资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台1.3.2空间向量运算的坐标表示分层演练 综合提升基础巩固1. 已知向量,,,若,则与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题意可得,,且,所以,,所以,选C.【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角,但本题更重要的是要发现的平行关系,就可以简化运算,否则要设坐标,待定系数运算求坐标,运算复杂了.2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为A. 9 B. C. 5 D.【答案】B【解析】【分析】由题意,求出的坐标,然后利用距离公式求解即可.【详解】在长方体中, D为坐标系原点,如图,由D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3)可知,长方体中|DC|=2,|DA|=4,|DD1|=3,所以, 则对角线的长为:,所以B选项是正确的.【点睛】本题考查空间中两点间的距离和长方体的性质,要求仔细审题,认真计算,属基础题.3. 若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=________.【答案】0【解析】【分析】根据点A,B,C的坐标,分别求出的坐标,利用三点共线,可建立方程组,从而可求m+n的值.【详解】由题意,∵A(m+1,n﹣1,3),B (2m,n,m﹣2n),C( m+3,n﹣3,9)∴∵A(m+1,n﹣1,3),B (2m,n,m﹣2n),C( m+3,n﹣3,9)三点共线,∴∴(m﹣1,1,m﹣2n﹣3)=λ(2,﹣2,6)∴∴∴m+n=0故答案为0【点睛】本题以点为载体,考查三点共线,解题的关键是求向量的坐标,利用向量共线的条件.4. 若,,,且,则________.【答案】或.【解析】【分析】设,根据,且,列出方程组,即可求解.【详解】设,因为,且,可得,解得或,即或.故答案为:或.5. 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),求|AB|取最小值时A、B两点的坐标,并求出此时的|AB|.【答案】见解析【解析】【分析】求出||,利用二次函数的性质,即可得出结论.【详解】∵A(x,5﹣x,2x﹣1),B(1,x+2,2﹣x),∴||==,∴当||取最小值时,x的值等于.当x=时,|AB|有最小值,此时A.【点睛】本题考查空间距离的计算,考查二次函数的性质,比较基础.能力提升6. 一束光线自点P(1,1,1)出发,被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光线所经过的距离是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到点关于xOy平面对称的点的坐标,利用空间两点的距离公式计算.【详解】P关于xOy平面对称的点为P′(1,1,-1),则光线所经过的距离为|P′Q|=.故选:D7. 已知空间直角坐标系中,,,,点在直线上运动,则当取得最小值时,点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,根据点在直线上,求得,再结合向量的数量积和二次函数的性质,求得时,取得最小值,即可求解.【详解】设,由点在直线上,可得存在实数使得,即,可得,所以,则,根据二次函数的性质,可得当时,取得最小值,此时.故选:C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理,空间向量的数量积的运算,其中解答中根据向量的数量积的运算公式,得出关于的二次函数是解答的关键,着重考查运算与求解能力.视频8. 若, 的夹角为钝角,则实数x的取值范围是________.【答案】(-∞,-2)【解析】【分析】因为,的夹角为钝角,则,结合是否反向即可求解.【详解】由题意,得,设,的夹角为θ,因为θ为钝角,所以cosθ=<0.又所以所以又,不会反向,所以实数x的取值范围是(-∞,-2).9. 三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),则三棱锥P-ABC的体积为______.【答案】1【解析】【分析】由题意,A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),则平面ABC,,根据坐标可知|AC|,|AB|和|AP|,进而利用三棱锥体积公式求得答案.【详解】由题意A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),如图,则平面ABC,则AP为三棱锥的高h,且,由A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),|AB|=1,|AC|=2,|AP|=3,设的面积为S,则S,所以三棱锥P-ABC的体积.故答案为1.【点睛】本题主要考查了三棱锥的体积计算,注意仔细审题,认真计算,属基础题.挑战创新10. 已知,若,且平面,则__________.【答案】【解析】【分析】根据,由求得,再根据平面,由,且求解即可.【详解】因为,所以,即,所以.因为平面,所以,且,即解得所以.故答案为:【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算,属于基础题.11. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC和平面A1B1C1为正三角形,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°?【答案】不存在【解析】【分析】以A点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法得到,解之即得解.【详解】以A点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(,1,0),B1(,1,2),M.又点N在CC1上,可设N(0,2,m)(0≤m≤2),则=(,1,2), ,所以|,,.如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°,那么向量和的夹角等于45°或135°.又,所以解得,这与0≤m≤2矛盾.所以在CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台1.3.2 空间向量运算的坐标表示【知识要点】知识点一 空间向量的坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),有向量运算 向量表示 坐标表示加法 a+b a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法 a-b a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘 λa λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R数量积 a·b a·b=a1b1+a2b2+a3b3知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有当b≠0时,a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0;|a|==;cos〈a,b〉== .知识点三 空间两点间的距离公式设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=||=.【公式概念应用】命题判断1. 空间直角坐标系中,向量的坐标与终点B的坐标相同.( )【答案】错误2. 设若则( )【答案】错误3. 设A(0,1,-1),O为坐标原点,则=(0,1,-1).( )【答案】正确4. 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=( )【答案】正确5. 已知=(1,-2,1),=(-1,2,-1),则=( )A. (2,-4,2) B. (-2,4,-2)C. (-2,0,-2) D. (2,1,-3)【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算结果.【详解】解析:.故选:A6. 已知、、,若,则的坐标是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设点的坐标为,根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组,即可得出点的坐标.