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指数函数的概念
1. 已知函数和都是指数函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数解析式的特点即可求出的值，进而可得的值.
【详解】因为函数是指数函数，所以，
由是指数函数，所以，
所以，
故答案为：.
2. 若函数是指数函数,则的值为
A. 2 B. -2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的定义可得a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x代入可得答案．
【详解】解：∵函数f（x）＝（a﹣3） ax是指数函数，
∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，
解得a＝8，
∴f（x）＝8x，
∴f（）2，
故选D．
【点睛】本题主要考查了指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念．
3. 已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案
【详解】解：由题意得，
所以，解得a=.
故选：A
【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题
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4. 若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断．
【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A．C正确．
故选
【点睛】本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题．
5. 求下列各式的值.
（1）指数函数（且）的图象经过点，求的值；
（2）；
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】（1）将点代入可求出的值，即可得的解析式，再将代入即可求解；
（2）利用分数指数幂的运算性质化简即可.
【详解】（1）因为的图象经过点，
所以，所以
于是，
所以
（2）
6. 已知函数是定义在上的单调递增的函数，且满足对任意的实数都有，则的最小值等于（ ）.
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据为定值，可假设，然后计算，并计算的值，然后使用基本不等式，可得结果.
【详解】由题可知：为定值
故设，即
又，
所以
则
则
当且仅当时，取等号
所以的最小值为：4
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于为定值，审清题意，细心计算，属中档题.
7. 已知函数为定义在上的偶函数，且时，，求的解析式；
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，根据时，，利用函数为上的偶函数求解.
【详解】设，则，
因为时，，
所以，
又因为函数为定义在上的偶函数，
所以，
所以的解析式是；
8. 已知（为常数，且）的图像过点.
（1）求的解析式；
（2）若函数 ，试判断的奇偶性并给出证明.
【答案】（1）；（2）奇函数；证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将A，B两点代入函数即可求出，得出解析式；
（2）根据定义即可判断其奇偶性.
【详解】解：（1）∵ 的图像过点
∴，解得，故；
（2）由（1）知 ，
则的定义域为R，关于原点对称，
且
故为奇函数.
9. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且），
（1）若，求.
（2）记，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据是奇函数，是偶函数，由，利用方程组法，分别求得，的解析式即可；
（2）由（1）得到，令，转化为，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）是奇函数，是偶函数，
由，①
得，②
①②得，①②得.
又，，，
.
（2）由（1）可得，故，
由基本不等式可得，
令，则且，设，
当即时，；
当即时，，
故.
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指数函数的概念
学习目标：
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念和意义；
2.在解决简单实际问题过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型；
3.通过理解指数函数的概念和意义，发展学生数学素养.
知识要点：
1.一般地，函数_____叫做指数函数，其中是自变量，定义域为.
典型例题：
题组一　指数函数的识别
例1.
1. 下列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
【答案】③④
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义直接判断即可.
【详解】根据指数函数的定义直接判断：形如（且）的函数是指数函数.
可知只有③，④（为常数，，）符合指数函数的定义.
故答案为：③④.
变式：
2. 下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的定义，形如：即可求解.
【详解】解：根据指数函数的定义知，，
A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；
D正确.
故选：D
【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.
题组二　求指数函数的解析式
例2.
3. 若是指数函数，则有（ ）
A. 或 B.
C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
【详解】因为是指数函数，
所以，解得.
故选：C．
变式：
4. 若函数是指数函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法求解即可.
【详解】解：由题意，设且，
因为
所以，解得.
所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查待定系数法求指数函数解析式，是基础题.
题组三　与指数函数有关的函数问题
例3.
5. 已知且（且）的图象经过点.
（1）求的值；
（2）已知，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入，利用解得结果即可；
（2）利用化简方程可得，解关于的一元二次方程可得，进一步可得结果.
【详解】（1）由的图象经过点得
，又，所以
（2）由（1）得，由，
得，解得（舍去）
由解得.
【点睛】本题考查了由指数函数的解析式求参数，考查了指数型方程的解法，属于基础题.
变式：
6. 已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).
（1）求a的值；
（2）若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）直接代入求值即可；（2）由（1）知，又g(x)＝f(x)，代入整理可得，令，求即可得出结果.
【详解】（1）由已知得，
解得a＝1.
（2）由（1）知，
又g(x)＝f(x)，
则4－x－2＝，
，
令，
则t>0，t2－t－2＝0，
即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即，
解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
【点睛】本题主要考查了指数与指数函数和函数与方程.属于较易题.
题组四　指数函数在实际问题中应用
例4.
7. 已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为（ ）
A. 4个 B. 8个 C. 16个 D. 32个
【答案】B
【解析】
【分析】由题意弄清细胞分裂数与分裂次数之间的关系，即可求出结果.
【详解】1个这样的细胞分裂1次后，得到的细胞个数为个，
分裂2次后，得到的细胞个数为个，
分裂3次后，得到的细胞个数为个.
故选：B.
【点睛】本题主要考查的是指数函数的简单应用，解答此类题目的关键是理解细胞分裂次数和个数的关系，是基础题.
变式：
8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的_____
【答案】36倍
【解析】
【分析】题目考察指数型函数的实际应用，设原数量为，根据题意可分别列出30天后和60天后的数量的指数表达式，从而得到倍数关系
【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为，则，
经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：
经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故答案为：36倍
当堂检测：
9. 若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数定义列不等式，解得结果.
【详解】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.
故选：C
【点睛】本题考查指数函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
10. 已知正整数指数函数，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 9 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由函数是指数函数可求出，即可求出.
【详解】因为函数是指数函数，所以，则，所以，，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数概念的理解，属于基础题.
11. 下列函数中，指数函数的个数为(　　)
① ②y＝ax ；
③y＝1x；④
A. 0 B. 1
C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】由指数函数的定义可判定，只有②正确．
故选B
12. 已知函数，且，，求函数的一个解析式.
【答案】
【解析】
【分析】
用连乘法求，然后用归纳法归纳一个结论．
【详解】由己知得，，，
，
，又.
【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论．
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指数函数的概念
【知识要点】
1.一般地，函数_____（）叫做指数函数，其中自变量，定义域为.
【公式概念应用】
1. 函数，且，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】运用代入法进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：B
2. 某贫困地区现在人均年占有粮食为，如果该地区人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么年后该地区人均年占有粮食，则函数关于的解析式是__________.
【答案】，
【解析】
【分析】设现在人口为，粮食产量为，分别求出年后的人口和粮食产量，得出人均占有量．
【详解】解：设该地区人口为，粮食产量为，则，
年后，该地区人口数为，
年后，该地区的粮食产量为，
故年后，该地区人均占有粮食为.
故答案为：，.
【点睛】本题考查了指数函数的应用，函数解析式求解，属于基础题．
3. 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
(1)求f(0)的值；
(2)如果f(2)＝9，求实数a的值.
【答案】(1)1;(2)3.
【解析】
【详解】试题分析：（1）求代入计算即得；（2）代入即得，解得．
试题解析：
(1).
(2)，.
4. 已知指数函数，求.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的概念，列出方程求得，得到函数的解析式，即可求解的值.
【详解】由题意，函数为指数函数，可得，
解得或（舍），所以，所以.
参考答案：
【知识要点】
1.
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