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任意角三角函数
1. “角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合象限角的正弦、余弦的正负情况进行判断即可.
【详解】角是第一象限角时，，则；若角是第三象限角，，则.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分条件.
若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要条件.
综上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要条件.
故选:C.
2. 角的终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义可求得的值，再利用三角函数的定义可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得，则，解得，
因此，.
故选：A.
3. 点为圆与轴正半轴的交点，将点沿圆周顺时针旋转至点，当转过的弧长为时，点的坐标为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出旋转角，即可计算出点的坐标.
【详解】由题意知，圆的半径为2，，
设旋转角为，则，
从而可得.
故选：B.
4. 已知角的终边经过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出点到坐标原点的距离，根据三角函数的定义，求出，即可求解.
【详解】设角的终边经过点，坐标原点为，
当时，，
当时，，
所以.
故答案为：.
5. 已知角θ终边上一点P（4，3）
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用此角终边上点的坐标即可得到结果；
（2）把目标利用平方关系转化为齐次式，进而弦切互化，即可得到结果.
【详解】（1）∵角θ终边上一点P（4，3），
∴；
（2）由（1）知，
∴.
6. 定义域为的偶函数满足，且在上是减函数，下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的周期，结合偶函数和单调性的关系，得到函数在区间上的单调性，再判断选项.
【详解】由条件可知，所以函数的周期，
在上是减函数，在区间也是减函数，利用偶函数的性质可知，函数在区间上是增函数，
A.，，故A正确；
B.，
，故B不正确；
C.，，故C不正确；
D.，，故D不正确.
故选：A
7. 已知角的终边上一点，且，求值.
【答案】或.
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的定义得到方程，解得即可；
【详解】解：依题意有：即：
解得：或
即或
8. （1）已知角的终边经过点，（），且，求的值；
（2）求值：.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）先利用三角函数的定义算出再求三角函数值即可；（2）利用诱导公式进行化简.
【详解】（1） 角的终边经过点，由三角函数的定义，，解得. 当时，，，；当时，，，.
（2）由诱导公式可得：
9. 设函数定义在上的奇函数.
（1）若不等式有解，求实数的取值范围；
（2）若，求满足条件的a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】首先利用函数是奇函数求，再利用不等式有解，参变分离后，转化为函数最值问题；（2）利用函数是奇函数，以及函数单调递增，转化为，解三角不等式.
【详解】（1）由条件可知，即，得，
，满足，
不等式有解，即，所以，
设，设，
，当时，的最大值是2，
所以；
（2）
是奇函数，，
且函数是增函数-减函数=增函数，
，即，
整理为，，
即 或，
解得：
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任意角的三角函数
学习目标：
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；
2.会判断三角函数值的符号；
3.能利用三角函数的定义求三角函数值.
知识要点：
1.设是一个任意角，在在终边上任取（异于原点）一点，则与原点的距离______；
2.比值叫做正弦，记作：________；比值________叫做的余弦，记作：；比值叫做的_______，记作：.
3.三角函数的定义域
在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是______，______，______．
4.三角函数线
设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为_____，其中cos＝____，sin＝____，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则＝___．我们把有向线段OM、MP、AT叫做的____、_____、_____．
三角函数线
典型例题：
题组一 任意角的三角函数定义
1. 已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】依题意得.
故选：D.
2. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后，得到角的终边，角的终边过点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求得m，继而求得得选项.
【详解】由，得，化简可得，
解得，，，
所以．
故选：D．
题组二 各象限三角函数值的符号
3. 在中，A为钝角，则点（ ）
A. 在第一象限 B. 在第二象限
C. 在第三象限 D. 在第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先判断的正负，即可求解
【详解】在中，A为钝角，则B为锐角，
则，
则点在第二象限，
故选：B
4. 已知是第三象限角，满足，则是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由是第三象限角，可得为第二或第四象限角，结合求得答案．
【详解】解：是第三象限角，，，
则，，即为第二或第四象限角，
又，
为第四象限角．
故选：D．
题组三 三角函数线
5. 下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合三角函数线即可直接求解.
【详解】
作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有，
所以，
故选：A.
6. 利用单位圆中三角函数线.证明：当时，
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】在单位圆中，有，（1）利用结合三角函数线化简即可证得结论；（2）利用三角函数线证得结论.
【详解】证明：在单位圆中，有．
（1）连接，则，
即，，∴．
（2）．
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7. 已知角终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数定义列方程求解，进而可得的值.
【详解】因为角终边经过点，且，
所以，所以，所以点的坐标为，
所以.
故选: A
8. 已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A. B. 0 C. 7 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.
【详解】解:令得,故定点为,
所以由三角函数定义得，
所以
故选：D
9. 设是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】是三角形的一个内角所以，根据的范围逐项判断可得答案.
【详解】因为是三角形的一个内角，所以，
所以；
当时，；
当时，；
.
故选：BC.
10. 设为实数，点为角的终边上一点，且，则＝________．
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【详解】解：点为角的终边上一点，且，
解得．
故答案为：．
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任意角的三角函数
【知识要点】
1.设是一个任意角，在在终边上任取（异于原点的）一点，则与原点的距离；
2.比值叫做的正弦，记作：________；
比值________叫做的余弦，记作：；
比值叫做的_______，记作：.
3.三角函数的定义域
在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是______，______，______.
4.三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知，点P的坐标为_____，其中cosα＝_____，sinα＝_____，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝_____.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的_____、_____、_____.
三角函数线
【公式概念应用】
1. 如果角的终边过点，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算三角函数值得，再根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意得，它与原点的距离，
所以.
故选：A.
2. 若a的终边经过点A（m，- 2），且，则非零实数m=（ ）
A. -4 B. 1 C. -6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的概念列出方程即可求出结果.
【详解】∵，∴，
故选：D.
3. 已知角是第三象限角，则的符号为_____________（填写“正”或“负”或“正负均可”）．
【答案】正负均可
【解析】
【分析】确定所在象限，然后由三角函数的定义可得．
【详解】是第三象限角，．则，
为偶数时，在第二象限，为奇数时，在第四象限，
所以可以正也可能是负．
故答案为：正负均可．
4. 已知角的终边上的一点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数定义即可得到答案.
【详解】因为，t>0，所以.
故答案为：.
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