圆锥曲线基础知识手册（PDF版）_21世纪教育网-二一教育

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圆锥曲线
一、椭圆及其性质
第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之和为常数(大于 F1F2 )的点轨迹
MF1 = MF2第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 = ed1 d2
焦点焦点在x轴上焦点在 y轴上
y y y= a
2
B2 c
2 2 A
x=- a b a
2
x= a
c c F1a
图形 A1 F c b1 O F2 A2 x
B1 c B2 x
B1 F2 a2A1 y=- c
x2 y2 y2 x2
标准方程 2 + 2 = 1 a> b> 0 2 + 2 = 1 a> b> 0 a b a b
范围 -a≤ x≤ a且-b≤ y≤ b -b≤ x≤ b且-a≤ y≤ a
A1 -a，0 ，A2 a，0 ，B1 0，-b ， A1 0，-a ，A2 0，a ，B1 -b，0 ，
顶点
B2 0，b B2 b，0
长轴长= 2a，短轴长= 2b，焦距= F F = 2c，c2轴长 1 2 = a2- b2
焦点 F1 -c，0 、F2 c，0 F1 0，-c 、F2 0，c
焦半径 PF1 = a+ ex0， PF2 = a- ex0 PF1 = a- ey0， PF2 = a+ ey0
焦点弦左焦点弦 |AB| = 2a+ e(x1+ x2)，右焦点弦 |AB| = 2a- e(x1+ x2).
c 2
离心率 e= a = 1-
b
2 0< e< 1 a
a2 a2
准线方程 x=± c y=± c
x0x y0y x0x y0y
切线方程 2 + 2 = 1 2 + 2 = 1a b b a
2
通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = 2ba (最短焦点弦)
(1)由定义可知：|PF1|+|PF2| = 2a，周长为：2a+ 2c
(2)焦点三角形面积：S 2 θ△F1PF = b × tan2 2
(3)当P在椭圆短轴上时，张角 θ最大，cosθ≥ 1- 2e2
2 2
焦点 (4) b b焦长公式： PF1 = 、 MF =
三角形 a- ccosα
1 a+ ccosα
2
MP = 2ab = 2ab
2 y
P
a2- c2cos2α b2+ c2sin2α θ
α β
sin(α+ β) F1 O F( 25)离心率：e= xM
sinα+ sinβ
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二、双曲线及其性质
第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于 F1F2 ）的点轨迹
MF1 = MF2第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 = ed1 d2
焦点焦点在x轴上焦点在 y轴上
y y
F1 虚轴
虚轴 a b 实轴
图形
F c1 F2 x x
F2
实轴
x2 y2 y2 x2
标准方程
a2
-
b2
= 1 a> 0，b> 0 - = 1 a> 0，b> 0
a2 b2
范围 x≤-a或x≥ a，y∈R y≤-a或 y≥ a，x∈R
顶点 A1 -a，0 、A2 a，0 A1 0，-a 、A2 0，a
轴长虚轴长= 2b，实轴长= 2a，焦距= F1F2 = 2c，c2= a2+ b2
焦点 F1 -c，0 、F2 c，0 F1 0，-c 、F2 0，c
焦半径 |PF1| = a+ ex0，|PF2| =-a+ ex0左支添“-”
c b2
离心率 e= a = 1+ a2 e> 1
a2 a2
准线方程 x=± c y=± c
b
渐近线 y=± a x y=±
a x
b
x0x y0y x0x y0y
切线方程 - = 1 - = 1
a2 b2 b2 a2
2b2
通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = a (最短焦点弦)
(1)由定义可知：|PF1|-|PF2| = 2a
(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；
(3)焦点三角形面积：S△F PF = b2÷ tan θ1 2 2 = c y
F1F2 sinθ sin(α+ β)(4)离心率：e= = =
PF1 - PF2 sinα- sinβ sinα- sinβ
焦点
y
三角形
P
θ
α β
F1 F2 x
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三、抛物线及其性质
定义平面内与一个定点F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
方程 y2= 2px p> 0 y2=-2px p> 0 x2= 2py p> 0 x2=-2py p> 0
y y y y
F
y= p
图形 2
F x F x x x
p p y=-
p
x=- 22 x= 2 F
顶点 0,0
对称轴 x轴 y轴
p p p p
焦点 F 2 ，0 F - 2 ，0 F 0，2 F 0，- 2
=- p = p p p准线方程 x 2 x 2 y=- 2 y= 2
离心率 e= 1
范围 x≥ 0 x≤ 0 y≥ 0 y≤ 0
