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两角和、差的余弦、正弦和正切公式（1）
分层演练 综合提升
基础巩固
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题可根据两角和的余弦公式得出结果.
【详解】
，
故选：C.
2. 在中，若，则一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.
【详解】，，
，，
即，所以，或，
两种情况都说明一定是钝角三角形.
故选：B
3. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角和余弦公式可得结果.
【详解】
.
故选：C.
4. 若为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，得，两边同时平方得：，故有，再化弦为切即可得出答案.
【详解】解：由，得，
所以，
两边同时平方得：，则，
故有，
所以，则，
所以.
故选：B.
5. 已知
（1）求的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据角度范围以及平方关系，可得，然后可得结果.
（2）根据（1）的条件以及两角和的余弦公式计算可得结果.
【详解】（1）由题可知：
所以
所以
（2）
所以
【点睛】本题考查商数关系、平方关系以及两角和的余弦公式，重在识记公式，属基础题.
能力提升
6. ________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意观察出角之间的关系为，，故原式转化为，利用两角差的余弦公式化简求解.
【详解】
.
故答案为：
7. 已知函数.
（1）求的值；
（2）若，求.
【答案】(1)1 (2)
【解析】
【详解】试题分析：（1）将代入解析式，直接计算即可；（2）由，求出的值，利用两角差的余弦公式展开计算即可.
试题解析： （1）
（2）∵，，
∴
考点：1.同角三角函数基本关系；2.三角恒等变换.
视频
8. （1）求的值；
（2）已知均为锐角，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，将换为由余弦的差角公式可得答案.
(2)先求出，，余弦的差角公式可得答案.根据角的范围得到答案.
【详解】（1）原式
（2）因为均为锐角，，
所以，，由
根据函数在上为增函数，所以
所以.
又均为锐角，则，所以
挑战创新
9. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
（2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
【答案】（1）；（2）证明见解析；定值；（3）或.
【解析】
【分析】由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.
【详解】（1）因为集合，，
所以；
（2）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
.
所以是与无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
要使是一个与无关的定值，则，
因为，所以与的终边关于y轴对称或关于原点对称，
又，
所以与的终边只能关于y轴对称，
所以，
因为，，
当时，，
当时，，
所以或时，
相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力.
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两角和、差的余弦、正弦和正切公式（1）
学习目标：
1.经历利用单位圆的对称性推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差 公式的意义；
2.通过公式的推导，提升学生逻辑推理的核心素养，借助公式的变形、正用、逆用，培养学生数学运算的狠心素养；
知识要点：
1．两角和差的余弦公式推导
如图，在单位圆上，的坐标为_______，的坐标为_______，的坐标为_______，则根据可得两角差的余弦公式.
2．两角和差的余弦公式
（1）_____________；（2）_____________.
典型例题：
题组一　已知两角的正弦余弦，求两角和、差的余弦
例1
1. 已知点是角终边上的点，，，求：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义求；
（2）利用两角差的余弦公式求解.
【详解】（1）角终边上一点，，
；
（2）由（1）可知，
因为，，，
.
变式：
2. 已知，且，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】根据同角的三角函数的关系求出，，再利用两角和的余弦公式，即可求出．
【详解】解：，，
且，
，
，
.
故答案为：.
题组二　用两角和、差余弦化简
例2．
3. 证明下列各式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
将等式右边用两角和与差的余弦公式展开计算可得左边.
【详解】证明：（1）.
（2）
.
【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，是基础题.
变式：
4. 证明：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
将左边用两角差的余弦公式展开，然后整理，逆用两角差的余弦公式变形即可.
【详解】证明：左边
右边.
【点睛】本题考查辅助角公式的应用，是基础题.
题组三　逆用两角和差的余弦求值化简
例3.
5. .计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式，可直接得出结果.
【详解】.
【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，熟记公式即可，属于基础题型.
变式：
6. 求值：.
【答案】
【解析】
【分析】
直接逆用两角差的余弦公式即可得结果.
【详解】原式.
【点睛】本题考查两角差的余弦公式，是基础题.
当堂检测：
7. 若，则的一个可能值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式即可得到答案.
【详解】，
故的一个可能值为．
故选：A.
8. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】
故答案为：
9. 化简：．
【答案】0
【解析】
【分析】利用“奇变偶不变，符号看象限”化简求值.
【详解】解：原式
.
故答案为：0.
10. 已知且，，求.
【答案】
【解析】
【分析】根据角的范围，求出的正弦值和的余弦值，再根据可求得结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以
，
因为，所以.
【点睛】关键点点睛：将拆为是解题关键.
知识要点：
1． ，，.
2．（1）；（2）.
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两角和差的余弦、正弦和正切公式（1）
【知识要点】
1．两角和差的余弦公式
（1）_____________；（2）_____________.
【公式概念应用】
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角和余弦公式可得结果.
【详解】
.
故选：C.
2. 利用公式求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
将转化为，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
3. 设，为锐角，，求的值.
【答案】.
【解析】
【分析】先利用同角三角函数的关系求出的值，然后利用两角和的余弦公式化简求值
【详解】解：因为，为锐角，，
所以，
所以
4. 已知，为锐角，，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由同角公式可得，，再根据，以及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】，为锐角，
，.
又，
.
又，
，
，
.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
知识要点】
1．（1）；（2）
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