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对数函数的图象和性质
学习目标：
1.能利用图象分析对数函数的性质；
2.知道对数函数与指数函数互为反函数；
3.通过对对数函数图象的识别及应用培养学生直观想象的核心素养，通过对数函数性质的应用提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识要点：
1.函数与函数（）的图象关于____轴对称.
2.对数函数的图象和性质
（1）填表：
图象
定义域
值域
函数值的变化 当时，； 当时，. 当时，； 当时，.
性质 均过定点______
单调性：______________ 单调性：_____________
（2）对对数函数（），当越来越小时，其图象与_____的负半轴越来越靠近；对对数函数（），当越来越小时，其图象与_____的正半轴越来越靠近.
（3）对于对数函数的图象，在第一象限内，当时，底数越大，图象越_____；当时，底数越小，图象越_____
3.指数函数的图象与对数函数的图象关于____对称，它们互为反函数.
典型例题：
题组一　对数的大小比较
1. 比较的大小
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的单调性得到，结合函数的单调性得到，从而可以求出结果.
【详解】因为为增函数，故，
而为增函数，故，
故.
2. 比较的大小
【答案】
【解析】
【分析】作差法结合对数运算法则、基本不等式放缩即可得解.
【详解】
，
；
；
.
题组二　对数不等式
3. （1）求满足不等式log3x<1的x的取值集合；
（2）若 (a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{x|0【解析】
【分析】
（1）根据对数函数单调性求得不等式的解集.
（2）对分成和两种情况进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得的取值范围.
【详解】（1）因为log3x<1＝log33，
所以x满足的条件为，即0所以x的取值集合为{x|0（2），即.
当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，
所以总成立；
当0由，得.
所以实数a的取值范围为．
【点睛】本小题主要考查对数函数的单调性，考查对数不等式的解法.
4. 解关于a的不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】讨论和两种情况，由对数函数的定义域及单调性计算即可得解.
【详解】,
或，
或，
所以不等式的解集为：.
题组三　对数型函数的单调性
5. 求下列函数的单调区间：
（1）．
（2）．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为.
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再利用对数函数复合函数的单调性即可求解.
（2）令，，再利用对数函数复合函数的单调性即可求解.
【详解】（1）令，则在上单调递减．
由得或，
而在上单调递增，在上单调递减，
∴函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）令，则它在上单调递减．
在上单调递增，在上单调递减．
由得，由得，
故所求函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【点睛】本题考查了对数函数复合函数的单调性，注意在函数的定义域内求单调区间，属于基础题.
6. 若函数在上单调递增，则求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性结合二次函数、对数函数的性质，分类讨论即可求出结果.
【详解】函数是由和复合而成，
当时单调递增，
若函数在上单调递增，
则在上单调递增，且对于恒成立，
的对称轴为
所以， 解得：，
当时单调递减，
若函数在上单调递增，
则在上单调递减，且对于恒成立，
的对称轴为
所以， 解得：，
综上所述：a的取值范围是，
题组四　对数型函数的值域与最值
7. 求下列函数的值域和单调区间：
（1）
（2）．
【答案】（1）值域为．单调递增区间为．单调递减区间为．（2）值域为．单调递增区间为．单调递减区间为．
【解析】
【分析】(1)先利用对数函数的性质，令，求得，然后，利用复合函数的性质判断单调区间即可.
(2)利用换元法，设，则，然后求出值域，进而利用复合函数的性质判断单调区间.
【详解】解 （1）由，解得．
设，则．
∴，即函数的值域为．
因为在区间上单调递增，即当时，u随着x的增大而增大，y随着u的增大而减小，所以函数的单调递减区间为．
同理，因为在区间上单调递减，即当时，u随着x的增大而减小，y随着u的减小而增大，所以函数的单调递增区间为．
（2）函数整理，得，定义域为．
设，则．
∵，所以函数的值域为．
因为在上单调递减，此时由即．解不等式，得，即当时，u随着x的增大而增大，y随着u的增大而减小，所以函数的单调递减区间为．
同理，因为在上单调递增，此时由即．解不等式，得，即当时，u随着x的增大而增大，y随着u的增大而增大，所以函数的单调递增区间为．
【点睛】本题考查复合函数的单调区间和求值域问题，属于基础题，值得注意的是，对于复合函数的单调区间在指数函数的图像与性质中详细讲述过，与指数函数不同的是对数函数的定义域为，而指数函数的定义域为R．
8. 已知函数.若的定义域为R，则实数a的取值范围是______________；若的值域为R，则实数a的取值范围是_______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】若的定义域为R则恒成立，分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式组求解；若的值域为R，则可取遍所有正数，分类讨论利用一次函数、二次函数的图象与性质列出不等式组求解.
