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高中数学必修第1册学习笔记
0301 函数的概念及表示
1．函数的定义：一般地，设A，B是 ① ，如果对于集合A中的 ② 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 ③ 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的 ④ ，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ⑤ ；值域是集合B的子集．
3．函数的三要素： ⑥ 、 ⑦ 和 ⑧ ．
4．相等函数：如果两个函数的 ⑨ 相同，并且 ⑩ 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数，也说两个函数相等．
0302 函数的表示方法
1．解析法：就是用 ① 表示两个变量之间的对应关系；
2．列表法：就是 ② 表示两个变量之间的对应关系；
3．图象法：就是用 ③ 表示两个变量之间的对应关系；
4．分段函数：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 ④ ，这样的函数叫做分段函数．
5．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ⑤ ；
0303 函数定义域的求法
1．具体函数定义域的求法：
(1)若是分式，则 ① ;
(2)若是偶次根式，则 ② ;
(3)若是由几个式子构成的,则函数的定义域是 ③ ;
(4)若出现0次方，则 ④ ;
(5)若是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域应注意两点：
(1)求函数的定义域，就是求 ⑤ 的取值范围；
(2)在同一问题中，同一对应法则后括号里的式子的取值范围 ⑥ .
0304 函数值域的求法
求函数值域常用的方法如下:
1．观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;
2．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的函数时,可利用配方法求其值域;
3．分离常数法:此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域；如形式的函数可用分离常数法解决；当时值域为 ① .
4．基本不等式法:利用基本不等式求出函数的最值,即可得函数的值域;
5．换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+(其中为常数,且≠0)型的函数常用换元法.
0305 函数解析式的求法
求函数解析式的常用方法:
1．已知,求时,用代替中的即可.
2．已知,求,常用的方法有两种:
(1)换元法：即令,解出,代入中,得到一个含的解析式,即为函数解析式,注意换元后 ① 的取值范围;
(2)配凑法：即先从的解析式中配凑出“”,即用来表示,再将解析式中的用代替即可.
3．方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有 ② 或互为 ③ 关系时,可构造方程组求解.
4．待定系数法：主要解决 ④ 求函数解析式的情况；设出函数解析式，根据题目条件列出方程(组)，解出系数即可.
0306 函数的单调性
1．一般的，设函数的定义域为，区间:
(1)如果，当时，都有 ① ，那么就称函数在区间上单调递增.
(2)特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ② .
(3)如果，当时，都有 ③ ，那么就称函数在区间上单调递减.
(4)特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ④ .
2．如果函数在区间上 ⑤ 或 ⑥ ，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间.
注意：函数在区间上单调与函数的单调区间是的区别；
3．(1)设函数是定义在区间上的增函数，则 ⑦ .
(2)设函数是定义在区间上的减函数，则 ⑧ .
4．两种变形形式
已知函数，设，且，那么
(1)(或）在上 ⑨ ；
(2)(或）在上 ⑩ ；
0307 二次函数的单调性
已知图象的对称轴为 ① ；
(1)当时，的单调增区间为 ② ，单调减区间为 ③ ；
(2)当时，的单调增区间为 ④ ，单调减区间为 ⑤ ；
(3)若函数在区间单调递增，则，满足的条件为 ⑥ ；
(4)若在区间上不具有单调性，则实数，满足的条件为 ⑦ ；
(5)若在区间上具有单调性，则实数，满足的条件为 ⑧ ；
0308 几个特殊函数的单调性
(1) 的单调增区间为 ① ，单调减区间为 ② ；
(2) 的单调增区间为 ③ ，单调减区间为 ④ ；
(3) 的单调增区间为 ⑤ ，单调减区间为 ⑥ ；
(4) 的单调增区间为 ⑦ ，单调减区间为 ⑧ ；
(5) 若一个函数在几个不同的区间上单调性相同，则这几个区间要分开写，而不能写成 ⑨ ；
(6) 若两函数在上都单调递增，则函数在上 ⑩ .
若两函数在上都单调递减，则函数在上 .
0309 函数的最值
1．一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1) ，都有 ① ；
(2)，使得 ② .
那么，我们就称是函数的最大值.
2． 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1) ，都有 ③ ；
(2)，使得 ④ .
那么，我们就称是函数的最小值.
函数的最大值和最小值统称为函数的 ⑤ .
3．最值的几何意义：
从图象上看，函数最大值是函数图象 ⑥ 的纵坐标；函数最小值是函数图象 ⑦ 的纵坐标；
0310 二次函数的最值问题
二次函数在区间上的最值情况：
(1)当时，在区间上单调 ① ； ② ； ③ ；
(2)当时，在区间上单调 ④ ； ⑤ ； ⑥ ；
(3)当时，在区间上单调 ⑦ ；在区间上单调 ⑧ ； ⑨ ；就是与中较大的那一个.
0311 函数的奇偶性
1．定义：(1)一般地，设函数的定义域为，如果，都有 ① ，且 ② ，那么函数就叫偶函数．偶函数的图象关于 ③ 对称．
(2)一般地，设函数的定义域为，如果，都有 ④ ，且 ⑤ ，那么函数就叫奇函数．奇函数的图象关于 ⑥ 对称．
2．变形形式：若函数的定义域为对称区间，则：
(1) 是 ⑦ ；
(2) 是 ⑧ .
