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第二十四章 圆
24.1.2垂直于弦的直径
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求赵州桥主桥拱的半径吗？
赵州桥(如图所示)是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
6.图形中的已知条件、结论分别是什么？你能用语言叙述这个命题吗？
学 习 新 知
共同探究1
在自己课前准备的纸片上作图：
1.任意作一条弦AA＇.
2.过圆心O作弦AA＇的垂线，得直径CD交AA＇于点Ｍ.
3.观察图形，你能找到哪些线段相等？
4.你能证明你的结论吗？写出你的证明过程.
5.如果沿着CD折叠，你能不能得到相等的弧？
·
O
A
A＇
C
D
M
证明：连接ＯＡ、ＯＡ＇，在△ＯＡＡ＇中，
∵ＯＡ＝ＯＡ＇，∴△ＯＡＡ＇是等腰三角形，
又ＡＡ＇⊥ＣＤ，∴ＡＭ＝ＭＡ＇．
这就是说，对于圆上任意一点Ａ，在圆上都有关于直线ＣＤ的对称点Ａ＇，因此⊙Ｏ关于直线ＣＤ对称.
即ＣＤ是ＡＡ＇的垂直平分线．
结论证明
即直径CD平分弦A 并且平分 及
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A＇重合， 、 分别与
、 重合．
·
O
A
A＇
C
D
M
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
A＇
共同探究2
2.条件改为：①过圆心，③平分弦.
结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.
这个命题正确吗？结合上边的图形说明.
思考：
１.垂径定理的条件和结论分别是什么？
条件：①过圆心，②垂直于弦.
结论：③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.
3.你能用语言叙述这个结论吗？
4.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
共同探究3
教材例2讲解
共同分析：
1.如何根据赵州桥的实物图画出几何图形？
2.结合所画图形思考：
（1）桥的跨度是弧所在圆的 ，弧的中点到弦的距离是 ,它与所在圆的
半径之间的关系是 .
（2）如何找到弧的中点？
（3）如何把圆的半径转化为三角形中的线段？
（4）构造的直角三角形中三边之间有什么特点？
（5）直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系，如何求另两边长？
解得：R≈27．3（m）
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.52+（R－7.23）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
OA2 = AD2 + OD2
OD = OC－CD = R－7.23m
由题意可知 AB=37m，CD=7.23m，
B
O
D
A
R
C
解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高．
思考：
1.在圆中解决有关弦的问题，常作什么辅助线？
2.在圆中解决有关弦的问题，常用什么方法？
1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2.垂径定理和推论及它们的应用.
3.垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题.
3.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦的垂线.
检测反馈
解析：由垂径定理可知B、D均成立；由△OCE≌△ODE可得A也成立．不一定成立的是OE=BE．故选C．
·
O
C
D
A
B
E
1.如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE
C.OE＝BE D.
C
2.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
B
A
B
O
解析：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，
∴AC=BC= AB=12，在Rt△AOC中，
由勾股定理得：
故选B.
3.如图所示，P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为______；最长弦长为______．
A
B
O
P
8cm
10cm
解析：当弦与OP垂直时，弦最短，连接OA,由勾股定理可得，AP= =4，∵OP⊥AB，∴AB=2AP=8，最短弦为8cm.过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm．故填8cm,10cm.
4.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.
（1）若AB=8cm，OC=5cm,求CD的长；
（2）若OC=5cm，OD=3cm，求AB的长；
（3）若AB=8cm，CD=2cm，求⊙O的半径.
·
O
A
B
C
D
（3）设⊙O的半径为r，则OD=r-2,∵OC⊥AB，∴AD= AB=4cm，在Rt△OAD中，OA2=DO2+AD2，∴r2=（r-2)2+42，解得r=5，∴⊙O的半径为5cm.
解：连接OA，则AO=OC=5cm.∵OC⊥AB,∴∠ODA=90°.
（1） ∵OC⊥AB，∴AD= AB=4cm，在Rt△OAD中，
∴CD=OC-OD=2cm.
（2）在Rt△OAD中，
∵OC⊥AB，AB=2AD=8cm.

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