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2023届向量微专题——等和线的运用
一、定理
， 不共线， ， ， 三点共线的充要条件是： 且 ， ， 。
证明：充分性：因为 ，
所以 。
所以 。所以 ，所以 ， 共线。
因为两向量有公共点 ，所以 ， ， 三点共线。
必要性：若 ， ， 三点共线，
则 。所以 。
所以 。令 ，则 ，
其中 。
综上， ， ， 三点共线的充要条件是： 且 ， ， 。
二、典例分析
例1.已知梯形 中， ，且 ，点 在线段 上，若 ，则实数 ( )
A. B. C. D.
练1.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
例2.在 中，点 满足 ，过点 的直线与 ， 所在直线分别交于点 ， ，若 , ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
练2.在中，为边的中点，为的中点，过点作一直线分别交于点，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
练3.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
例3. 已知点 为 所在平面内一点，且 ，若点 落在 的内部，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
练4. 在扇形 中， ， 为弧 上的一个动点。若 ,则 的取值范围是 。
例4.在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
练5.如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2023届向量微专题——等和线的运用解析
一、定理
， 不共线， ， ， 三点共线的充要条件是： 且 ， ， 。
证明：充分性：因为 ，
所以 。
所以 。所以 ，所以 ， 共线。
因为两向量有公共点 ，所以 ， ， 三点共线。
必要性：若 ， ， 三点共线，
则 。所以 。
所以 。令 ，则 ，
其中 。
综上， ， ， 三点共线的充要条件是： 且 ， ， 。
二、典例分析
例1.已知梯形 中， ，且 ，点 在线段 上，若 ，则实数 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，延长 ， 交于点 ，因为 且 ，所以点 是 的中点， ，由题知 ，因为 ， ， 三点共线，所以 ，解得 。故选C。
练1.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以
例2.在 中，点 满足 ，过点 的直线与 ， 所在直线分别交于点 ， ，若 , ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，易知 。因为 ， ， 三点共线，所以 ， ，当且仅当 ,即 时等号成立。
练2.在中，为边的中点，为的中点，过点作一直线分别交于点，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若要求出的最值，则需从条件中得到的关系。由共线可想到“爪”字型图，所以，其中，下面考虑将的关系转为的关系。利用条件中的向量关系：且，所以，因为，所以，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以
答案：A
练3.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t.
例3. 已知点 为 所在平面内一点，且 ，若点 落在 的内部，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为点 落在 的内部，所以 ， 两点在直线 的同一侧，所以由推广知， ,所以 。故选D。
练4. 在扇形 中， ， 为弧 上的一个动点。若 ,则 的取值范围是 。
【答案】
【解析】如图，取点 使得 , ,作一系列与 平行的直线与圆弧相交，构造等高线模型，易知：当点 与点 重合时， 取得最大值3，当点 位于直线 上时（即点 与点 重合时）， 取得最小值1，故 的取值范围是 。
例4.在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，
可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：
练5.如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则，直线，圆的半径
设，由可得：
在圆内
设，则
，其中
由可知
，且
所以

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