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函数的概念与性质（单元测试题）
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(1，＋∞)　　 B.[1，＋∞)
C.[1,2) D.[1,2)∪(2，＋∞)
2.函数f(x)＝的值域是(　　)
A.R B.[0，＋∞) C.[0,3] D.[0,2]∪{3}
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.y＝|x| B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋4
4.已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是(　　)
A.f(－2)>f(1) B.f(－2)C.f(2)＝f(1) D.f(－2)>f(－1)
5.已知函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则实数a的取值范围是(　　)
A.∪(2，＋∞) B.[2,6)
C.∪[2,6) D.(0,6)
6.已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是(　　)
A.(－2，－1)∪(1,2)
B.(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)
D.(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)
7.若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有(　　)
A.最小值－8 B.最大值－8
C.最小值－6 D.最小值－4
8.二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为(　　)
A.C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9.若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为 B．f(x)在(－1,0)上单调递增
C．f(x)＞0的解集为(－1,1) D．f(x)＋2x≥0的解集为[0,3]
11.下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3,1]
B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C．若A∪B＝B，则A∩B＝A
D．函数f(x)的定义域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的定义域为[－3,1]
12.狄利克雷是德国著名数学家，函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论中正确的是(　　)
A．若x是无理数，则D(D(x))＝0
B．函数D(x)的值域是[0,1]
C．D(－x)＝D(x)
D．若T≠0且T为有理数，则D(x＋T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若函数f(x)＝x2＋2bx－3a＋1为定义在[2a－10,3a]上的偶函数，则aa＋b＝________
14.若函数g(x)＝f(2x)－x2是奇函数，且f(1)＝2，则f(－1)＝________
15.已知汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米，若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为________米．
16.已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．
18.(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若F(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
19.(12分)已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，点O为线段AB的中点，动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A.当点P运动过的路程为x时，记点P的运动轨迹与线段OP，OB围成的图形面积为f(x)．
(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)＝2，求x的值．
20.(12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足如下函数：R(x)＝其中x是仪器的产量．
(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)
(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
21.(12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且＝－.
(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
22.(12分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在 [－1,0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
单项选择题
1.D 2.D　 3.A　 4.B　 5.C　 6.D　 7.D　 8.A　
二、多项选择题
9.ABC　 10.AD 11.BCD　 12.CD　
填空题
13.答案：4 14.答案：－ 15.答案：45
16.答案：－16
解析：f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，
g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，
并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，
如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.
解答题
17.解：设 x1，x2∈(－1,1)，且x1∵x－1<0，x－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0，∴>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是减函数；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是增函数．
18.解：(1)由已知可知：解得则F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，所以g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，则g(x)的对称轴为x＝.
由于g(x)在[－2,2]上是单调函数，故≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6.
所以实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
19.解：(1)当x∈[0,1]时，f(x)＝·OB·x＝x；
当x∈(1,5]时，f(x)＝＝(x＋1)；当x∈(5,6]时，f(x)＝4×1－×2×(6－x)＝x－2.
所以f(x)＝
(2)若f(x)＝2，显然120.解：(1)由题意知f(x)＝R(x)－100x－20 000＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，即当x＝300时，f(x)有最大值25 000，
当x>400时，f(x)<20 000.
综上可知，当产量为300台时，公司获得最大利润25 000元．
21.解：(1)∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝.
又f＝－，∴＝－，∴a＝－1，∴f(x)＝－.
(2)f(x)在(－1,1)上是减函数．证明如下：设x1∈(－1,1)，x2∈(－1,1)，且x2－x1>0，∴x1x2<1，
则f(x2)－f(x1)＝－＋＝.
∵x2－x1>0，x1x2－1<0，x＋1>0，x＋1>0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)∴函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
(3)∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)∵f(x)在(－1,1)上是减函数，∴即不等式的解集为.
22.解：(1)f(x)＝－2－m＋，则最大值－m＋＝0，即m2－4m＝0，
解得m＝0或m＝4.
(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x＝，要使f(x)在[－1,0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2，
故实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)①当≤2即m≤4时，f(x)在 [2,3]上单调递减．
若存在实数m，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则即此时无解．
②当≥3即m≥6时，f(x)在[2,3]上单调递增，则即解得m＝6.
③当2<<3即4则f＝－2＋m·－m＝3，解得m＝－2或6，不符合题意，舍去．
综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在 [2,3]上的值域恰好是[2,3]．

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