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2.2.1 直线的点斜式方程
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________．
【答案】或.
【解析】
【分析】根据题意求得直线的倾斜角，进而求出斜率，然后结合直线的斜截式即可求出结果.
【详解】因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为或，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为或.
故答案为：或.
2. 不管k为何值，直线必过定点________．
【答案】
【解析】
【分析】将直线化为，根据点斜式方程即可直接求出结果.
【详解】将直线化为，根据点斜式可知直线必过定点，
故答案为：.
3. 已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
【答案】4
【解析】
【分析】令x=0，则y＝(m－1)+ m=7，解得即可．
【详解】令x=0，则y＝(m－1)+ m=7，解得m =4.
即答案为4.
【点睛】本题考查了直线的截距，属于基础题．
4. 求满足下列条件的实数的值．
（1）直线与直线平行；
（2）直线与直线垂直．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】利用两直线平行斜率相等，常数项不相等，求出值；
利用两直线垂直斜率之积等于，解方程求出的值.
【详解】（1）∵，∴两直线斜率相等且在轴上的截距不相等．
∴且，∴．
（2）∵，∴，∴．
【点睛】本题考查两直线的位置关系，注意平行和垂直使用的条件.
5. 已知直线l的斜率与直线3x2y=6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程.
【答案】.
【解析】
【分析】由平行得出直线的斜率，设斜截式方程求出两个截距，由题意求出参数，即得直线方程．
【详解】解:由题意知，直线l的斜率为，
故设直线l的方程为y=x+b，
l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为b，
所以=1，b=，
所以直线l的斜截式方程为.
【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线平行的位置关系．属于基础题．
能力提升
6. 直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）
又∵将向右平移１个单位得，即 故选A；
【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；
7. 直线与直线在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线斜率和纵截距的的意义判断正负，对四个选项一一验证，即可得到结论.
【详解】对于A选项，由得，而由得，矛盾；
对于B选项，由得，而由得，矛盾；
对于C选项，由得，由得，矛盾；
对于D选项，由得，由得，不矛盾．
故选：D．
8. 直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．
【答案】(－∞，0]
【解析】
【详解】∵直线方程为
∴直线过定点
∵直线不过第三象限
∴
故答案为
挑战创新
9. 如果，且，那么直线通过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】
化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.
【详解】由直线方程，可化为，
因为，且，可得，
所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．
故选：ABD.
10. 直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
【答案】或．
【解析】
【分析】直线l的斜率不存在，直接写出直线方程，检验是否符合题意即可；直线l的斜率存在时，设出直线方程，根据三角形的面积为2建立方程，解出值即可.
【详解】当直线l的斜率不存在时，l的方程为，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
当时，l的方程为，经检验不符合题意，舍去，
当时，令y＝0得，x＝，
由三角形的面积为2，得，解得，
可得直线l的方程为，即；
综上可知，直线l的方程为或．
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2.2.1 直线的点斜式方程
【知识要点】
知识点　直线的点斜式方程和斜截式方程
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b
图示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距
【公式概念应用】
1.判断
1. 直线的点斜式方程也可写成＝k（ ）
【答案】错误
2. y轴所在直线方程为x＝0.（ ）
【答案】正确
3. 直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3)．（ ）
【答案】正确
4. 直线y＝2x－3在y轴上的截距为3.（ ）
【答案】错误
5. 若直线l的方程是，则（ ）
A. 直线经过点，斜率为；
B. 直线经过点，斜率为；
C. 直线经过点，斜率为；
D. 直线经过点，斜率为1.
【答案】C
【解析】
【分析】将直线化简为，将选项一一代入，即可得出答案.
【详解】直线方程化简为：，所以直线经过点，斜率为.
故选：C.
6. 直线的倾斜角及在轴上的截距分别为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】将直线方程化为斜截式，即可得出结论.
【详解】化为，
斜率为，倾斜角为，轴上的截距为.
故选:B.