0312 奇函数的性质及应用
奇函数的性质：
1．奇函数的图象关于 ① 对称；反过来也成立；
2．若函数是奇函数，有意义，则 ② ；
3．若函数为奇函数，则在关于原点对称的两个区间和具有
③ 的单调性；
4．已知函数是定义在上的奇函数，并且在区间上单调递增，那么在 ④ 上单调递增，即是增函数；
5．已知函数是定义在上的奇函数，并且在区间上单调递减，那么在 ⑤ 上单调递减，即是减函数；
6．若是奇函数，则 ⑥ ；此时函数的图象关于点 ⑦ 对称．
7．若函数是奇函数，则 ⑧ .
8．若奇函数在区间上的最大值和最小值分别是,,则在区间
上的最大值是 ⑨ ；最小值是 ⑩ .
0313 偶函数的性质及应用
偶函数的性质：
1．偶函数的图象关于 ① 对称；反过来也成立；
2．若函数为偶函数，则在关于原点对称的两个区间和上具有 ② 的单调性；
3．若函数是偶函数，则有 ③ ；
4．若是偶函数，则 ④ ；此时函数的图象
关于直线 ⑤ 对称．
5．若函数是偶函数，则 ⑥ .
6．若偶函数在区间上的最大值和最小值分别是,,则在区间
上的最大值是 ⑦ ；最小值是 ⑧ ．
0314 抽象函数的奇偶性
1．在函数的公共定义域上，
的奇偶性如下表所示:
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)g(x) f(g(x)) g(f(x))
奇函数 奇函数 ① ② ⑥ ⑧
奇函数 偶函数 不确定 ③ 偶函数 ⑨
偶函数 奇函数 不确定 ④ ⑦ ⑩
偶函数 偶函数 偶函数 ⑤ 偶函数 偶函数
2．复合函数的奇偶性的判断，由上表可总结为：内偶则偶，内奇同外；
即（1）若为偶函数，则为 ；
（2）若为奇函数且为奇函数，则为 ；
（3）若为奇函数且为偶函数，则为 ；.
（4）若为奇函数且不具有奇偶性，则 ；.
0315 幂 函 数
1．定义：一般地,函数 ① 叫做幂函数,其中 ② 是自变量,是常数.
2．五个常见幂函数的性质
函数
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 无奇偶性 奇函数
单调性 增函数 ③ ④ ⑤ ⑥
图象特征 过点
3．幂函数的性质:
(1)所有的幂函数在区间内都有定义,图象都过点 ⑦ ；
(2)若,则在区间内的单调性为 ⑧ ，图象过点(0,0)；若,则在区间内的单调性为 ⑨ ,图象不过点(0,0).
高中数学必修第1册学习笔记答案
0301 函数的概念及表示--答案
①非空的实数集 ②任意 ③唯一 ④定义域 ⑤值域 ⑥定义域 ⑦对应关系
⑧值域 ⑨定义域 ⑩对应关系.
0302 函数的表示方法--答案
①数学表达式 ②列出表格 ③图象 ④对应关系 ⑤并集.
0303 函数定义域的求法--答案
①分母不等于零 ②被开方数大于等于零 ③使得每一个式子有意义的自变量的取值范围 ④底数不等于零 ⑤自变量 ⑥相同.
0304 函数值域的求法--答案
①
0305 函数解析式的求法--答案
①新元 ②互为相反数 ③倒数 ④已知函数类型.
0306 函数的单调性--答案
① ②增函数 ③ ④减函数 ⑤单调递增 ⑥单调递减
⑦ ⑧ ⑨单调递增 ⑩单调递减.
0307 二次函数的单调性
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧或.
0308 几个特殊函数的单调性--答案
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
⑧ ⑨并集 ⑩单调递增 单调递减.
0309 函数的最值--答案
① ② ③ ④ ⑤最值 ⑥最高点 ⑦最低点
0310 二次函数的最值问题--答案
①递增 ② ③ ④递减 ⑤ ⑥ ⑦递减 ⑧递增 ⑨
0310 二次函数的最值问题--答案
① ② ③轴 ④ ⑤ ⑥原点
⑦偶函数 ⑧奇函数.
0312 奇函数的性质及应用--答案
①原点 ② ③相同 ④ ⑤ ⑥ ⑦
⑧ ⑨ ⑩.
0313 偶函数的性质及应用--答案
①轴 ②相反 ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
0314 抽象函数的奇偶性--答案
①奇函数 ②偶函数 ③奇函数 ④奇函数 ⑤偶函数 ⑥奇函数 ⑦偶函数
⑧奇函数 ⑨偶函数 ⑩偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 非奇非偶函数
0315 幂 函 数--答案
① ② ③在单调递减，在单调递增 ④增函数 ⑤增函数
⑥在和均单调递减 ⑦ ⑧单调递增 ⑨单调递减.

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