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幂函数
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知实数集为，集合，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简得，即得解.
【详解】由题得，
所以.
故选：B
2. 设函数f(x)=3x－，则f(x)（ ）
A. 是奇函数，且在(0，+∞)单调递增
B. 是奇函数，且在(0，+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0，+∞)单调递增
D. 是偶函数，且在(0，+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】由定义可判断函数的奇偶性，由已知函数的单调性可判断函数的单调性.
【详解】因为（），所以对任意，，所以是奇函数；
因为在单调递增，则在单调递减，所以在单调递增.
故选：A.
3. 若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】条件表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．
【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.
故选：D.
4. 若对任意的，均有，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，由单调性转化为，从而得解.
【详解】构造函数，根据幂函数的性质得到该函数为增函数，
故等价于对任意的恒成立，即，
只需，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，属于基础题.
5. 已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
【答案】，的取值范围为
【解析】
【分析】先根据幂函数的定义求出的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可.
【详解】∵幂函数经过点，
∴，
即
∴=.解得=或=.
又∵，∴=.
∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.
由得解得.
∴的取值范围为.
【点睛】易错点睛：利用单调性解不等式注意定义域
能力提升
6. （多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.
【详解】A函数的定义域和值域都是R，符合题意；
B.定义域为R，因为，所以函数值域为，值域是定义域的真子集不符合题意；
C.易得定义域为，值域为，定义域是值域的真子集；
D.定义域为，值域为，两个集合只有交集；
故选：AC
7. 已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据函数是幂函数，且，求出实数，即可求出函数的解析式；
（2）化简得，求出对称轴，分，，三种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
8. 已知函数，.
（1）求方程的解集；
（2）定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，最小值为1
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，平方即可求解.
(2)由题意比较与的大小，从而可得出答案.
(3)由（2）得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.
【小问1详解】
由，得且，解得，；
所以方程的解集为
【小问2详解】
由已知得.
【小问3详解】
函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
挑战创新
9. 已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）2．
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
【详解】解析：（1）．，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）
，，，
∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
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幂函数
学习目标：
1．理解幂函数的定义；
2．掌握幂函数的图象和性质，理解研究函数的一般方法；
3．能利用幂函数的图象和性质解决一些简单的数学问题．
知识要点：
1．幂函数
（1）一般地，函数_____叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
2．完成下面的表格
定义域
值域
奇偶性
单调性
3．幂函数的性质
（1）幂函数均过_______；
（2）幂函数中，是奇函数的是_______；是偶函数的是______；
（3）幂函数中，在上为增函数的是______，为减函数的是________；
（4）幂函数图象的渐近线为_________．
典型例题：
题组一　幂函数的定义与判断
例1．已知幂函数是偶函数，则________．
变式：已知函数，当m为何值时，：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；
（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数．
题组二　幂函数的图象和性质的应用
例2．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式：幂函数在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
题组三　与幂函数有关的复合函数的研究
例3．点在幂函数的图象上，求函数的值域
变式：已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
当堂检测：
1. 设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的取值，结合幂函数的性质，判断选项.
【详解】时，的定义域是，不正确；
时，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
是，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
时，函数的定义域是，不正确.
故选：BC
2. 若，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数单调性，将所给不等式化为不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因为幂函数在和上都是单调递减的，
所以，由可得或或
解得或，
即实数m的取值范围为.
故选：C.
3. 已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
先设，根据函数所过定点，得到，即可求出解析式；将原不等式化为，得到，求解，即可得出结果.
【详解】设幂函数，由，得到，于是；
若，则，所以，解得．
故答案为；
【点睛】本题主要考查求幂函数解析式，以及由函数单调性解不等式，熟记幂函数的解析式与性质即可，属于常考题型.
4. 已知幂函数的图像关于y轴对称，且在区间内是减函数，则的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】由给定幂函数的单调性列出不等式，再根据m为整数条件及其图象的对称性求出m值而得解.
【详解】因幂函数在区间内是减函数，
则有，解得，而，于是得，
又的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，即幂指数为偶数，
而或时是奇数，时为偶数，
所以，的解析式为.
故答案为：
参考答案：
知识要点：
1．（1）．
2．完成下面的表格
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 增 上增函数； 上为减函数 增 增 上为减函数； 上为减函数
3．（1）；（2），；（3），，（4）直线．
典型例题：
例1．
因为函数为幂函数，所以，解得或．
当时，，函数为奇函数，不合题意；
当时，，函数为偶函数，所以．
故答案为：．
变式：（1）因为函数是幂函数，所以，解得：或；
（2）当时，，函数在上是减函数，
当时，，函数在上是增函数，
综上可知：时，满足条件；
（3）若函数是正比例函数，则，解得：；
（4）若函数是反比例函数，则，解得：；
（5）若函数是二次函数，则，解得：．
例2．D
由题意得：，得或
当时，图象关于y轴对称，不成立；
当时，是奇函数，成立；
所以不等式转化，即，解得．
故选：D
变式：A
解：幂函数在上单调递增，
，且，解得或，
当时符合题意；
当时不符合题意；
故选：．
例3．因为点在幂函数的图象上，
所以，即，，所以，
故，，
，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为．
变式：（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
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幂函数
【知识要点】
1.幂函数
（1）一般地，函数_____叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
2.完成下面的表格
定义域
值域
奇偶性
单调性
【公式概念应用】
1. 如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见幂函数的图像即可得出答案.
【详解】解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.
故选：C.
2. 已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由于函数为幂函数，所以，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求出
【详解】解：因为为幂函数，所以，所以，
因为幂函数的图像过点，
所以，解得，
所以，
故选：A
3. 若函数是幂函数，则________．
【答案】0或
【解析】
【分析】根据幂函数的概念，得到，即可求解.
【详解】由函数是幂函数，可得，解得或，
故答案为：0或．
4. 已知幂函数的图像经过点，试求出此函数的解析式，判断奇偶性 单调性.
【答案】，为非奇非偶函数，在递减.
【解析】
【分析】利用待定系数法求函数的解析式，由函数的定义域不关于原点对称，可判断函数为非奇非偶函数，利用函数单调性的定义判断函数的单调性
【详解】解：设，则，解得：，
所以，
因为函数的定义域为，所以为非奇非偶函数，
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即
所以在为减函数.
参考答案：
【知识要点】
1.（1）.
2.完成下面的表格
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 增 上为增函数； 上为减函数 增 增 上减函数； 上减函数
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