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指数函数的图象和性质的应用
【知识要点】
1.已知，则；.
2.已知，则；.
3.已知，则的奇偶性为_____，的奇偶性为____.
【公式概念应用】
1. 求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据偶次根式被开方数非负以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域；
（2）根据偶次根式被开方数非负、分母不为零以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域.
【详解】（1）由题意可得，即，又指数函数单调递增，得.
所以函数的定义域为；
（2）由题意，得，得，
又指数函数单调递减，且.
所以函数的定义域为.
【点睛】本题考查指数型函数定义域的求解，涉及指数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.
2. 已知函数.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求函数f(x)在[0，3]上的值域．
【答案】（1）单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]；（2）.
【解析】
【分析】（1）令u＝－x2＋2x，可得y＝2u，利用指数型复合函数的单调性：同增异减即可求解.
（2）由（1）利用函数的单调性求出函数的最值，从而可得出值域.
【详解】（1）函数的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
（2）由（1）知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，
且f(0)＝1，f（1）＝2，f（3）＝，
所以f(x)max＝f（1）＝2，f(x)min＝f（3）＝，
所以f(x)的值域为.
【点睛】本题考查了指数型复合函数的单调性、利用单调性求函数的值域，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3. 求下列函数的值域；
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据指数运算的性质求出函数的定义域和值域；
（2）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指数运算的性质求出函数的值域；
（3）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指数函数的单调性求出函数的值域；
【详解】解：（1）的定义域为R，值域为.
（2）由知，故的定义域为；由知，故的值域为.
（3）的定义域为；由知，故的值域为.
4. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论．
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）函数的定义域为，考查与的关系即可确定函数的奇偶性；
（2）由不等式得，结合函数的单调性求解不等式的解集即可．
【详解】（1）函数的定义域为，
，即函数是奇函数；
（2）由不等式得，
，
任取、且，则，
则，
所以，，即在上是增函数，
原不等式等价为，即，即，解得．
故原不等式的解集为．
参考答案：
【知识要点】
1.；.
2；.
3偶，奇
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指数函数的图象和性质的应用
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 函数的定义域为_________
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的要求列出不等式组，求解.
【详解】由题意，，得，所以.
故答案为：.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合B，进而通过集合的交集运算求出.
【详解】对集合B，由题意：，所以，则，.
故选：A.
3. 已知函数，其中，且，若在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，函数在上为减函数，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】函数，其中，且，
因为函数在上单调，又因为函数在上为减函数，
所以函数在上为减函数，则函数在上为减函数，可得，
且有，解得.
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B.
4. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分，两种情况讨论，去分母，将不等式化为关于的一元二次不等式，解不等式，再根据指数函数的单调性求出的范围，最后取两种情况的并集即可得解.
【详解】当时，由，则，
即，解得或，
所以或，
又因，所以；
当时，，
由，即，即，
即，解得，
所以，
又因，所以，
综上所述：不等式的解集为.
故选：D.
5. 求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）定义域：，值域：，减区间：；（2）定义域：，值域：，减区间：和；（3）定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；（4）值域，减区间：，增区间：
【解析】
【分析】（1）由得定义域，再结合指数函数性质得值域，单调区间；
（2）由得定义域，然后求出的取值范围，再由指数函数性质得值域，单调区间；
（3）求出的取值范围，由指数函数的性质得值域，单调区间；
（4）设，把函数转化为二次函数，确定的范围后可得值域，单调区间．
【详解】（1）由得，所以定义域为，又，
所以，，所以值域中，
在上是减函数，所以的减区间是；
（2）由得，所以定义域是，
又，所以值域是，
在和上都是增函数，
所以的减区间是和；
（3）定义域是，又，所以值域中，
在上递增，在上递减，
所以的增区间，减区间是；
（4）定义域是，令，由，所以，
，所以，值域，
又在上递减，在上递增，而是减函数，
所以的减区间是，增区间．
【点睛】本题考查指数型复合函数的定义域、值域、单调区间，掌握指数函数性质是解题关键．复合函数单调性如下：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
能力提升
6. 设，，且，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件，且分析出的大小关系，再讨论函数的单调性即可逐一判断作答
【详解】因，且，则有且，于是得，
函数，则在上递减，在上递增，
当时，有成立，A选项可能成立；
当时，有成立，C选项可能成立；
由知，即取某个数，存在，
使得成立，如图，即B选项可能成立；
对于D，由成立知，必有，由成立知，必有，即出现矛盾，D选项不可能成立，
所以不可能成立的是D.
故选：D
7. 已知函数
（1）若，求函数的单调区间
（2）若有最大值3，求a的值
（3）若的值域是，求实数a的取值范围.
【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；；（2）1；（3）0.