【详解】因为的定义域为R，所以恒成立，
①若，则，解得，不满足题意；
②若，则.
综上所述，a的取值范围是.
若的值域为R，则可取遍所有正数，
①若，可取遍所有正数，满足题意；
②若，则.
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：；
【点睛】本题考查对数函数的定义域与值域、二次不等式恒成立问题、二次函数的图象与性质，属于中档题.
题组五　对数型函数的奇偶性
9. 已知函数是定义在上的奇函数，求的值；
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，化简整理即可求出的值.
【详解】函数是定义在上的奇函数，
，
因此.
10. 已知函数是偶函数，求a的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得，求出，代入后化简得，从而求出a的值．
【详解】解：是偶函数，
，
即，
，
，
．
【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求参数的值，属于基础题．
当堂检测：
11. 已知，，.则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数、指数函数性质结合中间值0和1比较可得．
【详解】，，，所以．
故选：A．
12. 函数的定义域为____________；单调增区间____________；单调减区间____________；值域是____________．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】根据对数式要求真数大于零，列出不等关系，求得结果；根据复合函数单调性法则，结合定义域，求得单调增区间和单调减区间；根据对应二次函数的值域，以及对数式的要求，求得函数的值域.
【详解】由，解得，所以函数的定义域为；
因为在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递减，
所以函数的减区间是，增区间为；
因为，所以，
以为在上是减函数，且，
所以函数的值域为；
故答案为：①；②；③；④.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数函数与二次函数的复合函数的定义域、单调性、值域问题，在解题的过程中，能够正确解题的关键点是时刻关注函数的定义域，要想研究函数的相关性质，先要保证函数的生存权，注意复合函数单调性法则.
13. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令，要使已知函数的值域为，
需值域包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解.
【详解】解：∵函数的值域为，
令，
当时，，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数的值域 包含，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：要使函数的值域为，需要作为真数的函数值域必须包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解.
14. 已知函数(，且).
（1）求的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）函数为奇函数；当时，函数在，上为减函数；当时，函数在，上为增函数.
【解析】
【分析】（1）根据对数函数真数大于零，由求解.
（2）利用函数奇偶性的定义判断，设，则在和上均为减函数，再分，，利用复合函数的单调性求解.
【详解】（1）∵(且)，
∴，即，
解得或，
故函数的定义域，
（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
∵，
∴函数为奇函数，
设，则，
因为函数u在和上均为减函数，
当时，函数在为增函数，
所以函数在，上为减函数，
当时，函数在为减函数，
故函数在，上为增函数.
【点睛】方法点睛：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．
1..
2.
图象
定义域
值域
函数值的变化 当时，； 当时，. 当时，； 当时，.
性质 均过定点
单调减 单调增
（2）轴，轴
（3）接近轴；接近轴_
3
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对数函数的图象和性质
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 设，，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较这此数与中间量0，1的大小，从而可比较出三个数的大小
【详解】解：因为在上为减函数，且，
所以，即，即，
因为在上为增函数，且，
所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，即，
综上，，
故选：A
2. “”是“”的（ ）条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，一定有，但时，不一定有，如，都不存在，因此题中是必要不充分条件．
故选：B．
3. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性排除AB,利用函数值正负排除C
【详解】的定义域为关于原点对称，且，故函数为偶函数，排除AB；当，故C错误
故选：D
4. 若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】分段函数要满足在上单调递减，要在每一段上单调递减，且分段处左边函数的端点值大于等于右边函数的端点值.
【详解】因为在上是严格减函数，所以要满足：，解得：，所以实数的取值范围是
故答案为：
5. 已知函数，．
（1）若的定义域是，求的值；
（2）若，试写出的一个单调增区间．（答案不唯一）
【答案】（1）5；（2）（答案不唯一）.
【解析】
【分析】（1）根据为方程的两根求得的值.
（2）求得的定义域，根据复合函数单调性同增异减求得的单调区间，由此确定正确答案.
【详解】（1）由题可知的解集为，
则，为方程的两根，
，解得.
（2）当，，
由解得，
所以的定义域为.
根据复合函数单调性同增异减可知：的单调增区间为.
