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上海市浦东四署2021-2022学年九年级上学期期中数学试题
一、单选题
1．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（　　）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
则A错误，符合题意．
故选：A．
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
2．（2021九上·浦东期中）已知在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA==．
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
3．（2020九上·杨浦期末）已知 ， 和 都是非零向量，下列结论中不能判定 ∥ 的是（　　）
A． // ， // B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】解：A.∵ // ， // ，∴ ∥ ，故本选项不符合题意；
B.∵∴ ∥ ，故本选项不符合题意.
C.∵ ，∴ ∥ ，故本选项不符合题意；
D.∵ ，∴ 与 的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．
4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且有 ==，BC=18，那么DE的值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵==，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BC=18，
∴DE=6．
故选B．
【分析】首先根据题意画出图形，由==，易证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
5．（2021九上·浦东期中）下列说法中，错误的是（　　）
A．两个等边三角形的高的比等于它们的边长比
B．两个相似三角形的周长比是1：3，则它们的面积比是1：6
C．一条直线平行于三条角形一边，且将三角形分成面积相等的两部分，则直线截得的三角形面积与原三角形面积之比为1：2
D．相似三角形的周长比等于它们对应的角平分线的比
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. ∵两个等边三角形相似，
∴两个等边三角形的高的比等于它们的边长比，A不符合题意；
B. 两个相似三角形的周长比是1：3，则它们的面积比为12：32=1：9不是1：6，B不符合题意；
C. 一条直线DE平行于三条角形一边BC，且将三角形分成面积相等的两部分S△ADE=S四边形DBCE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=S△ADE：（S△ADE+S四边形DBCE）=S△ADE：2S△ADE=1：2，不符合题意；
D. 相似三角形的周长比等于它们对应的角平分线的比
如图△ABC∽△HGF，BD平分∠ABC，GE平分∠HGF，求证C△ABC：C△HGF=BD：GE
证明：∵△ABC∽△HGF，
∴∠ABC=∠HGF，∠C=∠F，C△ABC：C△HGF=BC：GF，
∵BD平分∠ABC，GE平分∠HGF，
∴∠DBC=∠ABC，∠EGF=∠HGF，
∴∠DBC=∠EGF，
∵∠C=∠F，
∴△BCD∽△GCE，
∴BC：GF=BD：GE，
∴C△ABC：C△HGF=BC：GF =BD：GE．D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定与性质，命题的定义对每个选项一一判断即可。
6．（2021九上·浦东期中）已知AE、CF是锐角的两条高，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
∵sin∠BAC=，sin∠ACB=，=，
∴．
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
二、填空题
7．（2021九上·浦东期中）如果、那么　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵x：y=2：5，
∴可设x=2k，则y=5k，
则；
故答案为：．
【分析】先设x=2k，则y=5k，再代入计算求解即可。
8．（2018九上·江阴期中）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长= ≈0.618.∵AB=2，AP﹥BP,∴AP:AB= ，AP= -1.
【分析】根据黄金分割点的性质得出：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长，根据性质即可算出答案。
9．（2021九上·浦东期中）如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝　 　cm．
【答案】1
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，
∴，
解得：AG＝1cm，
故答案为1．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
10．（2021九上·浦东期中）在中，、都是锐角，如果，，那么　 　．
【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴；
故答案为105°
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
11．（2021九上·浦东期中）如图，点G是△ABC的重心，点E为BC上一点．如果GE//AC，那么BE：EC=　 　．
【答案】2：1
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接BG并延长交AC于点H，
∵G是重心，
∴BG：GH=2：1，
∵GE∥AC，
∴BE：EC=BG：GH=2：1，
故答案为：2：1．
【分析】先求出BG：GH=2：1，再根据GE∥AC，计算求解即可。
12．（2021九上·浦东期中）已知向量、和满足关系式，那么用向量、的线性组合表示向量　 　．
【答案】
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
13．（2021九上·浦东期中）在中，点D、E分别在边BC、AC的延长线上，，，，，那么　 　．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠E=∠B，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△DEC，
∴
又AC=2，BC=3，CE=6，
∴CD=4，
故答案为：4．
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
14．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为　 　
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵A（﹣1，3），
∴OA=
∴角α的余弦值为=；
故答案为：．
15．（2021九上·浦东期中）如图，梯形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，，，则　 　．
【答案】49
【知识点】相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
设点D到AC的距离为h，
则，
，
同理可得：，
梯形的面积，
故答案为：49．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
