资源简介

4．3.2　等比数列的通项公式及性质
1. 进一步理解等比数列的概念．
2. 能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数、指定的项．
3. 探究并掌握等比数列的一些常用性质．
活动一 回顾等比数列的基本概念及通项 公式)
1. 等比数列的定义是什么？等比数列的项有什么特征？
2. 等比中项的概念是什么？证明一个数列是等比数列有几种方法？
3. 等比数列的通项公式是什么？其推导过程用的什么方法？它的任意两项之间有怎样的关系？
活动二 等比数列的通项公式的应用
例1　(1) 已知在等比数列{an}中，a1＝3，q＝－2，求a6的值；
(2) 已知在等比数列{an}中，a3＝20，a6＝160，求{an}的通项公式．
在等比数列中，只要知道它的首项和公比就能解决此数列的一切问题．而在上面的例1(2)中，可由条件得q3＝，从而求得公比q＝2，再由an＝a3qn－3，求得通项公式．
　(1) 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，分别求这3个数的值；
(2) 已知等比数列{an}的通项公式为an＝3×2n－3，求首项a1和公比q.
活动三 等比数列的基本性质
　　回顾：等差数列的基本性质：
探究：
在等比数列{an}中，
(1) 若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am，an，ap，aq有何关系？
(2) 若m＋n＝2p，则am，an，ap有何关系？
例2　(1) 在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9·a10＝100，则a18＝________；
(2) 在等比数列{an}中，若a2·a3·a10·a11＝36，求a5·a8及a6·a7的值．
　例3　在等比数列{an}中，已知a4·a7＝－512，且a3＋a8＝124，公比为整数，求a10的值．
　(1) 在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝________；
(2) 在等比数列{an}中，已知an>0(n∈N*)且a3·a6·a9＝8，则log2a2＋log2a4＋log2a6＋log2a8＋log2a10＝________.
例4　已知在各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，求证：a1，a3，a5成等比数列．
1. 已知在正项等比数列{an}中，a2a5＝10，则lg a3＋lg a4等于(　　)
A. －1 B. 1 C. 2 D. 0
2. 已知在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7a11＝6，a4＋a14＝5，则等于(　　)
A. B. C. D. 6
3. (多选)已知{an}为等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A. a1＋a3≥2a2 B. a＋a≥2a
C. 若a1＝a2，则a1＝a3 D. 若a3>a1，则a4>a2
4. 在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q＝2，且a1a2…a30＝230，则a1a4a7…a28＝________．
5. (2021·抚州临川第一中学月考)已知递减的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝，且a3＋是a2，a4的等差中项，求数列{an}的通项公式．
参考答案与解析
【活动方案】
1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列．an≠0，＝q.
2. 若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．
①＝q，且q≠0；②当an≠0时，＝(n≥2)．
3. an＝a1qn－1　累乘法am＝anqm－n
例1　 (1) a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2) 设等比数列的公比为q，则
解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
跟踪训练　(1) 由题意，得该等比数列中a1＝243，a5＝3，则q4＝＝，所以q＝±.当q＝时，a2＝81，a3＝27，a4＝9；当q＝－时，a2＝－81，a3＝27，a4＝－9，所以这3个数分别为81，27，9或－81，27，－9.
(2) 由an＝3×2n－3，得a1＝3×21－3＝，q＝2.
回顾：在等差数列{an}中，
(1) 若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.
(2) 若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
探究：(1) aman＝apaq　(2) aman＝a
例2　(1) 20
(2) a5·a8＝±6，a6·a7＝±6.
例3　因为{an}是等比数列，a4·a7＝－512，
所以a3·a8＝－512.
因为a3＋a8＝124，所以或
所以q＝－(舍去)或q＝－2，所以a10＝512.
跟踪训练　(1) 25　(2) 5
例4　由已知，得2a2＝a1＋a3，①
a＝a2·a4，②
＝＋.③
由③，得＝，
所以a4＝.④
由①，得a2＝.⑤
将④⑤代入②，得a＝·，
所以a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)，化简，得a＝a1·a5.
又a1，a3，a5均不为0，
所以a1，a3，a5成等比数列．
【检测反馈】
1. B　解析：lg a3＋lg a4＝lg(a3a4)＝lg(a2a5)＝lg 10＝1.
2. A　解析：因为解得或又因为an>an＋1，所以a4＝3，a14＝2，所以＝＝.
3. BC　解析：设等比数列{an}的公比为q，当a1<0，q<0时，a3<0，a2>0，故a1＋a3≥2a2不成立，故A错误；a＋a＝2＋(a2q)2＝a≥2a，当且仅当q2＝1时，等号成立，故B正确；若a1＝a2，则q＝1，所以a1＝a3成立，故C正确；当a1＝1，q＝－2时，a3＝4，a2＝－2，a4＝－8，满足a3>a1，但a4>a2不成立，故D错误．故选BC.
4. 1　解析：由题意，得(a1·a30)15＝230＝415，所以a1·a30＝4，所以a1·a28＝1，所以a1·a4·…·a28＝1.
5. 依题意，有2＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝，得a3＋2＝，解得a3＝，所以a2＋a4＝.设等比数列{an}的公比为q，则解得或
又{an}是递减数列，所以q＝，a1＝2，
所以an＝(n∈N?)．

展开更多......

收起↑