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人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章　圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A． B． C． D．
5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点，点P在曲线上运动，点Q在曲线上运动，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
8．若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（ ）
A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<09．已知双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交，过作双曲线两条渐近线的平行线，分别与直线交于点、，若为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
10．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
11．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
12．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
二、填空题
13．已知点为圆上的动点，过圆心作直线垂直于轴交点为，点为关于轴的对称轴，动点满足到点与到的距离始终相等，记动点到轴距离为，则的最小值为__________．
14．已知椭圆C：(3>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，△OF1A的面积为2，则___________.
15．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为______．
16．抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为___________米.
三、解答题
17．如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标.
18．已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．
(1)求椭圆的离心率和的面积；
(2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由．
19．双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线的一条准线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程．
20．设椭圆方程为，椭圆的短轴长为2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过定点的直线与椭圆交于两点，证明：直线，的交点在定直线上.
21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为，可得，结合双曲线的定义，可得，即可求出，由和的离心率之积为，分别求出两个曲线的离心率的表达式，可建立等式关系，进而可求出的值.
【详解】
不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.
则，
因为点在双曲线上，所以，则，
又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，
所以，
解得.
故选：C.
关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的性质，解题的关键是根据和的离心率之积为，建立等式关系.本题中根据的内切圆的圆心的横坐标，可建立等式关系，得到4，可求出的值，再分别表示出和的离心率，由两个离心率之积为，可求出的值.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
2．A
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
3．B
分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.
【详解】
在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
4．D
根据椭圆方程，解得，然后由椭圆的定义求解.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
5．A
根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
6．C
由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】
由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
7．B
设圆心为F，可知F为抛物线的焦点，并且最小时，经过圆心F，设，则，，可得，换元后利用基本不等式求最值即可.
【详解】
解：设圆心为F，则F为抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义：，要使最小，则需最大，
如图
最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，
∴，且.
∴，
令，则，
∴，当时取“=”，此时.
∴的最小值为4.
故选：B.
本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题.
8．C
根据双曲线的标准方程，即可得出结论.
【详解】
双曲线可化为，
因为双曲线的焦点在轴上，所以，即．
故选：C.
9．C
设直线的方程为，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点，结合条件可得出关于、的齐次方程，求出的值，利用离心率公式可求得双曲线的离心率.
【详解】
由题意可令直线的方程为，
联立得，解得，即，同理可得，
则.
由于直线与双曲线相交，则，
所以，整理得，
解得或（舍去），所以，
故选：C.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
10．A
根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．
【详解】
由题意，解得，
∴椭圆方程为或
故选：A．
本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．
11．B
由双曲线的定义运算即可得解.
【详解】
由双曲线的定义得，即，
因为，所以.
故选：B.
12．D
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】
因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
13．
根据动点满足到点与到的距离始终相等，得到动点的轨迹为开口向左的抛物线，然后利用抛物线的定义， 由的最小值为求解.
【详解】
如图所示：
，
由抛物线的定义可知，动点的轨迹为开口向左的抛物线，
其焦点坐标为，准线方程为，
所以抛物线方程为．
圆的圆心为，半径为，
连接交圆于点，交抛物线于点，此时最小，
利用两点距离公式得，
所以的最小值为．
故答案为：
14．或
结合平面几何的知识可得，再结合椭圆定义可得或，最后由椭圆的定义及勾股定理列方程即可得解.
【详解】
因为|OF1|=|OA|，所以,所以△OF1A的面积，
所以，
由椭圆的定义可得，所以或，
设，则，
当时，由勾股定理得,
即，解得；
当时，由勾股定理得，解得；
综上，或.
关键点点睛：
解决本题的关键是灵活运用椭圆的定义及平面几何的知识转化所给条件.
15．4
由线段的中点恰好在椭圆上，则为右顶点，由中点坐标公式即可得解.
【详解】
由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，
可得，
解得，所以椭圆的长轴长为4．
故答案为：.
16．
先建立坐标系，根据题意求出抛物线的方程，再利用水升高1米后，则，解出的值，进而求出水面宽度.
【详解】
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以，
代入方程得，所以，
当水面上升1米后，即，
代入方程得
所以水面的宽是米
故答案为:
17．（1）2，；（2），.
(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.
【详解】
(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立.
此时，，则点G的坐标为.
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．(1)，；
(2)存在实数，使得直线经过轴上定点.
（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积；
（2）根据题意直线的方程为和，根据直线的方程，结合题意得到，求得，进而证明存在实数，使得直线经过轴上定点，即可得到答案.
(1)
解：由题意，椭圆经过点，
可得，解得，即椭圆，
因为，即，所以椭圆的离心率为，
又由左顶点为，右焦点为，所以，
所以的面积为.
(2)
解：设过点作直线的垂线的方程为，
由点，，可得直线的方程为，
当时，直线的方程为，交轴于点，
当时，直线的方程为，
此时交轴于点，
若直线经过轴上的定点，则，解得，直线交轴于点，
下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点，
联立方程组，整理得，
设，则，
设点，所以的方程为，
令，可得，
因为，所以，
所以直线经过定点，
综上可得，存在实数，使得直线经过轴上定点.
19．（1）；（2）.
（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距，再由准线方程求得，从而可得，然后可得双曲线方程．
（2）设弦的两端分别为，，代入双曲线方程相减利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程．
【详解】
∵椭圆的焦点为， ∴
∵一条准线方程为，，解得，∴，
∴双曲线的方程为．
（2）设弦的两端分别为，．则有：
．
∵弦中点为，∴．
故直线的斜率．
则所求直线方程为：．
思路点睛：本题考查双曲线的中点弦方程，解题方法是点差法，已知圆锥曲线的弦的中点坐标，可设弦两端点坐标为，代入圆锥曲线方程相减，结合中点坐标得出弦所在直线的斜率，从而可得直线方程．注意椭圆、抛物线的弦中点需在曲线内部，双曲线的弦中点只要不在双曲线即可．
20．(1)；(2)证明见解析.
(1)利用椭圆的几何性质列方程即可；
(2)设过T(1，0)的直线为，联立椭圆方程，结合韦达定理写出，设AC、BD方程，联立两直线方程，求出交点横坐标，化简计算即可.
【详解】
(1)由题意知，，
所以椭圆的标准方程为：；
(2)由(1)得，设，
直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，
设过T(1，0)的直线为，代入椭圆方程，整理得
，所以①，
联立两直线方程，消去y，整理得，
将代入整理，得，
把①式代入，整理得，
即直线AC与直线BD的交点的横坐标恒等于4，
所以直线AC与直线BD的交点恒在定直线x=4上.
21．（1）；（2）证明见解析.
（1）由椭圆的定义可知，在△中，由余弦定理和离心率可求得，进而可得答案.
（2）根据斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不为0，设出直线方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求得，，要证明就需要证明.代入求解即可.
【详解】
（1）在△中，，，
解得，所以，则椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率为0时，易知成立，
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
，消去有，
，
所以，
综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.
答案第1页，共2页
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