【点睛】本题考查直线方程不同形式互化，考查直线的特征，属于基础题.
7. 与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4，3)的直线方程为（ ）
A. y－3＝－ (x＋4) B. y＋3＝ (x－4)
C. y－3＝ (x＋4) D. y＋3＝－ (x－4)
【答案】C
8. 过点(－1，3)且平行于直线y＝ (x＋3)的直线方程为（ ）
A. y＋3＝ (x＋1) B. y＋3＝ (x－1)
C. y－3＝ (x＋1) D. y－3＝ (x－1)
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】由直线y＝ (x＋3)，得所求直线的斜率为，
其方程为y－3＝ (x＋1)，故选C.
9. 与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是
A. y=x+4 B. y=2x+4 C. y=–2x+4 D. y=–x+4
【答案】D
【解析】
【详解】由条件可知：所求直线的斜率为 ，又截距为4，所以选D.
考点：斜截式方程.
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2.2.1 直线的点斜式方程
学习目标：
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．
方法要点：
1　求直线的点斜式方程的步骤及注意点
（1）求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
（2）点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
2　求直线的斜截式方程的策略
（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
（2）直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
典型例题：
题组一、求直线的点斜式方程
例1　已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
（1）AB边所在直线的方程；
（2）AC边与BC边所在直线的方程．
变式　求满足下列条件的直线的点斜式方程：
（1）过点P(4，－2)，倾斜角为150°；
（2）过两点A(1，3)，B(2，5)．
题组二、直线的斜截式方程
例2　已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
变式　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
（3）倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5.
题组三、点斜式方程和斜截式方程的应用
例3　（1） 求证：不论a为何值，直线y＝ax－3a＋2(a∈R)恒过定点；
（2）当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
当堂检测：
1. 下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）
A. x＝3 B. y＝－5
C. 2y＝x D. x＝4y－1
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的斜截式方程的知识确定正确选项.
【详解】直线的斜截式方程为，
所以B选项是斜截式方程，ACD选项不是斜截式方程.
故选：B
2. 方程y＝k(x－2)表示(　　)
A. 通过点(－2,0)的所有直线
B. 通过点(2,0)的所有直线
C. 通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D. 通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
【答案】C
【解析】
【分析】由方程y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在，可得结论．
【详解】由方程y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在．
故选C．
【点睛】本题考查恒过定点的直线，容易误选B．
3. 已知直线l的方程为y+(x1)，则l在y轴上的截距为（ ）
A. 9 B. 9
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把方程化为斜截式方程，即可得结论．
【详解】解：由y+(x1)，得y=x，∴l在y轴上的截距为.
故选：B
【点睛】本题考查求直线的截距，掌握截距概念是解题关键．直线的纵截距是直线与轴交点的纵坐标，不是距离，可以为负．
4. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.
故选：D.
5. 直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<0
【答案】B
【解析】
【详解】由题可得：直线的斜率大于0，截距小于0，即k>0，b<0．
故答案选B．
答案
例1解　（1）如图所示，
因为A(1，1)，B(5，1)，所以AB∥x轴，
所以AB边所在直线的方程为y＝1.
（2）因为∠A＝60°，
所以kAC＝tan 60°＝，
所以直线AC的方程为y－1＝ (x－1)．
因为∠B＝45°，
所以kBC＝tan 135°＝－1，
所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
变式 解　（1）∵α＝150°，∴k＝tan 150°＝－，
∴直线的点斜式方程为y＋2＝－ (x－4)．
（2）∵k＝＝2，
∴直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1)．
例2解　由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，
所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
变式 解　（1）y＝2x＋5.
（2）∵α＝150°，∴k＝tan 150°＝－，∴y＝－x－2.
（3）∵y＝－x＋1的倾斜角为120°，
∴所求直线的倾斜角为α＝120°×＝30°，
∴k＝tan 30°＝，∴y＝x－5.
例3（1）证明　将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，
由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．
（2）解　由题意可知，＝2a－1，＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
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