资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
正切函数的图象与性质
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知函数，则下列对该函数性质的描述中不正确的是（ ）
A. 的图像关于点成中心对称
B. 的最小正周期为2
C. 的单调增区间为
D. 没有对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．
【详解】对于A：令,令，可得函数的一个对称中心为，故正确；
对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝，故正确；
对于C：令，解不等式可得函数的单调递增区间为，故错误；
对于D：正切函数不是轴对称图形，故正确．
故选：C．
【点睛】本题考查与正切函数有关的性质，涉及周期性，单调性和对称性，利用整体代换的思想进行判断是解决本题的关键．
2. 下列函数中以为周期，在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别研究各选项周期与单调性，即可判断选择.
【详解】周期为,在上单调递减;
周期为,在上单调递增;
周期为,在上单调递增;
不是周期函数，在上单调递减;
故选：A
【点睛】本题考查函数周期与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
3. 下列大小关系中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的单调性判断选项A、B、C，利用三角函数线判断选项D即可.
【详解】对于选项A，在区间上单调递减，
又，，故A正确；
对于选项B，在区间上单调递减，
又，，故B正确；
对于选项C，在区间上单调递增，
又，，故C错误；
对于选项D，利用三角函数线易证得：当时，有，故D正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用正弦，余弦，正切函数的单调性，三角函数线比较大小，解题的关键是能够利用三角函数的诱导公式转化到同一单调区间进行比较.
4. 下列函数中，周期为的偶函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意利用三角函数的周期性和奇偶性，从而得出结论.
【详解】解：∵函数的周期，即的周期，为，故排除A；
函数的周期为，且函数为偶函数，故B满足条件；
函数，它的周期为，但该函数为奇函数，故C不满足条件；
函数的周期为，故D不满足条件，
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数的奇偶性与周期性，求周期一般要把三角函数化为一个角的三角函数形式且为一次的．
5. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的值及函数的定义域；
（2）若，求的值．
【答案】（1），的定义域为；（2）
【解析】
【分析】（1）由周期公式即可求出的值，得出解析式，再依代换法求出函数定义域；
（2）依据条件可以得到，再将化成分式形式的二次齐次式，上下同除以 ，代入即可求出的值．
【详解】（1） ，,
又因为的定义域为，所以，
解得，故的定义域为．
（2）由得，，
．
【点睛】本题主要考查正切函数的性质，以及常见题型“已知正切值，求齐次式的值”的解法，意在考查学生数学建模以及数学运算能力．
能力提升
6. 若不等式在恒成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先判断的符号，再去绝对值化简得：，故问题转化为在上恒成立问题，再根据函数性质求解即可得答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 不等式在恒成立
∴ ，
∴.
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的性质，三角函数的符号等，考查运算呢管理，是中档题.
7. (1)求函数的定义域；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)由正切函数的定义域得出，化简得出该函数的定义域；
(2)利用换元法令，由结合正切函数的图象得出的取值范围，再由二次函数的性质得出该函数的值域.
【详解】(1)令，得
即函数的定义域为.
(2)令，因为，所以由正切函数的图象知，
所以原函数可化为，
因为该二次函数的图象开口向上，图象的对称轴方程为，
所以当时，，当时，，所以原函数的值域为.
【点睛】本题主要考查了求正切型函数的定义域以及值域，属于中档题.
8. 已知函数．
（1）当时，求的最小正周期及单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）4，，；（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出的最小正周期及单调区间；
（2）根据在上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出的取值范围.
【详解】（1）当时，的最小正周期,故最小正周期为4；
要求的单调区间，只需，解得：，
故的增区间为，，无单减区间.
（2）∵，∴函数的周期．∵在上恒成立，∴在上为严格增函数，∴，∴．
∵，∴，即，即，∴，∴．
挑战创新
9. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）若在上有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域，计算得出与之间的关系，由此可得出结论；
（2）由可得出，，利用可得出，求出函数在上的值域，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）对于函数，有，即，解得，
解得，
所以，函数的定义域为，
，
所以，函数为奇函数；
（2），
，则，，所以，，
令，可得，
所以，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
正切函数的图象与性质
学习目标：
1.了解利用正切线画正切函数图象的方法；
2.理解正切函数的图象、定义域、值域、周期性、单调性的意义；
3.求正切型函数的定义域、值域、周期性、单调性，在问题解决的过程中渗透直观想象、数据处理、抽象概括等数学核心素养.
知识要点：
1.正切函数的图象
（1）在以原点为圆心的单位圆中，角对应的终边与过的直线的交点的纵坐标为_____，从而可在坐标系中得到函数图象上的点.
（2）我们可以利用信息计算结合（1）可得图象.
（3）利用正切函数的周期性和奇偶性可得得到正切函数的图象，该图象称为____曲线.
2.正切函数性质
（1）正切函数的周期为_______，最小正周期为_______.正弦型函数的最小正周期为______.
（2）正切函数为_______（在奇函数、偶函数、非奇非偶函数中选择），正切函数的对称中心为_______.
（3）正切函数的单调增区间为_______，值域为____.
典型例题：
题组一　正切函数的图象
例1．
1. 函数y=|tanx|，y=tanx，y=tan(-x)，y=tan|x|在上的大致图象依次是___________(填序号).
【答案】①②④③
【解析】
【分析】
借助正切函数的图象和性质，依次判断即可得出结果.
【详解】∵|tanx|≥0，∴图象在x轴上方，∴y=|tanx|对应①；
∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y=tan|x|对应③；
而y=tan(-x)与y=tanx关于y轴对称，∴y=tan(-x)对应④，
y=tanx对应②，
故四个图象依次是①②④③.
故答案为：①②④③
变式：
2. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用排除法，根据函数的奇偶性以及函数在处的函数值大小，可得结果.
