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一元二次不等式
知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
题型一　一元二次不等式的解法
例 1 求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）二次三项式配方，由平方的性质可得不等式的解集；
（2）不等式两边同乘以，然后左边因式分解，转化为两个一元一次不等式组求解；
（3）移项，通分，再把分子、分母中最高次项化为正数，然后转化为两个一元一次不等式组求解．
（1）
可化为，所以，即，解集为；
（2）
或化为，即，
所以或，
的解集为，无解，
综上，原不等式的解集为；
（3）
化为，即，即，
所以或，
不等式组无解，不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
巩固训练
1.求下列方程、不等式（组）的解集.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，解方程可求得的值，进一步解方程可得，从而得到解集；
（2）解绝对值不等式和一元二次不等式可求得结果.
（1）
设，则，，解得：或；
当时，；当时，；
综上所述：方程的解集为.
（2）
由得：，解得：，
不等式组的解集为.
题型二　含参一元二次不等式
例2 已知关于的不等式．
(1)若此不等式的解集是，求的值；
(2)讨论此不等式的解集．
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意知，，2是的两根，从而可求出；
（2）通过讨论对应方程两根的大小，得出不等式的解集．
（1）
由题意知，，是的两根，
所以，解得或．
（2）
就是，即．
方程的两根是，．
①当，即时，此不等式的解集是．
②当，即时，此不等式是，解集是．
③当，即时，此不等式的解集是．
巩固训练
2.已知关于的不等式．
（1）若此不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式
【答案】（1）（2）时，解集为，时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为
【详解】试题分析：（1）利用三个二次关系可知与不等式对应的方程的根为，代入可得实数的值；（2）解不等式时需对a分情况讨论来解不等式，时为一次不等式，时为二次不等式，结合二次函数图像求解
试题解析：（1）由题意可知， 2分
和为方程的两根， 于是， 4分
（2）①当时，由，得； 6分
②当时，不等式可化为，解得或； 8分
③当时，不等式可化为，
若，即，则， 10分
若，即，则不等式解集为， 12分
若，即，则． 14分
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，则不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
题型三　一元二次不等式参数综合问题
例 3（1）若二次不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】
【分析】把恒成立问题转化成最值问题，分类讨论求出最小值，解不等式即可.
【详解】解：，抛物线对称轴
当即时，函数最小值为，与不合，舍去；
当即时，函数最小值为；
当时，函数最小值为与矛盾，舍去.
综上所述得得取值范围为.
（2）设函数.
(1)若的解集是，求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，，关于的不等式在有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意，根据函数与方程的关系，可得方程解的问题，根据韦达定理，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，结合不等式恒成立，整理参数以及根的判别式与零的大小，可得不等式组，解得答案；
（3）由题意，利用二次函数的性质，将不等式有解问题，可得最小值小于参数的不等式恒成立问题，可得答案
（1）
由题意，可得方程的解为或，
则，解得.
（2）
因为恒成立，即恒成立，
当时，，故不满足题意；
当时，则，则，，解得，
所以的取值范围为.
（3）
当时，不等式在有解，即，
令，则函数的对称轴为直线，
若，则恒成立，
则，
若，则，解得，
综上所述，，实数的取值范围为.
（3）已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，且，化简可求出，从而可求出的解析式，
（2）求出抛物线的对称轴，然后分，和三种情况求解函数的最小值
（1）
因为二次函数，且满足，，
所以，且，
由，得，
所以，得，
所以.
（2）
因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，
则；
当，即时，
在上单调递减，
则；
当，即时，，
综上
巩固训练
3.（1）已知关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（2）已知关于的方程在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题可知在上有解，根据二次函数的性质求函数最值即得；
（2）由题可知在上有恒成立，根据二次函数的性质即得.
【详解】（1）由可得，
所以在上有解，
因为，在上单调递增，
所以，
所以；
（2）由题可知在上有恒成立，
由上可知，
所以．
4.已知函数．
(1)若的解集是，求实数的值．
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，函数在有解，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集的端点值为一元二次方程的根，由此求解出的值；
（2）要使恒成立，即，根据的取值进行分类讨论，由此求解出不等式解集；
（3）将问题转化为“在有解”，然后分析二次函数在的最小值小于等于，由此求解出的取值范围，即可求出的取值范围.
（1）
由题意可知：且，解得．
（2）
若恒成立，则
当时，不恒成立；
当时，解得：.
实数的取值范围为：.