故答案为的非空子集都可以.
能力提升
6. 已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】令，根据对数函数的性质可得，从而得解.
【详解】解：令，为开口向上的抛物线，对称轴为
函数在区间上有最小值，
则在上先减后增，
所以，
解得，即.
故答案为：
7. 已知函数
（1）若函数的定义域为，求的取值范围；
（2）若函数的值域为，求的取值范围.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）根据定义域得出，对任意的都成立，由得出的取值范围；
（2）函数的值域为，则函数的值域包含，利用，即可得出的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为
，对任意的都成立
则，解得
（2）若函数的值域为，则函数的值域包含
则，解得或
【点睛】本题主要考查了由函数的定义域和值域求参数的范围，涉及了一元二次不等式的应用，属于中档题.
8. 已知函数；
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或
【解析】
【分析】
（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；
（2），则，利用复合函数的单调性判断；
（3）利用函数单调性解不等式即可．
【详解】解：（1）由得，或，
又，
故函数是奇函数；
（2）令，其在上单调递增，
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，
又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，
所以函数的单调增区间为，；
（3），且函数在上单调递增得，
解得或．
挑战创新
9. 已知函数（k为常数，）.请在下面四个函数：① ② ③ ④中选择一个函数作为，使得是偶函数.
（1）请写出表达式，并求k的值；
（2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围.
【答案】（1），；（2）或；
【解析】
【分析】(1)根据偶函数的定义依次分析判断四个选项，得到的表达式及k的值；
（2）将不等式化简得到，利用换元法得到方程只有一个解，接着对a的取值进行分类讨论求解即可；
【详解】（1）因为函数（k为常数，）.
若选择①，
则，
因为，
故不是偶函数；
若选择②，
则，，
故不是偶函数；
若选择③，
则，
因为，
当时，，故是偶函数；
若选择④，
则，
因为，
故不是偶函数；
综上：，；
（2）若方程只有一个解，
即只有一个解，
整理得：，
令得，
因为，所以与同号，
当时，，则，
所以方程在区间上只有一个解，
因为方程对应的二次函数图像是开口向上的，
且，，，
所以当时方程在区间上只有一个解；
当时，，则，
所以方程在区间上只有一个解，
因为方程对应的二次函数图像是开口向下的，
且，，
则解得，
所以当时，方程在区间上只有一个解；
综上：当或时，方程只有一个实根.
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
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对数函数的图象和性质
【知识要点】
1.函数与函数（）的图象关于____轴对称.
2.对数函数的图象和性质
（1）填表：
图象
定义域
值域
函数值的变化 当时，_____； 当时，_____. 当时，_____； 当时，_____.
性质 均过定点______
单调性：______________ 单调性：_____________
（2）对对数函数（），当越来越小时，其图象与_____的负半轴越来越靠近；对对数函数（），当越来越小时，其图象与_____的正半轴越来越靠近.
（3）对于对数函数的图象，在第一象限内，当时，底数越大，图象越_____；当时，底数越小，图象越_____
3.指数函数的图象与对数函数的图象关于____对称，它们互为反函数.
【公式概念应用】
1. 比较下列各数的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与.
【答案】（1）.（2）.（3）.
【解析】
【分析】（1）根据，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；
（2）根据，在定义域内是增函数，可得，故，即可比较二者大小；
（3）根据，，即可比较二者大小.
【详解】（1）设.
且是减函数，
，
即.
（2）是增函数，
.
，
即.
（3）且，
.
【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2. 求函数单调区间.
【答案】增区间为（-∞，0），减区间为（1，+∞）.
【解析】
【分析】求出定义域，根据复合函数的单调性的判断法则可得答案.
【详解】由得函数定义域为.
这个函数可分解成
单调递减 单调递减 单调递增
单调递增 单调递减 单调递减
函数增区间为，减区间为.
【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解，关键是能够准确理解“同增异减”原则，易错点是忽略函数的定义域，造成求解错误.
3. 函数的值域是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，利用换元法结合二次函数以及对数函数的性质，可求出函数的值域．
【详解】由，解得，即函数的定义域为
令，则
，
即函数的值域是
故答案为：
4. 已知函数，判断函数的奇偶性.
【答案】奇函数.
【解析】
【分析】先根据对数函数的定义域列出不等式，求解得到函数的定义域，然后利用对数的运算法则和奇偶函数的定义判定.
【详解】解：由得，或，
又，
故函数是奇函数.
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