16．（2021九上·浦东期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当　 　时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．
【答案】2或12或5.6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，
∴∠D=∠B= 90°，
设DP= x，
当PD：AB= CD ：PB时，△PDC△ABP，
∴，
解得DP = 2或12，
当PD：PB= CD：AB时，△PCD△PAB，
∴，
解得DP= 5.6，
∴DP = 5.6或2或12．
故答案为：2或12或5.6．
【分析】分类讨论，利用相似三角形的性质计算求解即可。
17．（2021九上·浦东期中）如图，一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把沿直线CE，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，若点E、F、D在同一直线上，．则　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴CF＝AD，∠CFD＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCF，
∴△ADE≌△FCD（ASA），
∴DF＝AE＝2；
∵∠AFE＝∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DAE＝90°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴＝，
∴EF＝﹣1（负值舍去），
∴BE＝EF＝﹣1，
．
【分析】利用全等三角形和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
18．（2021九上·浦东期中）如图，中，，， ，，M是AD中点，过M的线段EF平分的周长，那么线段 BE的长是 　 　 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：点是上一点，，
，
，，
如图示，过点作交于，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
过点作交于，
同理得，，
，，，
的周长为，
过中点的直线将分成周长相等的两部分，
，
设，则，
，，
，
∴，
，
，
或，
当时，，点不在边上，此种情况不符合题意，
即，
故答案为：2．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
三、解答题
19．（2021九上·浦东期中）计算：．
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
20．（2021九上·浦东期中）如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且， BF、CD的延长线交于点G，设， ．
（1）用向量、表示向量 、；
（2）求作关于向量、 的分向量．
【答案】（1）解：∵，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：过点作交于点，
则有：，
∴点为所求．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】（1）先求出AF=2FD，再根据平行线的性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求解即可。
21．（2021九上·浦东期中）如图，中有内接正方形DEFG，DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，，垂足为H，交GF于I．求证：．
【答案】证明：∵四边形DEFG是正方形
∴，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
22．（2021九上·枣庄月考）如图，在中，，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求的值．
【答案】解：过点C作交AD于点，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，
∵，即，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点C作交AD于点，先证明，再利用相似的性质可得，再结合，可得，再根据 ，即，设，则， 最后利用计算即可。
23．（2020九上·滦州期中）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE DC=AB DE．
【答案】（1）解：∵∠ADB=∠ACB，∴∠BDE=∠ACE，又∵∠E=∠E，∴△ACE∽△BDE；
（2）解：∵△ACE∽△BDE
∴ ，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EAB，∴ ，∴BE DC=AB DE．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由∠ADB=∠ACB，得出∠BDE=∠ACE，结合公共角∠E=∠E，即可证出△ACE∽△BDE；
（2）由△ACE∽△BDE，得出 ，结合公共角∠E=∠E，得出△ECD∽△EAB，即可得出BE DC=AB DE．
24．（2021九上·浦东期中）已知：如图，在中，BD平分，点E为BD延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）若点F为线段BD上一点，，，，的面积为3，求的面积．
【答案】（1）证明：∵BD平分，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
又∵（BD是平分线），
∴，
∴，
∵，∴，
则，即，
∴，
∴．
∴．
即的面积是9．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
25．（2021九上·浦东期中）已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．
（1）当t为何值时，是等腰三角形；
（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分 若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，，点O到AD的距离为3，
当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
当AP=PO=t时
过P作PM⊥AO，如图1所示：
∴，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴
∴，
∴；
②当；
③当时即点P与点D重合，．不合题意，舍去．
综上所述，当或5s时，为等腰三角形
（2）解：在矩形ABCD中，，，
∴
∵，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，AD//BC， AO=CO，又得∠AOP=∠COE，
∴∠PAO=∠ECO，
∴△AOP≌△COE，
∴AP=EC=t，
∴，
∴
（3）解：存在，理由如下：
如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
在矩形ABCD中，，，
∴，
∵∠POD=∠COD，
∴，
∴
∵
∴OP DM=3PD，
∴
∴
∵PD2=PM2+DM2，
∴
解得：t=16（不合题意，舍去），
∴当时，OD平分∠COP．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先求出 AC=10，，点O到AD的距离为3， 再分类讨论，计算求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
