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正弦函数余弦函数的性质
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 下列区间中，函数的 单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】对于函数，
令，
求得，
可得函数的单调递增的区间是
故排除A、B、C，
由于是的一个子集，
故函数在上单调递增，
故选：D.
2. 函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用诱导公式将函数化简为，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以，令，解得，故函数的单调递增区间为
故选：D.
3. 函数的值域为，则以下不符合条件的a为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据值域结合图象确定出的取值范围，由此可知不符合条件的的值.
【详解】因为值域为，当时，，
由对称性可知当时，，
由图象可知：，所以不符合条件，
故选：D.
4. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的意义,被开方数大于等于零,结合正弦函数的图象及性质即可求解.
【详解】由题意知,,即,
因为正弦函数有,
所以,解得，
所以函数的定义域为.
故答案为:
【点睛】本题考查函数定义域的求解;属于基础题.函数定义域的求解一般从三个方面考虑:
当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为;
当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
5. 求函数的单调递减区间及函数最大值与其相应的的集合.
【答案】递减区间：；当时，.
【解析】
【分析】利用余弦函数的图象与性质，可求得函数的单调减区间和最大值、及相应的的集合.
【详解】解：,整理得，
所以函数的单调递减区间为：，
当时，即，此时.
能力提升
6. 设函数，已知在有且仅有5个零点．下面论述正确的是（ ）．
A. 在有且仅有3个极大值点 B. 在有且仅有2个极小值点
C. 在单调递增 D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合正弦函数的图像和性质可判断A，B选项，根据在有且仅有5个零点，可得，解出，可判断D，由，得，而要在单调递增，从而可得，进而可求出的范围，可判断C
【详解】解：当时，，
因为在有且仅有5个零点，
所以在上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3 个，所以A正确，B错误；
因为，所以，所以D正确；
当时，，
若在单调递增，则，得，而，所以C正确，
故选：ACD
【点睛】此题考查了三角函数的图像与性质，考查计算能力，属于中档题
7. 已知函数．
（1）求函数在区间上的最值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）当时，取得最大值；当时，取得最小值；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，得，进而可得正弦的取值范围，从而得解；
（2）由，得，进而得解.
【详解】（1）由，可得，所以，
则，
即当时，取得最大值；当时，取得最小值；
（2）由，得，
即，可得，
解得，
故解集为：.
8. 设函数，该函数图像的一条对称轴是直线 .
（1）求及函数图像的对称中心；
（2）求在上的单调递减区间.
【答案】（1） ，对称中心为） （2）和
【解析】
【分析】
（1）根据直线x，带入可得：φ，即可确定φ的值，进而令可得对称中心；
（2）根据正弦函数的性质即可求解函数f（x）的单调递减区间．
【详解】解：（1）因为函数图像的一条对称轴是直线.
所以，
因为
所以
所以
由解得
因此函数图像的对称中心为）
（2）由解得
因为，因此或 ，所以在上的单调递减区间为和
【点睛】本题主要考查y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，考查函数的对称性与单调性，考查计算能力，属于基础题．
挑战创新
9. 估计某一天的白昼时间的小时数的表达式是，其中表示某天的序号，表示1月1日，依此类推，常数与某地所处的纬度有关．
（1）在波士顿，，试画出当时函数的图象；
（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．
【答案】（1）图象见解析；（2）白昼时间最长的一天6月20日（闰年除外），12月20日（闰年除外）白昼最短；（3）243天.
【解析】
【分析】（1）用五点法即可画出函数的简图.
（2）利用正弦函数图像最大值和最小值求解函数最值，然后结合实际问题，取整，并推出对应日期.
（3）令函数大于10.5，解出的取值范围，从而计算天数.
【详解】（1）先用五点法作出的简图，由及
，得及．
若，．
∵的周期为365，∴．
将在上的图象向上平移12个单位，就得的图象（如图所示）．
（2）白昼时间最长的一天，即取最大值的一天，此时，对应的是6月20日（闰年除外），
类似地，时取最小值，即12月20日（闰年除外）白昼最短．
（3），即，，．
∴，．故约有243天的白昼时间超过10．5小时．
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正弦函数余弦函数的性质
【知识要点】
1.正弦函数的性质
（1）正弦函数的周期为_______，最小正周期为_______.正弦型函数的最小正周期为______
（2）正弦函数为_______（在奇函数、偶函数、非奇非偶函数中选择），正弦曲线的对称轴方程为_______，对称中心为_______.
（3）正弦函数单调增区间为_______；单调减区间为_________，值域为______.
2.余弦函数的性质
（1）余弦函数的周期为_______，最小正周期为_______.余弦型函数的最小正周期为______
（2）余弦函数为_______（在奇函数、偶函数、非奇非偶函数中选择），正弦曲线的对称轴方程为_______，对称中心为_______.
（3）余弦函数的单调增区间为_______；单调减区间为_________，值域为______.
【公式概念应用】
1. 函数的最小正周期为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据周期公式，即可求解.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为：
2. 函数最靠近坐标原点的对称中心为__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，求得正弦函数的所有对称中心，再利用k的值，求得答案.
