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对数函数的概念
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 下列各组表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】两个函数若是同一函数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项.
【详解】A.的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
B.和的定义域是，且，两个函数的解析式相同，所以是同一函数；
C.，，两个函数的定义域都是，两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
D.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：B
2. 已知且，函数，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据求得a，进而求得结论.
【详解】当时，，解得，不合题意；
当时，，解得，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了分段函数求自变量、求函数值，属于基础题.
3. 下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数定义分析每个函数表达式即可
【详解】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义.
故选：B
【点睛】本题考查对数函数的定义，属于基础题
4. 已知对数函数则_______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据对数函数的定义建立不等式，解之求得对数函数的解析式，再代入计算可得答案.
【详解】因为是对数函数，故，解得，所以 ，.
故答案为：3.
5. 求下列函数的定义域．
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】根据函数解析式的限制条件，列出自变量满足的不等式组：
（1）分子被开方数要大于等于零，分母不等于零以及对数的真数要大于零，建立的不等式组，求解得到结论；
（2）根据对数的底数大于零且不等于1，真数大于零，建立的不等式组，求解即可.
【详解】（1）要使函数有意义需，，解得，
所以函数的定义域是；
（2）要使函数有意义需，，解得且，
即或，
所以函数的定义域是.
【点睛】本题考查函数的定义域，熟记函数解析式限制条件即可，属于基础题.
能力提升
6. 下列点中，既在指数函数图象上，也在对数函数的图象上的点可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数不成立，
不符合题意；
对于B中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数也过点，所以符合题意；
对于C中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数不成立，
不符合题意；
对于D中，若点在函数图象上，解得，此时对数函数也过点，所以符合题意.
故选：BD
7. 已知（且）的图象过点.
（1）求的值；
（2）若，求的解析式及定义域.
【答案】（1）；（2），定义域为.
【解析】
【分析】（1）把点代入求得即可，
（2）根据对数函数的性质和运算法则，求得的解析式及定义域，
【详解】解：（1）∵（且）的图象过点
∴
∴
又且
解得
（2）
其中且
所以的定义域为.
【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质，以及函数的定义域，属于基础题．
8. 已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求的解析式；
（2），求实数x的值；
【答案】（1）；（2）2或16.
【解析】
【分析】
（1）由已知得，，从而求解析式即可；
（2），即或3，即可求实数x的值；
【详解】（1）由已知得，，，（且）
解得，；
故；
（2），即或3，
∴或3，
∴或16.
挑战创新
9. （1）是以为定义域的减函数，且对于任意，恒有，写出一个满足条件的函数的解析式；
（2）是以为定义域的奇函数，且对于任意，恒有，写出一个满足条件的函数的解析式；
（3）都是以为定义域的函数，写出一组满足下列条件的函数的解析式，对于下列三组条件，只需选做一组，满分分别是①，②，③；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.
①对于任意，恒有；
②对于任意，恒有；
③对于任意，恒有.
【答案】（1）；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合对数函数的运算性质和单调性，即可得出，，满足条件；
（2）根据题意，结合指数函数的运算性质和奇函数的性质，得出分段函数 满足条件；
（3）根据题目要求，结合复合函数的解析式的运算，即可写出满足条件的函数解析式.
【详解】解：（1）对于任意，恒有，
可知对数函数符合条件，即，
而是以为定义域的减函数，则，
所以满足条件的一个函数为：，；
（2）对于任意，恒有，
可知指数函数符合条件，即，
而是以为定义域的奇函数，
所以满足条件的一个函数为：；
（3）已知都是以为定义域的函数，
若选①对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，；
若选②对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，；
若选③对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据要求写出函数解析式，灵活运用对数函数和指数函数的性质是解题关键，属于中档题.
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对数函数的概念
学习目标：
1.通过具体实例，了解对数函数的概念；
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的特性.
知识要点：
1.对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为_________.
典型例题：
题组一　求对数函数的解析式
例1.
1. 若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ）
A. B.
C. 或 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式．
【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题．
变式：
2. 若函数为对数函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可.
【详解】由题可知：函数为对数函数
所以或，又且
所以
故选：B
题组二　求对数型复合函数的定义域
例2.
3. 求下列函数的定义域
（1）；
（2）函数
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由分式及二次根式的性质即可得解；
（2）由分式、二次根式及对数函数的性质即可得解；
（3）由分式、对数函数及指数幂的性质即可得解.
【详解】（1）若要使函数有意义，则，解得或且，
所以该函数的定义域为；
（2）若要使函数有意义，则，解得，
所以该函数的定义域为；
（3）若要使函数有意义，则，解得且，，
所以该函数的定义域为.
变式：
4. 已知函数的定义域为，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，对任意的，恒成立，由可求得实数的取值范围.
【详解】由题知对任意恒成立，从而．
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
题组三　对数函数的应用
例3.
5. 体检时使用的“标准对数视力表”发明者是我国已故眼科专家缪天荣教授.体检者的视力分别有“小数记录”和“五分记录”两种方式，例如表中左侧最下方的49是“五分记录”，0.8是“小数记录”，用、分别表示“五分记录”和“小数记录”，则两者之间的关系是（ ）（参考数据 ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意提取两组数据当时，、当时，，由第一组数据排除C、D两个选项，由第二组数据排除A即可得到答案
【详解】由题意：当时，，则排除C、D两个选项，
A选项：当时，，而由题意，故排除A选项，
故选：B.
【点睛】本题考查根据对数运算确定对数型函数，是基础题.
变式：
6. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为. 科学研究发现与成正比. 当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为. 当时，其耗氧量的单位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，利用当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为求出后可计算时鲑鱼耗氧量的单位数.
【详解】设，因为时，，故，
所以，故时，即.
故选：D.
【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.
当堂检测：
7. 若函数的图像过点，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入到求解即可.
【详解】由题, .
故选：B
【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题.
8. 给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.
【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
9. 若函数是对数函数，则 .
【答案】5
【解析】
【分析】根据对数函数的定义即可求解.
【详解】解：根据对数函数的定义有，解得，
故答案为：5．
10. 求函数的定义域．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负，分母不为零，得到不等式组，解得即可；
【详解】解：由函数，可知，
解，即得或，解得；
综上可得.
所以函数的定义域为：.
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对数函数的概念
【知识要点】
1.对数函数概念
1. 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数中真数大于零，零和负数没有对数得到对数函数的定义域.
【详解】根据对数的真数大于零，得到对数函数的定义域为,
故答案为：.
【公式概念应用】
2. 设（且），若，则（ ）.
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用求出，求出后，计算即可求解.
【详解】因为（且），，
所以，即，解得，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查了对数函数表达式的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
3. 下列函数是对数函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的定义即可判断.
【详解】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.
故选D
【点睛】本题考查对数函数的定义，需掌握对数函数的定义.
4. 如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是______（写出一个即可）
【答案】
【解析】
【分析】由条件，分析乘积的函数值为函数值的和，考虑对数函数，即可得到结论.
【详解】由题意，函数对任意的正实数a，b，都有，
可考虑对数函数，满足，
故答案为：.
【点睛】本题考查抽象函数的解析式和性质，注意条件的特点，即乘积的函数值为函数值的和，着重考查推理能力，属于基础题.
5. 求函数的定义域.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的真数大于零和二次根式有意义的条件列出不等式组求解.
【详解】由题设可得，解得.
故所求定义域为：.
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