【详解】由，
则
所以，即函数是偶函数
故排除A，C，
当时，，排除D.
故选：B
【点睛】本题考查根据函数解析式判断大致图象，针对这种题型常常从定义域、奇偶性、单调性、对称性、值域、特殊值入手，考验分析问题的能力，属中档题.
题组二　正切型函数的周期性
例2．
3. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解.
【详解】函数的最小正周期是 ，
故选：A.
变式：
4. 直线（为常数）与函数的图象相交，相邻两交点的距离为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由正切函数的最小正周期公式即可得解.
【详解】由题意，函数的最小正周期，解得.
故答案为：.
题组三　正切型函数的定义域
例3.
5. 求函数的定义域.
【答案】
【解析】
【分析】
令，则，因为，所以，解出x即可求得定义域.
【详解】令，则可以化成.
因为中，，，所以
，，即，，
所以函数的定义域为.
【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题。
变式：
6. 求函数的定义域．
【答案】．
【解析】
【分析】根据函数解析式可得，根据正切函数的单调性解不等式即可得解.
【详解】解：要使函数有意义，必须，
∴，∴，
∴该函数的定义域是．
题组四　正切函数的奇偶性
例4.
7. 函数，若，则的值为________
【答案】0
【解析】
【分析】由，可得，然后再求出
【详解】因为，且，
所以，得，
所以，
故答案为：0
变式：
8. 若函数，且，则_________．
【答案】0
【解析】
【分析】结合奇函数的性质和诱导公式代入即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：0．
题组五　正切型函数的单调性
例5.
9. 求函数的定义域和单调递增区间.
【答案】定义域，
单调递增区间.
【解析】
【分析】本题可根据正切函数的定义得出结果.
【详解】令，即，
则函数的定义域为，
令，即，
则函数的单调递增区间为.
变式：
10. 下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断正弦、余弦、正切、余切的单调性，结合选项可得结果.
【详解】解：A选项：在上单调递增，所以有，故A错误；
B选项：在上单调递增，所以有，故B错误；
C选项：在上单调递减，所以有，故C错误；
D选项：在上单调递减，所以有，故D正确；
故选：D.
题组六　正切型函数的最值
例6.
11. 求函数在区间上的值域.
【答案】
【解析】
【分析】根据求得，再根据正切函数的单调性即可求得函数的值域.
【详解】解：，则，
所以在区间上单调递增，
所以的值域为.
变式：
12. 已知，求它的最小值
【答案】2
【解析】
【分析】由题意，可得，利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案.
【详解】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值２.
【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题.
当堂检测：
13. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦、余弦函数、正切函数的周期公式求出周期可排除选项A、D，利用单调性可排除选项C，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；
对于选项B：由于以为最小正周期，且在区间上为减函数，故选项B不正确；
对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；
对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.
故选：B
14. 已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正切函数的性质结合函数图象的特征可得函数的解析式，即可得解.
【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，
所以，，
由得，所以，
则，
又，所以，所以，
故，从而.
故选:A．
15. 函数的定义域为______________.
【答案】
【解析】
【分析】解不等式，由此可得出函数的定义域.
【详解】解不等式，得，
因此，的定义域为.
故答案为.
【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，根据题中条件列出不等式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
16. 已知函数．
（1）当时，求的最小正周期及单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）4，，；（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出的最小正周期及单调区间；
（2）根据在上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出的取值范围.
【详解】（1）当时，的最小正周期,故最小正周期为4；
要求的单调区间，只需，解得：，
故的增区间为，，无单减区间.
（2）∵，∴函数的周期．∵在上恒成立，∴在上为严格增函数，∴，∴．
∵，∴，即，即，∴，∴．
知识要点：
1.（1）.（3）正切.
2（1） ，，.（2）奇函数，.（3），.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
正切函数的图象与性质
【知识要点】
1.正切函数的图象
（1）在以原点为圆心的单位圆中，角对应的终边与过的直线的交点的纵坐标为_____，从而可在坐标系中得到函数图象上的点.
（2）我们可以利用信息计算结合（1）可得图象.
（3）利用正切函数的周期性和奇偶性可得得到正切函数的图象，该图象称为____曲线.
2.正切函数的性质
（1）正切函数的周期为_______，最小正周期为_______.正弦型函数的最小正周期为______.
（2）正切函数为_______（在奇函数、偶函数、非奇非偶函数中选择），正切函数的对称中心为_______.
（3）正切函数的单调增区间为_______，值域为____.
【公式概念应用】
1. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求解，即可得出结果.
【详解】为使函数有意义，只需，
即，
所以函数定义域为：.
故选：A.
【点睛】本题主要考查求正切型函数的定义域，熟记正切函数定义域即可，属于基础题型.
2. 函数f（x）＝tan（2x）的最小正周期是（ ）
A. B. π C. 2π D. 4π
【答案】A
【解析】
【分析】根据周期公式,计算可得.
【详解】由周期公式.
故选:A
【点睛】本题考查了的周期公式,熟练掌握公式是解题关键,属于基础题.
3. 函数的单调增区间为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件根据正切函数的单调性，即可求得的单调区间.
【详解】令，可得，
故函数的单调增区间为，.
故答案为.
【点睛】本题主要考查利用正切函数的单调性求正切型函数的单调区间，注意认真计算，属基础题.
4. 求函数，的最大值和最小值.
【答案】，
【解析】
【分析】
根据在上单调递增知最大值在处取，最小值在处取，求出相应函数值即可.
【详解】因为函数在上是增函数，
所以当时，，
当时，.
【点睛】本题考查正切函数的单调性与最值，属于基础题.
知识要点】
1（1）.（3）正切.
2.（1） ，，.（2）奇函数，.
（3），.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