【详解】设点坐标为,则,又,,所以,,,,则点的坐标为.故选:A.7. 已知向量a=(2,3),b=(k,1),若a+2b与a-b平行,则k的值是( )A. -6 B. - C. D. 14【答案】C【解析】【分析】【详解】由题意得a+2b=(2+2k,5),且a-b=(2-k,2),又因为a+2b和a-b平行,则2(2+2k)-5(2-k)=0,解得k=.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台1.3.2 空间向量运算的坐标表示学习目标:1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题.方法要点:1.空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定;(2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算.(3)由条件求向量或点的坐标:把向量坐标形式设出来,通过解方程(组),求出其坐标.2.利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标.(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算.(4)转化:转化为平行与垂直、夹角与距离问题.典型例题:题组一 空间向量的坐标运算1. 已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3).求点P的坐标,使.【答案】.【解析】【分析】设点P的坐标为(x,y,z),根据,利用向量相等求解.【详解】因为A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),所以=(2,6,-3),=(-4,3,1),所以=(6,3,-4),设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2),所以点P的坐标为.故答案为:2. 已知,若且与垂直,求.【答案】.【解析】【分析】根据向量的模长公式和数量积等于,列方程组即可求解.【详解】因为,所以整理可得:,解得或,因为与垂直,所以,整理可得:,即,所以,所以.3. 已知,,则________,______, ________.【答案】 ①. ②. ③. 4【解析】【分析】根据条件有,可分别求出向量的坐标,然后由空间向量的数量积公式可得其数量积.【详解】由,又,所以,所以所以故答案为: ; ; 4题组二 向量坐标表示的应用命题角度1 空间平行垂直问题4. 如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连结NE.则N,E(0,0,1),A(,,0),M.∴=,=.∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.∵NE?平面BDE,AM平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知=,∵D(,0,0),F(,,1),∴=(0,,1),∴·=0,∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.命题角度2 夹角、距离问题5. 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中,,,棱,为的中点.(1)求的长;(2)求与所成角的余弦值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】以为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.(1)利用空间中两点间的距离公式可求得的长;(2)利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.【详解】如图,以为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.(1)依题意得、,因此,,因此,线段的长为;(2)依题意得、、、,,,所以,,故与所成角的余弦值为.6. 如图,长为1的正方体中,,分别为,的中点,在棱上,且,为的中点.(1)求证:;(2)求的长.(3)求与所成角的余弦值;【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】【分析】(1)如图建立空间直角坐标系,证明即可;(2)求出的坐标,由模长公式求模长即可求解;(3)求出和的坐标,利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】(1)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,因为,,所以,所以即.(2),所以,所以的长为.(3)由(1)知,,,,,设与所成角,则,故与所成角的余弦值为.命题角度3 利用空间向量解决探索性问题7. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,若G是A1D的中点,点H在平面ABCD上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.【答案】H为线段AB的中点【解析】【分析】以D为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,H的坐标为(m,n,0),计算出和的坐标,又∥,根据向量共线的坐标运算公式求出m,n的值即可判断点H的位置.【详解】解:如图所示,以D为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0) ,A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),因为G是A1D的中点,所以点G的坐标为,因为点H在平面ABCD上,设点H的坐标为(m,n,0),因为=(m,n,0)-=,=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1),又∥,所以==,解得m=1,n=,所以点H的坐标为,所以H为线段AB的中点,即当H为线段AB的中点时,GH∥BD1.8. 已知,,,若,则点B的坐标为( ).A. (-1,3,-3) B. (9,1,1)C. (1,-3,3) D. (-9,-1,-1)【答案】B【解析】【分析】由,设结合空间向量的坐标,得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),即可求B的坐标.【详解】设,由得:(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),∴,可得,所以点B的坐标为(9,1,1).故选:B9. 已知向量,,,且,则λ等于( )A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】C【解析】【分析】由向量的坐标运算先求出的坐标,由向量的模长公式得到关于的方程,解出方程即可得到答案.【详解】由,,则所以,且整理可得,所以解得 ( 舍)故选:C10. 已知空间向量,,且与互相垂直,则k的值是( ).A. 1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由=0可求解.【详解】由题意,.故选:D.11. 在空间直角坐标系中,A(-1,2,3),B(2,1,m),若|AB|=,则m的值为________.【答案】或13【解析】【分析】由空间两点间的距离公式可得答案.【详解】,所以,即所以m=-7或13.故答案为:m=-7或13.12. 已知,,,则向量与的夹角等于_____.【答案】【解析】【详解】由题意可得: ,则 ,则向量与的夹角等于.点睛: (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式.(2) 常用来求向量的模.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第六课时 课中 1.3.2 空间向量运算的坐标表示.88b478d358ff4020ae4958ed15e507eb.docx 第六课时 课前 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 解析版.docx 第六课时 课后 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 解析版.docx