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3.1.1 椭圆及其标准方程
【知识要点】
知识点一椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2．
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|．
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
知识点二椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
【公式概念应用】
1．判断
1. 平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．（ ）
【答案】错误
【解析】
【详解】由椭圆的定义可得该命题错误.
2. 到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．（ ）
【答案】错误
3. 椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．（ ）
【答案】错误
4. 椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2．（ ）
【答案】正确
5. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由方程可得，结合椭圆中的关系及焦点位置可得焦点坐标.
【详解】因为椭圆的方程为，所以焦点在上，且，
由可得，
所以焦点为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标，利用方程求解焦点时，一看焦点位置，二算焦距大小，侧重考查数学运算的核心素养.
6. 已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，-3)在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A. =1 B. =1 C. =1 D. =1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质，由题意可得，联立即可得解.
【详解】由题意可得
解得
故椭圆的方程为=1.
故选：D.
【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查了椭圆的性质，计算量不大，属于基础题.
7. 是方程表示椭圆的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时，，，但当时，，方程表示圆．不充分，
方程表示椭圆时，，即且，是必要的．
应为必要不充分条件．
故选：B．
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3.1.1椭圆及其标准方程
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可设丨PF2丨＝x，则丨PF1丨＝2x，利用椭圆的定义与其标准方程可求得x的值，从而可知丨PF1丨与丨PF2丨，并能判断△PF1F2的形状，从而可求得△PF1F2的面积．
【详解】设丨PF2丨＝x，则丨PF1丨＝2x，依题意，丨PF1丨+丨PF2丨＝x+2x＝3x＝2a＝6，
∴x＝2，2x＝4，
即丨PF2丨＝2，丨PF1丨＝4，又|F1F2丨＝22，
∴，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴△PF1F2的面积为S丨PF1丨丨PF2丨2×4＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，判断△PF1F2为直角三角形是关键，属于中档题．
2. 已知椭圆，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】利用中位线的性质，可得|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c, 利用椭圆的定义，可得解
【详解】设椭圆的右焦点为F2，由题意，可知|PO|=|MF2|，|PF1|=|MF1|，
又|MF1|+|MF2|=2a，
所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c，
故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆.
故选：B
3. 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的性质得，求得后现求得，得椭圆标准方程．
【详解】解析：由题意可得
所以，故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为．
故答案为：．
4. 已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.
【答案】4
【解析】
【分析】由椭圆的定义以及中位线的性质，可得解
【详解】设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|+|ME|=10，
又∵|MF|=2，∴|ME|=8，
又ON为△MEF的中位线，∴|ON|=|ME|=4.
故答案为：4
5. 、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，设 则，根据余弦定理可求出，进而求出三角形面积.
【详解】由，知，.所以，所以，
设 则，
.因为∠AF1F2 = 45°，所以，解得 ，
所以，
故答案为： .
【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的焦点三角形中的面积计算，常需考虑椭圆的定义和余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等相关三角形的知识.
能力提升
6. 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的定义可判断，平方得出，再利用余弦定理求解即可．
【详解】 是椭圆上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，
，
，
，
，
在中，，
，
故选 ．
【点睛】本题考查了椭圆的定义，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解是运算的技巧，属于中档题．
7. 椭圆的一个焦点为，点在椭圆上．若线段的中点在轴上，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】推导出轴，将代入椭圆方程，可求得点的纵坐标，进而可得出点的纵坐标.
【详解】如图，、分别为、的中点，，轴，
易知点的横坐标为，将代入椭圆方程得，解得，
因此，点的纵坐标为.
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆上的点的坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.
8. 已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为
A. 5 B. 7
C. 13 D. 15
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x-3）2+y2=4的圆心，（-3,0），（3,0），所以根据椭圆的定义P到两焦点的距离和始终为2a=10，那么可得：（|PM|+|PN|）min=2×5-1-2=7，
故选B．
考点：本试题主要考查了圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用.
点评：解决该试题的关键是求解距离的最小值问题，理解两圆的圆心是椭圆的焦点，那么结合椭圆的定义和圆的性质可得．
挑战创新
9. 如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】与椭圆两个焦点有关的问题，一般以回归定义求解为上策，抓住△PF1F2为直角三角形建立
等式关系．
【详解】∵△POF2是面积为的正三角形，
∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．
∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=，
所以.
故答案为．
【点睛】本题考查了椭圆的基本量，关键是抓住图形特征建立等式关系．
10. 如图，点A是椭圆C：的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为（0，1），且满足BPx轴，，求椭圆C的方程.