1 / 1上海市浦东四署2021-2022学年九年级上学期期中数学试题
一、单选题
1．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（　　）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
2．（2021九上·浦东期中）已知在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020九上·杨浦期末）已知 ， 和 都是非零向量，下列结论中不能判定 ∥ 的是（　　）
A． // ， // B．
C． D．
4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且有 ==，BC=18，那么DE的值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2021九上·浦东期中）下列说法中，错误的是（　　）
A．两个等边三角形的高的比等于它们的边长比
B．两个相似三角形的周长比是1：3，则它们的面积比是1：6
C．一条直线平行于三条角形一边，且将三角形分成面积相等的两部分，则直线截得的三角形面积与原三角形面积之比为1：2
D．相似三角形的周长比等于它们对应的角平分线的比
6．（2021九上·浦东期中）已知AE、CF是锐角的两条高，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021九上·浦东期中）如果、那么　 　．
8．（2018九上·江阴期中）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　 　．
9．（2021九上·浦东期中）如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝　 　cm．
10．（2021九上·浦东期中）在中，、都是锐角，如果，，那么　 　．
11．（2021九上·浦东期中）如图，点G是△ABC的重心，点E为BC上一点．如果GE//AC，那么BE：EC=　 　．
12．（2021九上·浦东期中）已知向量、和满足关系式，那么用向量、的线性组合表示向量　 　．
13．（2021九上·浦东期中）在中，点D、E分别在边BC、AC的延长线上，，，，，那么　 　．
14．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为　 　
15．（2021九上·浦东期中）如图，梯形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，，，则　 　．
16．（2021九上·浦东期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当　 　时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．
17．（2021九上·浦东期中）如图，一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把沿直线CE，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，若点E、F、D在同一直线上，．则　 　．
18．（2021九上·浦东期中）如图，中，，， ，，M是AD中点，过M的线段EF平分的周长，那么线段 BE的长是 　 　 ．
三、解答题
19．（2021九上·浦东期中）计算：．
20．（2021九上·浦东期中）如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且， BF、CD的延长线交于点G，设， ．
（1）用向量、表示向量 、；
（2）求作关于向量、 的分向量．
21．（2021九上·浦东期中）如图，中有内接正方形DEFG，DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，，垂足为H，交GF于I．求证：．
22．（2021九上·枣庄月考）如图，在中，，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求的值．
23．（2020九上·滦州期中）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE DC=AB DE．
24．（2021九上·浦东期中）已知：如图，在中，BD平分，点E为BD延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）若点F为线段BD上一点，，，，的面积为3，求的面积．
25．（2021九上·浦东期中）已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．
（1）当t为何值时，是等腰三角形；
（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分 若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
则A错误，符合题意．
故选：A．
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA==．
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】解：A.∵ // ， // ，∴ ∥ ，故本选项不符合题意；
B.∵∴ ∥ ，故本选项不符合题意.
C.∵ ，∴ ∥ ，故本选项不符合题意；
D.∵ ，∴ 与 的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．
4．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵==，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BC=18，
∴DE=6．
故选B．
【分析】首先根据题意画出图形，由==，易证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. ∵两个等边三角形相似，
∴两个等边三角形的高的比等于它们的边长比，A不符合题意；
B. 两个相似三角形的周长比是1：3，则它们的面积比为12：32=1：9不是1：6，B不符合题意；
C. 一条直线DE平行于三条角形一边BC，且将三角形分成面积相等的两部分S△ADE=S四边形DBCE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=S△ADE：（S△ADE+S四边形DBCE）=S△ADE：2S△ADE=1：2，不符合题意；
D. 相似三角形的周长比等于它们对应的角平分线的比
如图△ABC∽△HGF，BD平分∠ABC，GE平分∠HGF，求证C△ABC：C△HGF=BD：GE
证明：∵△ABC∽△HGF，
∴∠ABC=∠HGF，∠C=∠F，C△ABC：C△HGF=BC：GF，
∵BD平分∠ABC，GE平分∠HGF，
∴∠DBC=∠ABC，∠EGF=∠HGF，
∴∠DBC=∠EGF，
∵∠C=∠F，
∴△BCD∽△GCE，
∴BC：GF=BD：GE，
∴C△ABC：C△HGF=BC：GF =BD：GE．D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定与性质，命题的定义对每个选项一一判断即可。
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
∵sin∠BAC=，sin∠ACB=，=，
∴．
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵x：y=2：5，
∴可设x=2k，则y=5k，
则；
故答案为：．
【分析】先设x=2k，则y=5k，再代入计算求解即可。
8．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长= ≈0.618.∵AB=2，AP﹥BP,∴AP:AB= ，AP= -1.