【解析】
【分析】（1）根据复合函数的单调性求解；
（2）设，由指数函数的性质得的最小值是，结合二次函数性质可得；
（3）同样根据指数函数性质，的值域一定是，二次函数一定不合题意．从而可得结论．
【详解】解：当时，，
令，
则在上单调递增，在上单调递减，
而在R上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即函数的单调增区间是，单调减区间是；
令，，
由于有最大值3，所以有最小值，
因此必有，解得，
即当有最大值3时，实数a的值为1；
在（2）基础上，由指数函数的性质知，
要使的值域为，应使的值域为R，
因为二次函数的值域不可能为R，所以．
【点睛】本题考查指数函数的性质，考查复合函数的单调性．掌握指数函数性质是解题关键．
复合函数单调性：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
8. 给出下列三个条件：①周期为1的函数：②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解．
已知函数是______．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）若选①：利用周期性，可得，求解即可；
若选②：利用奇函数的性质，可得，求解即可；
若选③：利用偶函数的定义，可得在定义域上恒成立，求解即可．
（2）利用（1）中的结论，得到不等式，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：（1）函数，的定义域为，
若选①：是周期为1的函数，则，
即，无解，不合题意；
若选②：为奇函数，则，
即，方程无解，不合题意；
若选③：为偶函数，则在定义域上恒成立，
即，
整理可得，解得，
此时为偶函数；
所以
（2）由，可得，
①，即，解得；
②，即，此时无解．
综上所述，不等式的解集为．
挑战创新
9. 已知函数与函数的图象关于直线对称，函数的定义域为为．
（1）求的值域；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
【答案】（1）；（2）；（3） ．
【解析】
【分析】（1）由题意得，进而可知，求出定义域，结合对数函数的性质即可求解；
（2）存在，使得成立，可转化为，
由，可转化为二次函数求解即可；
（3）由题意直接写出图象的对称中心即可
【详解】（1）因为函数与函数的图象关于直线对称，
所以，
则．
由得，故．
因为，且，
所以的值域为．
（2），即，则．
因为存在，使得成立，
所以．
而，
所以当，即时，取得最小值．
故．
（3）函数图象的对称中心为．
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指数函数的图象和性质的应用
学习目标：
1.理解指数函数的图象性质；
2.能利用所学的函数性质的研究方法研究与指数函数有关的复合函数的性质.
3.通过复合函数的研究培养学生的抽象与概括、直观想象、数值处理等核心素养.
典型例题：
题组一　与指数函数有关的复合函数的定义域
例1. 求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
变式：求函数的定义域．
题组二 与指数函数有关的复合函数的单调性
例2. 求出下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）.
变式：求下列函数的单调区间．
（1）
（2）y＝.
题组三　与指数函数有关的复合函数的值域
例2. 求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
变式：求下列函数的值域．
（1）；
（2）；
（3）.
题组四　与指数函数有关的复合函数的奇偶性
例4. 已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断的单调性；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围．
变式：已知函数，.
（1）若函数为偶函数，求实数的值；
（2）设函数，若，对任意的，总存在，使得，求的取值范围.
题组五　与指数函数有关的复合函数的图象
例4. 直线与函数且的图象有两个公共点，则的取值范围是________
变式：已知函数，
（1）求的值；
（2）画出函数的图象；
（3）求函数的单调区间，并写出函数的值域.
当堂检测：
1. 求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得，解出即可；
（2）由题意得，解出即可；
（3）由题意得，解出即可．
【详解】（1）由得，
所以的定义域为；
（2）由得，
所以的定义域为；
（3）由得，所以的定义域为．
【点睛】本题主要考查已知解析式的函数定义域的求法，属于基础题．
2. 已知函数
（1）求函数的定义域与值域；
（2）确定函数的单调区间.
【答案】（1）定义域为，值域为；（2）在上单调递减，在上单调递增.
【解析】
【分析】（1）可采用换元法，令，则等价于，先求的值域，再根据指数函数性质求的值域即可；
（2）根据复合函数同增异减的性质判断即可；
【详解】解：设，则原函数为.
（1）函数的定义域为.由知，当时，，此时，所以原函数的值域为.
（2）因为在上单调递增，在上单调递减；而在定义域内为减函数，所以原函数在上单调递减，在上单调递增.
【点睛】本题考查指数型函数的值域，复合函数增减区间的判断，属于基础题
3. 完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示.
（1）函数的零点是 .，利用函数的图象，在直角坐标系（1）中画出函数的图象.
（2）函数的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.利用的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数的图象.
【答案】（1）－1和3，图象见解析；（2）定义域是，值域是，是偶函数，图象见解析．
【解析】
【分析】（1）解方程得零点，作出的图象，由对称变换得函数图象；
（2）根据指数函数的性质得定义域，值域，由奇偶性的定义判断奇偶性，由图象对称变换，平移变换得函数图象．
【详解】（1），或，即零点为－1和3，
作出的图象，然后把它在轴正方的部分关于轴作对称图形，可得，如图．
（2）函数的定义域是，
因为，所以，即值域是，，函数是偶函数，
①作的图象，②擦去的图象在左侧的部分，同时把在轴右侧的部分关于作对称图形，组合成的图象，③把的图象向上平移1个单位即得．
4. 已知函数的定义域为，
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求t的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）计算并化简，得出和的关系，从而得出的奇偶性；
（2）先判断的单调性，再根据的单调性和奇偶性化简即可得出恒成立，转化为最值问题即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，
，
，
，
是奇函数.
（2）设任意的，且，
，所以，，，
即，
是上的增函数，
是奇函数，，
，
恒成立，
恒成立，
令，
，
.
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