由矩形及对折可得：，，
在Rt△BCH中，，
∴，解得
∴DH=DC-HC=，
∴∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，
∴△BFG△BCH，
即
∴，，
∵，，
∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，
∴，即，
∴，
设AE=EF=m，则DE=8-m，
∴EQ=DE+DQ=，
∵EFQ∽△GFB，
∴ ，即
解得，
∴AE的长为；
22．（10分）【问题情境】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，F是AC边上一动点（点F不与点A，C重合），以CF为边在△ABC外作正方形CDEF，连接AD，BF．
(1)【探究展示】①猜想：图1中，线段BF，AD的数量关系是 ，位置关系是 ．
②如图2，将图1中的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α，BF交AC于点H，交AD于点O，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，将【问题情境】中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，连接BF并延长，交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF．若AC=4，BC=3，CD=，CF=1，求的值．
（1）解：①∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF=CD，
∵∠ACB=∠ACD=90°，
在△BCF和△ACD中
，
∴△BCF≌△ACD(SAS)，
∴BF=AD，
延长BF交AD于点G，
∵∠CAD=∠FBC，
∴∠CAD+∠AFG=∠FBC+∠BFC=90°，
∴∠AGF=90°，
∴BF⊥AD；
故答案为：BF=AD，BF⊥AD；
②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，理由如下：
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD，
在△BCF和△ACD中
∴△BCF≌△ACD(SAS)，∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD；
（2）证明：连接DF，
∵四边形CDEF是矩形，
∴∠FCD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠FCD，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，
即∠BCF=∠ACD，
∵AC=4，BC=3，CD=，CF=1，
∴，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF=∠CAD，
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD，
∴∠BOD=∠AOB=90°，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=，CF=1，
∴，
∴．
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第四章 图形的相似综合测试题（原题版）
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．给出四个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；
②两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
其中正确的命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，四边形中，ABDC，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，中，是边上一点，交于点，连接，交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在、中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且，，，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形和直角中，B、C、F三点共线，，，，连接，，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
6．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形；
②每条直线有个黄金分割点；
③、分别在的边、上，若，则；
④如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
⑤三角形的重心一定在三角形内部．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与相交于点M，已知，则点M离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（ ）
A．： B．： C．： D．：
9．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G.则下列结论：①△ADF∽△GCE；②△AFB∽△ABE；③CG＝3BG；④AF＝EF，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形中，为上一点，点是上的一点且，连结，交于点满足，现给出下列结论：①；②；③若为中点，则其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．如图，矩形内接于，且边落在上．若，，，，那么的长为__．
12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，则图中阴影部分的面积等于______．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，P，Q两点同时出发，同时停止，经过 _____秒，以C，P，Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
14．英国数学家莫雷在1904年发现莫雷角三等分线定理：如图，将任意△ABC的三个内角三等分，每两个内角相邻的三等分线交点D，E，F恰好构成一个正三角形．若△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，且△ADE的面积为6，则△FBC的面积为________．
15．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接、，直线、交于点，连接．
（1）与的等量关系是：___；
（2）在旋转过程中，线段的最大值是___．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，点C、D在线段AB上，是等边三角形，若，求证：．
17．（6分）如图，，分别是的边，上的点， ，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．（8分）如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，
(1)试说明：△ABC∽△ADE；
(2)若AC=2AE，BC=6，求DE的长．
19．（8分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．
20．（8分）如图，已知正方形的边长为，正方形的边长为，点在边上，点在延长线上，点为上的点，连接，．
(1)当时，求证：．
(2)若点为的中点，在（1）的条件下，求出与满足的关系式．
21．（9分）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG．
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．
22．（10分）【问题情境】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，F是AC边上一动点（点F不与点A，C重合），以CF为边在△ABC外作正方形CDEF，连接AD，BF．
(1)【探究展示】①猜想：图1中，线段BF，AD的数量关系是 ，位置关系是 ．
②如图2，将图1中的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α，BF交AC于点H，交AD于点O，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，将【问题情境】中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，连接BF并延长，交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF．若AC=4，BC=3，CD=，CF=1，求的值．
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