【详解】令，得
当时，；当时，，
满足要求的对称中心为：
故答案为：
3. 函数的单调递增区间为__________．
【答案】，
【解析】
【分析】先求出函数的单调递增区间，再与定义域取交集可得出答案．
【详解】正弦函数的单调递减区间为，
由，得，
故函数的增区间为
再结合，可得函数的增区间为，
故答案为：，
【点睛】方法点睛：本题考查复合型正弦函数的单调区间的求解，并且限制了定义域，这种问题首先应求出这个函数在上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解，考查计算能力以及三角函数基本性质的应用，属于中等题．
4. 求函数的定义域.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数式有意义列出必须满足的不等关系，求得，然后通过正弦线、余弦线作出满足条件的角的终边所在区域，写出角的范围即可．
【详解】解:由题意得,自变量x应满足不等式组,即.如图中阴影部分所示,则所求定义域为.
【点睛】本题考查三角函数线的应用，由三角函数线定义，利用三角函数线来解三角不等式会非常方便．
【知识要点】
1（1），， .（2）奇函数，，.（3）；，.
2. （1），，.（2）偶函数，，.（3）；，.
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正弦函数 余弦函数的性质
学习目标：
1.经历利用函数图象研究周期性 奇偶性 单调性的过程，掌握正弦函数 余弦函数的周期性 奇偶性和单调性；
2.掌握正弦函数 余弦函数的性质的应用
3.通过函数性质的研究和应用，渗透抽象与概括 逻辑与推理等数学素养.
知识要点：
1.正弦函数的性质
（1）正弦函数的周期为_______，最小正周期为_______.正弦型函数的最小正周期为______
（2）正弦函数为_______（在奇函数 偶函数 非奇非偶函数中选择），正弦曲线的对称轴方程为_______，对称中心为_______.
（3）正弦函数的单调增区间为_______；单调减区间为_________，值域为_____.
2.余弦函数的性质
（1）余弦函数的周期为_______，最小正周期为_______.余弦型函数的最小正周期为______
（2）余弦函数为_______（在奇函数 偶函数 非奇非偶函数中选择），正弦曲线的对称轴方程为_______，对称中心为_______.
（3）余弦函数的单调增区间为_______；单调减区间为_________，值域为_______.
典型例题：
题组一 正弦型函数 余弦函数型函数的周期性
例1.函数的最小正周期是___________.
变式：.函数的最小正周期是_______________________.
题组二 正弦型函数 余弦函数型函数的定义域
例2.求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
变式：求函数的定义域.
题组三 正弦型函数 余弦函数型函数的对称性
例3.在函数的图象的对称轴中，则离轴最近的一条对称轴方程为___________.
变式：已知函数部分图象如图所示，则______，为了得到偶函数的图象，至少要将函数的图象向右平移______个单位长度.
题组四 正弦型函数 余弦函数型函数的单调性
例4.函数的单调递增区间是___________.
变式：函数在区间上的单调增区间是__________.
题组五 正弦型函数 余弦函数型函数的最值
例5.求下列函数的值域：
（1），；
（2）；
（3），；
（4）.
变式：求下列函数的值域.
（1）；
（2）；
（3）
当堂检测：
1. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用周期的求解公式可求.
【详解】因为，所以其最小正周期为,
故选:B.
2. 函数的图象（ ）
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的正误.
【详解】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；
由余弦函数的对称轴为，令，得，，
当时，，易知C错误，D正确；
故选：D
3. 函数的单调减区间是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦函数的单调性以及复合函数的单调性即可求出．
【详解】设，则，因为函数在上单调递减，所以
函数的单调减区间即是函数的单调增区间，
即为．
故答案为：．
4. 设函数，已知它的图象的一条对称轴是直线．
（1）求；
（2）求函数的单调递减区间．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到可得，结合，即可求解；
（2）由（1）知，令，即可求得函数的递减区间．
【详解】（1）由题意，函数的一条对称轴是直线，
可得，因为，所以.
（2）由（1）知，
令，即
所以函数的递减区间为．
参考答案：
知识要点：
1.（1），.（2）奇函数，，.（3）；，.
2.（1），.（2）偶函数，，.（3）；，.
典型例题：
例1
函数的最小正周期是，
故答案为：.
变式：
函数的最小正周期是.
故答案为：.
例2.（1）为使函数有意义，需满足，
即，
根据函数的图象，得.
所以所求函数的定义域为，.
（2）为使函数有意义，需满足，
即，解得.
由余弦函数的图象，知，
所以所求函数的定义域为.
变式：求函数的定义域.
解：由题意，要使f（x）有意义，则，
由，得，
由，得，
所以或
所以函数f（x）的定义域为
例3.
令，整理得.
当时，满足题意.
故答案为：.
变式：
由图象可知，函数的最小正周期为，，则，
由于函数图象过点且在附近单调递增，所以，，可得，
，，，
假设将函数的图象向右平移个单位长度可得到偶函数的图象，
且，
所以，，解得，
，当时，取最小值.
故答案为：；.
例4.，
由题意得：，
即求的单调递减区间，
令，，
解得，.
所以函数的单调递增区间是，.
故答案为：，.
变式：和
令，解得，
所以函数的增区间是，
当，所以函数在区间上的单调增区间是和.
故答案为：和.
例5.（1），，
，.
故，的值域为.
（2），
当时，取得最小值，此时；
当时，取得最大值，此时.
故的值域为.
（3），.
，
当时，；当时，.
故，的值域为
（4）（方法一）.
，，，
.故的值域为.
（方法二）由，得，
.
又，，解得，
即的值域为.
变式：（1）
当时，；当时，.
∴函数的值域为.
（2），
∵，∴，∴
，即.∴函数的值域为.
（3），故.
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