（3）
时，在有解，
即在有解，
因为的开口向上，对称轴，
①即，时，函数取得最小值即，∴．
②即时，当取得最小值，此时，解得．
③当即时，当时取得最小值，此时，解得，
综上，或．
所以：的范围为：.
5.已知函数．
(1)若，且存在使能成立，求a的取值范围；
(2)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数的性质得到函数在区间上单调递增，转化为，求解即可．
（2）转化，由关于x的方程有两个不相等的正实数根，借助判别式和韦达定理求的范围，列出不等式组求解即可．
(1)
若，函数为开口向上的二次函数，且对称轴为，
∴函数在区间上单调递增，
∵存在使能成立，
∴，∴，
∴a的取值范围为．
(2)
∵关于x的方程有两个不相等的正实数根，，
∴，∴，
∴，
∴的取值范围为．
6.已知二次函数．
（1）若存在使成立，求的取值范围；
（2）当时，求在区间上的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意，根据即可求解；
（2）由题意，即，再根据对称轴与区间的三种位置关系分情况讨论即可求解.
【详解】解：（1）因为存在使成立，
所以，解得，
所以的取值范围为；
（2）由题可知：，即．
当时，，其图象开口向上，对称轴，下面分类讨论：
当，即时，在区间上为增函数，
则有；
当，即时，在区间上为减函数，在上为增函数，则有；
当即时，在区间上为减函数，
则有．
综上， .
课后练习
1.不等式9－12x≤－4x2的解集为(　　)
A．R B．
C. D.
答案　C
解析　原不等式可化为4x2－12x＋9≤0，
即(2x－3)2≤0，
∴2x－3＝0，∴x＝，
∴原不等式的解集为.
2.已知不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由题意可得出，解不等式即可求出答案.
【详解】因为不等式的解集为空集，
所以，
解得：.
故选：A.
3.若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质分类讨论求解即可.
【详解】因为不等式的解集为R，
当时，，符合题意；
当时，，
综上：.
故选：B
4.命题“，”是命题“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由命题“，”求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【详解】若，，则，解得，
∴命题“，”是命题“”的充要条件，
故选：A．
5.已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论正确的是（　　）
A．a<0 B．
C． D．的解集是
【答案】D
【分析】由已知，是方程的两个根且，由此确定的关系，并由此判断A，B，C，再化简不等式求其解.
【详解】因为不等式的解集为或，，
所以且，是方程的两个根，
所以，，
所以，，
因为，所以A错，
因为，，所以，所以C错，
因为，，，所以，B错，
因为，，所以可化为，所以，方程的解为或，所以不等式的解集是，
故选：D.
6.已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.
【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标，
令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标，易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到，
所以.
故选:C.
7.若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知，，
当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，
即 ，解得.
故选：C.
8.已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】由的解集为可得，从而得出的关系，求的最大值转化成求的最小值，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】因为一元二次不等式的解集为
所以
因为
由
所以（当且仅当时取等号）
所以的最大值为
故答案为：
9．函数，，若存在，，使得，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．
【详解】∵函数；
∴当时，当时，有最小值；当时，有最大值1；
即，则的值域为[－1，1]；
当≤x≤2时，，即，则的值域为，
若存在，，使得，
则，
若，
则或，
得或，
则当时，即集合或的补集，
∴，
即实数a的取值范围是，
故答案为：．
10．已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________；
【答案】
【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围.
【详解】可变形为，
因为，所以，
其中，
当时，开口朝下，不合题意；
当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；
当时，开口朝上，
因为，所以不等式解集为，
此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，
则必有，所以，结合，
所以，所以，
综上：
故答案为：.
11.给定关于的不等式.
（1）若不等式的解集是,求值;
（2）解此不等式.
【答案】（1）或（2）详见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法,结合一元二次方程根与系数关系可求出的值;
（2）不等式可转化为,讨论的值,可求出不等式的解集.
【详解】（1）∵不等式的解集是,
∴与是方程的实根,且,
则,解得或.
(2)原不等式可化为,
①若,则,即.
②若,则,
方程的解为或,
当时,即,原不等式的解集为R.
当时,即,原不等式的解集为,
当时,即,原不等式的解集为.
综上所述,原不等式的解集情形如下:
当时,解集为;当,解集为;
时,原不等式的解集为R;当时,解集为.
12.设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设有，解一元二次不等式求解集即可.
（2）由题意在上恒成立，令并讨论m范围，结合二次函数的性质求参数范围.
（1）
由题设，等价于，即，解得，
所以该不等式解集为.
（2）
由题设，在上恒成立．
令，则对称轴 且，
①当时，开口向下且，要使对恒成立，
所以，解得，则．
②当时，开口向上，只需，即.
