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函数的零点与方程的解
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】于的方程恰有两个不同实根等价于函数与的图象恰有两个不同的交点，作出函数的图象，数形结合即可求出结果.
【详解】若关于的方程恰有两个不同实根，
则函数与的图象恰有两个不同的交点，
作出的图象如图：
当时，，所以
当时，，
当时，，
当时，，此时最大值为，
由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
2. 若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设知有四个不同的实数解，易知即可求m的范围.
【详解】由题设，有四个不同的实数解，
∴，即，故，
则，可得.
故选：D
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断出所给区间的端点值的乘积小于0可得答案.
【详解】；；
；；；
所以.
故选：A.
4. 设函数，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，要使恰好有六个不同的实数解，则方程在，内有两个不同的实数根；
【详解】解：作出函数的图象如图：
令，则方程化为，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
，解得且，
实数的取值范围为．
故答案为：．
5. 已知二次方程的两个根都属于，求的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】令，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由已知可得，设，则函数的两个零点都属于，
所以，，解得
因此，实数的取值范围为.
能力提升
6. 已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】（-∞，2）∪（4，+∞）
【解析】
【分析】根据函数解析式作出函数图像，对参数a分类讨论，数形结合求得函数有2个零点时满足的参数范围.
【详解】作出函数图像，易知与有3个交点，其中，是其两个交点的横坐标，
①当时，函数的图像为：
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
②当时，函数的图像为：
由图知，函数单调递增，不存在实数b，使函数有两个零点；
③当时，函数的图像为：
或
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
综上所述，存在实数b，使函数有两个零点的参数a的范围为
故答案为：
7. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若方程有两个不等实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）解不等式可得函数的定义域；
（2）由题意得，得，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解出即可．
【详解】（1）由题需要，解得或，
所以函数的定义域为：；
（2）由（1）可知方程在时有两个不等的实根，
化简，得，
方程在区间上有两个不等实根，
设，则，解得.
所以实数的取值范围．
8. 已知函数．
（1）不等式在时恒成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）设，问题转化为关于的不等式在上恒成立，分离参数后结合二次函数性质得结论；
（2）令，由函数的图象得问题转化为关于的二次方程，有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1，讨论有根为1的情况，再讨论根不为1的情况，求得参数范围．
【详解】解：（1）设，不等式可化为：
问题等价于在时恒成立；
即：＝在时恒成立，而此时
所以
（2）令，作出函数的图象，如图，由图象知时，有两解，时，有一解．
方程有三个不同的实数解
关于的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1；
可化为：
化简得：，
若方程有一根为1，则，此时方程为，方程有两个相等实根1，不合一时间，
因此它的两根分别介于和，
只要，∴为所求的范围．
挑战创新
9. 若函数同时满足：
①函数在整个定义域是严格增函数或严格减函数；
②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.
（1）判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间；若不是，说明理由；
（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；
（3）若在上的最小值是“闭函数”，求、满足的条件.
【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3）且.
【解析】
【分析】（1）利用“闭函数”的定义判断函数是否满足①②，由此可得出结论；
（2）分析可知函数在有两个零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）利用二次函数的基本性质求得，然后分、、三种情况讨论，分析函数的单调性，结合“闭函数”的定义可得出关于、的等式，由此可得出、满足的条件.
【详解】（1）函数为上的增函数，
若函数为“闭函数”，则存在、，使得函数在上的值域为，
则，则关于的方程至少有两个不等的实根，
因为，故方程无实根，
因此，函数不是“闭函数”；
（2）因为函数为上的增函数，
若函数为上的“闭函数”，
则存在、，使得函数在上的值域为，
则，所以，关于的方程在上有两个不等的实根，
令，设，则函数在有两个零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3）因为.
当时，函数在上单调递增，则；
当时，.
综上所述，.
所以，函数在上为减函数，在上也为减函数.
①当时，则，
上述两式作差得，因为，故，
因为，则，矛盾；
②当时，则有，消去可得，解得，不合乎题意；
③当时，则，可得.
因此，、满足的条件为且.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
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函数的零点与方程的解
学习目标：
1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程的根的存在性及根的个数，从而理解函数零点与方程根的联系；
2．掌握函数零点存在的判定定理，培养直观想象、逻辑推理等核心数学素养．
知识要点：
1．一般地，对于函数，我们把使______的实数称为函数的零点．
2．零点存在定理：如果函数在上的图象是一条______的曲线，且有______，那么函数在内至少存在一个零点，使得．
3．函数与方程的关系：方程有实数解函数有零点_____函数的图象与轴有公共点_______．
典型例题：
题组一二次函数的零点分布问题
例1．
1. 已知函数f（x）＝3x2－5x＋a．
（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的一个零点在(－2，0)内，另一个零点在(1，3)内，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）(－12，0)．
【解析】
【分析】（1）由判别式大于零求出实数a的取值范围；
（2）画出的草图，结合零点存在性定理，列出不等式组求出实数a的取值范围．
【详解】（1）由题意得Δ＝25－4×3×a>0，解得．所以a的取值范围是．
（2）由草图可知
得，解得．所以a的取值范围是
【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于根据题意画出的草图，结合零点存在性定理得出实数a的取值范围．
变式：
2. 关于x的方程ax2(a+1)x+a1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1.
【答案】（1）或；（2）；（3）不存在实数；（4）.
【解析】
【分析】（1）当a=0时，；当时，由求解即可；
（2）由根与系数的关系得.又即可求解；
（3）必须满足或；
（4）必须满足或求解即可.
【详解】（1）当a=0时，方程变为-2x-1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得.综上可知，当或时，关于的方程ax2 a+1)x+a1=0有一根.
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得，又解得.
（3）方程两根都大于1，令图象大致如图①②，
所以必须满足
或两不等式组均无解.
