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湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高一年级10月联考
数 学 试 题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A，B，则AB＝（ ）
A. B.
C. D.
2.命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.使 “”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知，则的最小值为（ ）
A. 4 B.
C. D.
5.已知集合A=，B=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
B.
C. D.
6.下列不等式中正确的是（ ）
A． B. 的最小值为2
C. D．
7.定义集合运算：．若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8.已知为三个非负实数，且满足，，若，则的最大值与最小值之和为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列命题中正确的有（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B．AB=A是BA的必要不充分条件
C. 是的必要不充分条件
D. 已知，则是的充要条件
10.有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则满足条件的学生人数可以为（ ）
A．55 B．59
C．63 D．67
11.已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
12.若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知集合A=，若，则实数的值为________.
14.若正数满足，则的最小值________.
15.已知命题都成立，命题,若命题都是真命题，求实数的取值范围________.
16.已知，关于的不等式恰有四个整数解，则的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）
已知集合A=，集合B=.
（1）求集合B；
（2）求.
18.（本题满分12分）
已知集合A=，B=.
（1）若AB=，求的取值集合；
（2）若BA，求实数的取值范围.
19.（本题满分12分）
设函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若函数图像经过点，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
20.（本题满分12分）
已知函数.
（1）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
21.（本题满分12分）
某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足关系式(为常数).如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2022年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
（1）将2022年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.
22.（本题满分12分）
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=，点P从C点出发，沿CB方向运动至B点（不与点B重合），连接DP，过点P作QP⊥DP交AB于Q，以PQ为斜边作直角三角形POQ，且∠OPQ=300，O为直角顶点.
（1）在点P的运动过程中，求 POQ的外心到BC边的距离最大值；
（2）当点P从C点运动至点O恰好落在AD上时，求点O的运动路径长度.
参考答案及评分细则
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A C D D D A ACD BCD ABC BC
填空题
13. 0或-2 14. 15. 16.
17.（1）B=·····················································5分
（2），则，，·······················8分
则.··································10分（过程酌情给分）
18.(1)易得，，···················2分
；······························6分
(2)由题意知,，
或，····································10分
或························································12分
19.（1）由题意可知：方程的两根是，1，
所以，解得；·········································6分
（2）由函数图像经过得，
存在，成立，即使成立，
又因为，代入上式可得成立.
①当时，显然存在使得上式成立；··································8分
②当时，需使方程有两个不相等的实根，
所以，
即，
解得或，·················································11分
综上可知的取值范围是或．····················12分（过程酌情给分）
20.（1）原不等式可化为对任意恒成立，令，则，所以右式，当时，，当时，，所以；···················6分
（2）原不等式可化为，即，
①当时，不等式的解集为；当时，；··············8分
②当时，，所以不等式的解集为；········9分
③当时，，所以不等式的解集为.···········10分
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，，所以不等式的解集为；
当时，，所以不等式的解集为.··············12分
21.(1)由题意知，当时，∴1＝3－ ＝2，
，····························································2分
每件产品的销售价格为(元)，
，·········································6分
(2)∵当时，，∴，························9分
当且仅当，即时，取得最大值，····························11分
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．····················12分
22.（1）直角三角形COQ的外心是PQ中点，外心到BC的距离为BQ的一半，，，与相似，····························2分
设，
则，·······················4分
当且仅当即时等号成立，································5分
此时ΔPOQ外心到直线BC的距离最大值为.··································6分
（2）P点在运动过程中，，所以四点共圆，则，所以点在射线上且满足，所以点运动路径长度为；·······················12分（方法不唯一，过程酌情给分）

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