综上，．
13.若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据二次不等式的解法即得；或参变分离，求函数的最值即得.
【详解】方法一（判别式法）关于x的不等式可变形为,
由题可得，
解得,
又，
所以实数a的取值范围为；
方法二（分离变量法）因为，所以关于x的不等式可变形为，
因为，
所以，解得，
又，所以实数a的取值范围为．
14.已知函数．
(1)若不等式解集为，求不等式的解集；
(2)已知，，若命题“，总有”是假命题，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由不等式的解集可得的两个根，利用根与系数的关系建立等式求出a、b、c的关系，代入所求不等式求解即可得答案．
（2）写出该命题的否命题，由题意，该命题的否命题为真命题，从而分离参数转化为最值的求解即可得答案．
(1)
解：关于x的不等式的解集为，
所以方程的两根为，3，且，
所以，解得，．
所以不等式可转化为，
即，解得，
所以不等式的解集为．
(2)
解：命题“，总有”是假命题，
所以它的否定命题“，使得”是真命题，
又，，所以不等式为，
即，使得成立，
因为在单调递减，所以，
所以，
所以实数b的取值范围是．
15.已知函数和.
（1）若，关于的不等式的解集是.求实数，的值；
（2）若，，，解关于的不等式；
（3）若，，，对，总，使得，求实数的取值范围 （注：表示的是函数中对应的函数值，表示的是中对应的函数值.）
【答案】(1) ，；(2)答案见解析；(3) 实数的取值范围为.
【分析】(1)由一元二次方程与一元二次不等式的解集的关系求a，b，(2)根据一元二次不等式的解法求解不等式；（3）根据不等式恒成立问题和存在性问题的处理方法转化条件，总，使得，求m的范围.
【详解】(1)∵ 关于的不等式的解集是，
∴ 和3是方程的根，
∴ ，，又，
∴ ，，，
(2)∵ ，，
∴ 不等式可化为，
∴ ，
当时，原不等式可化为
∴ ,
当时，方程的解为和，且，
不等式的解集为，
当时，不等式可化为
的解集为，
当时，方程的解为和，且，
不等式的解集为，
∴ 当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
(3)∵ 对，总，使得，
∴ ，
又在上的最小值为，
∵，，，
∴
∴ 当时，在上的最小值为，
∴
∴ ，
当时，在上的最小值为，
∴
∴ 不存在，
∴ 当时，在上的最小值为，
∴
∴ 不存在，
综上可得：实数的取值范围为.一元二次不等式
知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
题型一　一元二次不等式的解法
例 1 求下列不等式的解集：
； (2)； (3)．
巩固训练
1.求下列方程、不等式（组）的解集.
(1)； (2).
题型二　含参一元二次不等式
例2 已知关于的不等式．
(1)若此不等式的解集是，求的值；
(2)讨论此不等式的解集．
巩固训练
2.已知关于的不等式．
（1）若此不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式
题型三　一元二次不等式参数综合问题
例 3（1）若二次不等式对恒成立，求的取值范围.
（2）设函数.
(1)若的解集是，求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，，关于的不等式在有解，求实数的取值范围.
（3）已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
巩固训练
3.（1）已知关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（2）已知关于的方程在上恒成立，求实数的取值范围．
4.已知函数．
(1)若的解集是，求实数的值．
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，函数在有解，求的取值范围．
5.已知函数．
(1)若，且存在使能成立，求a的取值范围；
(2)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围．
6.已知二次函数．
（1）若存在使成立，求的取值范围；
（2）当时，求在区间上的最小值．
课后练习
1.不等式9－12x≤－4x2的解集为(　　)
A．R B．
C. D.
2.已知不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3.若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
4.命题“，”是命题“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论正确的是（　　）
A．a<0 B．
C． D．的解集是
6.已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7.若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
8.已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最大值为__________.
9．函数，，若存在，，使得，则a的取值范围是__________．
10．已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________；
11.给定关于的不等式.
（1）若不等式的解集是,求值;
（2）解此不等式.
12.设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
13.若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围．
14.已知函数．
(1)若不等式解集为，求不等式的解集；
(2)已知，，若命题“，总有”是假命题，求实数b的取值范围．
15.已知函数和.
（1）若，关于的不等式的解集是.求实数，的值；
（2）若，，，解关于的不等式；
（3）若，，，对，总，使得，求实数的取值范围 （注：表示的是函数中对应的函数值，表示的是中对应的函数值.）

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