【分析】根据黄金分割点的性质得出：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长，根据性质即可算出答案。
9．【答案】1
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，
∴，
解得：AG＝1cm，
故答案为1．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
10．【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴；
故答案为105°
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
11．【答案】2：1
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接BG并延长交AC于点H，
∵G是重心，
∴BG：GH=2：1，
∵GE∥AC，
∴BE：EC=BG：GH=2：1，
故答案为：2：1．
【分析】先求出BG：GH=2：1，再根据GE∥AC，计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
13．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠E=∠B，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△DEC，
∴
又AC=2，BC=3，CE=6，
∴CD=4，
故答案为：4．
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵A（﹣1，3），
∴OA=
∴角α的余弦值为=；
故答案为：．
15．【答案】49
【知识点】相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
设点D到AC的距离为h，
则，
，
同理可得：，
梯形的面积，
故答案为：49．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
16．【答案】2或12或5.6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，
∴∠D=∠B= 90°，
设DP= x，
当PD：AB= CD ：PB时，△PDC△ABP，
∴，
解得DP = 2或12，
当PD：PB= CD：AB时，△PCD△PAB，
∴，
解得DP= 5.6，
∴DP = 5.6或2或12．
故答案为：2或12或5.6．
【分析】分类讨论，利用相似三角形的性质计算求解即可。
17．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴CF＝AD，∠CFD＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCF，
∴△ADE≌△FCD（ASA），
∴DF＝AE＝2；
∵∠AFE＝∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DAE＝90°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴＝，
∴EF＝﹣1（负值舍去），
∴BE＝EF＝﹣1，
．
【分析】利用全等三角形和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
18．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：点是上一点，，
，
，，
如图示，过点作交于，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
过点作交于，
同理得，，
，，，
的周长为，
过中点的直线将分成周长相等的两部分，
，
设，则，
，，
，
∴，
，
，
或，
当时，，点不在边上，此种情况不符合题意，
即，
故答案为：2．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
19．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
20．【答案】（1）解：∵，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：过点作交于点，
则有：，
∴点为所求．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】（1）先求出AF=2FD，再根据平行线的性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求解即可。
21．【答案】证明：∵四边形DEFG是正方形
∴，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
22．【答案】解：过点C作交AD于点，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，
∵，即，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点C作交AD于点，先证明，再利用相似的性质可得，再结合，可得，再根据 ，即，设，则， 最后利用计算即可。
23．【答案】（1）解：∵∠ADB=∠ACB，∴∠BDE=∠ACE，又∵∠E=∠E，∴△ACE∽△BDE；
（2）解：∵△ACE∽△BDE
∴ ，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EAB，∴ ，∴BE DC=AB DE．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由∠ADB=∠ACB，得出∠BDE=∠ACE，结合公共角∠E=∠E，即可证出△ACE∽△BDE；
（2）由△ACE∽△BDE，得出 ，结合公共角∠E=∠E，得出△ECD∽△EAB，即可得出BE DC=AB DE．
24．【答案】（1）证明：∵BD平分，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
又∵（BD是平分线），
∴，
∴，
∵，∴，
则，即，
∴，
∴．
∴．
即的面积是9．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
25．【答案】（1）解：∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，，点O到AD的距离为3，
当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
当AP=PO=t时
过P作PM⊥AO，如图1所示：
∴，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴
∴，
∴；
②当；
③当时即点P与点D重合，．不合题意，舍去．
综上所述，当或5s时，为等腰三角形
（2）解：在矩形ABCD中，，，
∴
∵，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，AD//BC， AO=CO，又得∠AOP=∠COE，
∴∠PAO=∠ECO，
∴△AOP≌△COE，
∴AP=EC=t，
∴，
∴
（3）解：存在，理由如下：
如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
在矩形ABCD中，，，
∴，
∵∠POD=∠COD，
∴，
∴
∵
∴OP DM=3PD，
∴
∴
∵PD2=PM2+DM2，
∴
解得：t=16（不合题意，舍去），
∴当时，OD平分∠COP．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先求出 AC=10，，点O到AD的距离为3， 再分类讨论，计算求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
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