所以不存在实数，使方程两根都大于1.
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图③④，
所以必须满足或解得.
【点睛】函数零点或方程的根的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
题组二零点范围的判断
例2．
3. 判断函数的零点个数，并判断该零点所在区间.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
利用数形结合,作出与的图象，结合图象即可判断结果.
【详解】令，则，在同一平面直角坐标系内画出函数与的图象，如图所示：
由图可知函数与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点.
,,,该零点所在区间为.
变式：
4. 已知函数，函数只有两个零点，设这两个零点为，．
（1）证明：，．
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）求出解析式，利用零点存在定理即可证明；
（2）由（1）知，是的两个零点，所以，，两式相减可得，再利用（1）的结论即可证明.
【详解】（1）由，则，
，，（2），（3），
又函数只有两个零点，这两个零点为，．
故，；
（2），是函数的零点，
，，
故，
即，
，，
，即．
【点睛】本题主要考查了零点存在定理以及不等式的性质，属于中档题.
题组三零点个数的判断
例3．
5. 方程的解的个数是_______个．
【答案】1
【解析】
【分析】把方程的解得个数转化为函数和的图象的交点个数，在同一坐标系内，作出两函数，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，方程的解的个数，
即为函数和的图象的交点个数，
在同一坐标系内，作出函数和的图象，如图所示，
结合图象，可得两函数的图象有且仅有一个交点，
所以方程只有一个解.
故答案为：1.
变式：
6. 若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】由，知函数是周期为2的函数，进而根据与函数的图象得到交点个数．
【详解】解：因为，所以函数是周期为2函数，
因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数的图象，
容易得出到交点为12个．
故选：C．
【点睛】
结论点睛：本题考查函数方程思想，数形结合思想，注意周期函数的一些常见结论：若，则周期为；若，则周期为；若，则周期为；另外要注意作图要细致，属于中档题．
题组四由零点的个数计算参数的取值范围
例4．
7. 已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A. B. C. （0，1） D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围．
【详解】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．
作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．
故选：C．
变式：
8. 已知函数若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】令，则方程等价于，
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当，则，所以由，得，
则关于x的方程有且只有一个实数根等价于关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：
当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；
当时，要使直线与的图象只有一个交点，
则只需要当时，直线与的图象没有交点，
因为 时，，此时 最小值为 ，
所以，
综上所述，实数a的取值范围是，
故选：B.
当堂检测：
9. 已知幂函数，则_______，有______个零点．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由幂函数定义可构造方程求得，得到；将所求零点个数转化为与交点个数，分别在和两种情况下求得交点个数得到结果.
【详解】为幂函数，，解得：，；
的零点个数等价于与交点个数，
当时，单调递减，单调递增，
由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，
即在上有且仅有一个零点；
当时，令，解得：或，即在上有两个零点；
综上所述：有个零点.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：求解函数零点(方程根)的个数常用的方法为：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为零点个数；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10. 已知，则f（f（―2））=________，函数f（x）的零点的个数为________.
【答案】 ①. 14 ②. 1
【解析】
【分析】先求，再求，令f（x）=0，直接解方程可得函数的零点
【详解】根据题意得：，
则；
令f（x）=0，得到，
解得：x=1，
则函数f（x）的零点个数为1，
故答案为：14；1.
11. 设且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则①的取值范围是_______；②的取值范围是_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】当时，由复合函数的单调性知：单调递减，作出函数的图象，如图所示：
由图可知，当时，恰有三个互不相等的实数根，，，不妨设，易知，且，
∴.
令，
解得（舍去）或.
∴，
∴.
故答案为：，
12. 已知二次方程有且只有一个实根属于，求的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】由题知，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解:因为
所以易知是方程的一个根，则另一根为，
因为原方程有且仅有一个实根属于,
所以，即 ，解得或，
所以的取值范围为
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函数的零点与方程的解
【知识要点】
1.一般地，对于函数，我们把使______的实数称为函数的零点.
2.零点存在定理：如果函数在上的图象是一条______的曲线，且有______，那么函数在内至少存在一个零点，使得.
3.函数与方程的关系：方程有实数解函数有零点_____函数的图象与轴有公共点_______.
【公式概念应用】
1. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断出所给区间的端点值的乘积小于0可得答案.
【详解】；；
；；；
所以.
故选：A.
2. 方程的解的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
在同一坐标系内，作出与的图象，根据图象的交点个数即可求解.
【详解】在同一坐标系内，作出与的图象，
如图：
由图象可知，方程只有一个解.
故选：B
3. 设函数，则使方程的实数解个数为1时，k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，只需保证与只有一个交点即可，根据分段函数的图象，即可判断k的取值范围.
【详解】由题意，方程的实数解个数为1，即与只有一个交点，根据函数解析式可得草图如下：
∴当时，与只有一个交点.
故选：C.
4. 关于x的方程，当m分别在什么范围取值时，方程的两个根：
（1）都大于1；
（2）都小于1；
（3）一个大于1，一个小于1？
【答案】（1）5≤m<14；（2）m≤-2；（3）m>14.
【解析】
【分析】令二次函数，
（1）根据题意可得，解不等式组即可得出答案；
（2）根据题意可得，解不等式组即可得出答案；
（3）根据题意可得，解不等式组即可得出答案.
【详解】解：令二次函数，
（1）因为f（x）=0的两个实根均大于1，
所以解得，
∴m的取值范围为5≤m<14.
（2）因为f（x）=0的两个实根均小于1，
所以解得，
∴m的取值范围为m<-2.
（3）因为f（x）=0的两个实数根，一个大于1，一个小于1，
所以 解得，
∴m的取值范围为m>14.
参考答案：
【知识要点】
1.
2.连续不断，.
3；.
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