资源简介

抛物线
知识清单
定义（几何条件） 平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；
标准方程
图形
对称轴 轴 轴 轴 轴
顶点坐标
焦点坐标
离心率
准线方程
焦半径 公式
范围
（2）定义：到定直线（准线）与到该定直线外一点（焦点）的距离相等的动点轨迹叫做抛物线；
（3）焦半径：抛物线上的点与焦点之间的线段长度皆称作焦半径，记作；
①，； ②，；
③，； ④，；
（4）焦点弦：为抛物线的焦点弦，；
①； ②；
③弦长，，当时，弦长最短为，此时的弦又为通径；
④弦长（为倾斜角）
（5）点和抛物线的关系
①点在抛物线内（含焦点）；②点在抛物线上；③点在抛物线外；
重要知识点讲解
知识点一：抛物线的定义
例题1 若动圆与圆相外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
例题2 判断适合下列条件的动点轨迹的形状.
(1)到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹；
(2)到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹.
例题3 (1)求抛物线的焦点坐标、准线方程；
(2)已知抛物线，求它的焦点坐标及的值.
变式1 抛物线上一点到焦点的距离为，求该点的坐标.
知识点二：抛物线的标准方程
例题1 根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)经过点；
(2)焦点为直线与坐标轴的交点.
变式1 根据下列条件确定抛物线的标准方程.
(1)关于轴对称且过点；
(2)过点；
(3)焦点在与坐标轴的交点上.
例题2 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形.
例题3 抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，求抛物线的方程.
知识点三：抛物线的轨迹方程
例题1 已知动圆经过点且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.
变式1 点到点的距离比它到直线的距离小1，试确定点的轨迹.
知识点四：抛物线的最值
例题1 已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，求的最小值，并求出取最小值时点的坐标.
例题2 求抛物线上的点到直线的距离的最小值，并求取得最小值时该点的坐标.
重要题型讲解
题型一：求抛物线的标准方程
例题1 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和的值.
变式1 求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点；
(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线上.
题型二：抛物线的应用
例题1 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长.
变式1 一辆卡车高3，宽1.6，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽恰好是拱高的4倍.若拱口宽为，求能使卡车通过的的最小整数值.
变式2 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽 米.
题型三：直线与抛物线相交
例题1 直线，抛物线，当为何值时，直线与抛物线有一个公共点？两个公共点？没有公共点？
例题2 如图，抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴.证明：直线经过原点.
题型四：抛物线的综合应用
例题1 已知点，点到的距离比它到轴的距离大.
(1)求点的轨迹方程；
(2)是否存在，使取得最小值？若存在，求此时点的坐标；若不存在，请说明理由.
随堂练习
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是( )
A． B． C． D．
2．设斜率为2的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点.若(为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A． B． C． D．
3．已知双曲线的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为( )
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点到直线的距离是( )
A． B．2 C． D．1
5．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
6．已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则( )
A． B． C． D．

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