【答案】
【解析】
【分析】利用题干条件，表示三点坐标，再借助坐标表示，即得解
【详解】由题意得，
直线AB的方程为，
由且BP∥x轴，得，
所以，，
因为，故，
因为b>0，于是b=2，所以B（3，1），
将B（3，1）代入椭圆，
得，解得a2=12，
综上所述，椭圆C的方程为.
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3.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标：
1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆标准方程．
方法要点：
1　确定椭圆标准方程方法
（1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
（2）“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2　椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
（2）椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
3　求轨迹方程的常用方法
（1）直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式；
（2）定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
（3）相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
典型例题：
题组一、求椭圆的标准方程
例1　
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
（2）两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
（3）经过点P，Q.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，由于椭圆经过两个点和，代入椭圆方程解出即可；
（2）焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，由于椭圆经过两个点和，代入椭圆方程解出即可；
（3）根据题意，设椭圆的方程为，将、的坐标代入计算可得、的值，即可得椭圆的方程，变形为标准方程的形式即可得答案．
【详解】(1) 焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，
椭圆经过两个点和，
，解得．
椭圆的标准方程为；
（2）椭圆的焦点在纵轴上，．
由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和等于．，，
椭圆方程是；
（3）根据题意，设椭圆的方程为，
又由椭圆经过和，则有，解可得，；
则要求椭圆的方程为，
即其标准方程为．
变式　
2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点(2，)，；
（2）过点(，)，且与椭圆有相同的焦点．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论焦点在x轴上、焦点在y轴上，将点坐标代入椭圆方程联立求解或者设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，待定系数求解，即得解；
（2）可分析得焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，代入点坐标，结合焦点坐标，联立即得解
【详解】（1）方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)．
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为.
方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为
（2）因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为
(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点在椭圆上，所以，
即.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
题组二、椭圆的定义及其应用
例2　
3. 已知P为椭圆上一点，，是椭圆的焦点，，求的面积.
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理以及椭圆的定义可得，再由三角形面积公式计算可得结果.
【详解】由已知得，，
所以，
从而，
在中，，
即，①
由椭圆的定义得，
即，②
由①②得，
所以.
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
变式　
4. 已知为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若 ，则 ________
【答案】8
【解析】
【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a＝20，再由周长，即可得到AB的长．
【详解】椭圆1的a＝5，
由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，
则三角形ABF2的周长为4a＝20，
若|F2A|+|F2B|＝12，
则|AB|＝20﹣12＝8．
故答案为8
【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．
题组三、与椭圆有关的轨迹问题
例3　
5. 已知是椭圆上一动点，为坐标原点，则线段中点的轨迹方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】设出点的坐标，由此得到点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，化简后可得点的轨迹方程.
【详解】设，由于是中点，故，代入椭圆方程得，化简得.即点的轨迹方程为.
【点睛】本小题主要考查代入法求动点的轨迹方程，考查中点坐标，属于基础题.
变式　
6. 在直角中，，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
【答案】
【解析】
【分析】以AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设其方程为，根据椭圆的定义，求得，进而得到，即可求解.
【详解】以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为．
因为，所以，
则，且，所以，可得，
所以曲线的方程为.
当堂检测：
7. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的定义可得点P到两个焦点的距离之和为2a＝10，再由点P到一个焦点的距离为2，可得点P到另一个焦点的距离．
【详解】由椭圆，可得a＝5、b＝1，设它的两个焦点分别为F、F′，
再由椭圆的定义可得|PF|+|PF'|＝2a＝10，由于点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为8，
故选：D．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．
8. 已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件可得，则，可得答案.
【详解】椭圆方程可化为 ，椭圆的一个焦点坐标是(0，1)，则焦点在轴上，
所以，由题意知
解得
故选：B
9. 若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A. (0，＋∞) B. (0，2) C. (1，＋∞) D. (0，1)
【答案】D
【解析】
【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围．
【详解】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，
所以 ，即 ，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，①表示焦点在x轴上的椭圆；②表示焦点在y轴上的椭圆．；③表示椭圆．
视频
10. 已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_____.
【答案】+x2=1
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可得a=4，c=，再由b2=a2-c2，即可求解.
【详解】由已知2a=8，2c=2，所以a=4，c=，
所以b2=a2-c2=16-15=1.
又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为+x2=1.
故答案为：+x2=1。
【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
11. 椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________.
【答案】
【解析】
【详解】当点P为椭圆的短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，此时△PF1F2的面积为S＝×8×b＝12，解得b＝3.又a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆方程为＝1.
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