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同角三角函数的基本关系
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若，且为第二象限角，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，且为第二象限角，利用平方关系求得，再利用商数关系即可求得的值.
【详解】解：因为，且为第二象限角，
所以，所以.
故选：D.
2. 已知，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以或，
因为，所以，.
所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：利用同角的平方关系可以通过正弦求余弦，通过余弦求正弦，但是要注意角的范围，注意“”的取舍.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在等式两边平方可求得的值，再利用平方关系可求得的值.
【详解】在等式两边平方可得，可得，
所以，.
故选：C.
4. 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角的平方关系，转化为齐次式问题进行求解.
【详解】解：
又原式
故答案为：.
5. 已知，求的值．
【答案】当为第二象限角时，；当为第四象限角时.
【解析】
【分析】由，得为第二象限或第四象限角，结合平方关系即可求解.
【详解】解：因为，所以为第二象限或第四象限角，
因为，所以，
又，所以，所以，
①当为第二象限角时，，；
②当为第四象限角时，，.
能力提升
6. 已知，满足是关于方程的两个根中较小的根，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由根与系数的关系可知两根乘积为1，较大根是，是较小根，
可得，结合的范围可得答案.
【详解】是方程的较小根，
且由根与系数的关系可知两根乘积为1，
方程的较大根是，
，
，
即， ，
，或，
当时，，；
当时，，；
由， ，
，．
故答案为：．
7. 已知．
（1）求的值．
（2）求的值；
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）本题首先可通过求出，然后将转化为，最后代入，即可得出结果；
（2）本题可求出的值，即可求出的值.
【详解】（1），，解得，
则
.
（2）
，
则.
8. 证明下列恒等式：
（1）
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）左边切化弦后，利用化简各得，
（2）等式两边分别化简可得．
【详解】（1）
；
（2）左边，
右边＝左边．
原等式得证．
挑战创新
9. (1)已知是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，求的值；
(2)已知，且，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)由已知方程求，利用同角关系将转化为由表示的式子，由此可求其值，(2)由条件结合平方关系求，，由此求结果.
【详解】(1)∵是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，
∴或（舍去），
∴.
(2)由题设，，解得，
∴.
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同角三角函数的基本关系
【知识要点】
1．同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系： ；
（2）商数关系： ．
【公式概念应用】
1. 已知是第二象限角，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由给定条件借助同角公式的平方关系求出，再利用商数关系即可得解.
【详解】因是第二象限角，，则，
所以.
故选：C
2. 已知，则（ ）
A. -4 B. -2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两边平方求得，又由，代入即可求解.
【详解】因为，所以，
解得，
又由.
故选：C.
3. 化简的结果是________．
【答案】cos 20°
【解析】
【分析】结合同角的商数关系以及平方关系化简整理即可求出结果.
【详解】＝＝＝＝|cos 20°|＝cos 20°.
故答案为：cos 20°.
4. 已知，且则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由，，可解得，，进而求解.
【详解】，且，
又，则可解得，，
故．
故答案为：.
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