切线方程 y0y= p x+ x0 y0y=-p x+ x0 x0x= p y+ y0 x0x=-p y+ y0
通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 AB = 2p(最短焦点弦)
AB为过 y2= 2px p> 0 焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，倾斜角为 α.则：
( ) p p1 AF = x1+ 2 BF = x2+ 2 AB = x1+ x2+ p，
= p
2
(2)x1x2 4 y1y2=-p
2
( p p3) AF = BF = 1 + 1 = 2
1- cosα 1+ cosα |FA| |FB| p
2
(4) AB =
2p p
S
sin2α △AOB
=
2sinα
AB为过 x2= 2py(p> 0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，倾斜角为 α.则：
( p p1) AF = BF =
1- sinα 1+ sinα
( ) = 2p = p
2
2 AB S
cos2α △AOB 2cosα
焦点弦
( ) AF 3 = λ，则：sinα= λ- 1
BF λ+ 1
y A y
A
F
B
α α
O F x O x
B
=- px 2
y2= 2px(p> 0) y2= 2px(p> 0)
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四、圆锥曲线的通法
y y
M yP P
F1 F2 F1 F2
O x O F x O x
P
椭圆双曲线抛物线
点差法与通法
1、圆锥曲线综述：
联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；
弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.
★ 2、直线与圆锥曲线的位置关系
（1）直线的设法：
1 若题目明确涉及斜率，则设直线：y= kx+ b，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；
2 若题目没有涉及斜率或直线过 (a，0)则设直线：x=my+ a，可避免对斜率进行讨论
（2）研究通法：联立 y= kx+ b 得：ax
2+ bx+ c= 0
F(x，y) = 0
b c
判别式：Δ= b2 4ac，韦达定理：x1+ x2= a，x1x2= a
（3）弦长公式： AB = (x - x )21 2 + (y 2 21- y2) = 1+ k |x1- x2|
= (1+ k2) [(x 21+ x2) - 4x1x ] = 1+ 12 (y 2k2 1+ y2) 4y1y2
3、硬解定理
x2 y2
设直线 y= kx+ φ与曲线 m + n = 1相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)
由： y= kx+ φ ，可得：(n+mk2)x2 + 2kφmx+m(φ
2-n) = 0
nx2+my2=mn
-2kmφ m(φ2-n)
判别式：△= 4mn(n+mk2- φ2)韦达定理：x1+ x2= 2 ，x1x2=n+mk n+mk2
△
由：|x1- x 22| = (x1+ x2) - 4x1x2，代入韦达定理：|x1- x2| = n+mk2
★ 4、点差法：
若直线 l与曲线相交于M、N两点，点P(x0，y0)是弦MN中点，MN的斜率为 kMN，
x2 + y
2 2
则：在椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)
y
k 0 b中，有
a b MN x
= 2 ;
0 a
x2 y2 = ( > > ) y
2
0
在双曲线 2 2 1 a b 0 中，有 kMN x =
b
a b a2
；
0
在抛物线 y2= 2px(p> 0)中，有 kMN y0= p.
(椭圆)
设M、N两两点的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)，
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x2 y
2
1 1 ya2 + b2 = 1， (1) N
则有 x2 2 2 y2 2 + 2 = 1. (2)a b P
F O F
( ) ( ) x
2 x2 y2 y2 1 2 x
1 2 1 2 + 1 2，得 2 = 0.a b2 M
y y y + y b2∴ 2 1 2 1x x x + x = 2 .2 1 2 1 a
∵ = y2 y1 y1+ y2 2y y y b
2
又 kMN x2 x
，
1 x + x
= 2x = x .∴ kMN x = 2 .1 2 a
圆锥曲线的参数方程
1、参数方程的概念
x= f(t)
在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 t的函数 y= g(t)
并且对于 t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x，y)都在这条曲线上，该方程
就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y的变数 t叫做参变数，简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
※ 2、直线的参数方程
π x= x + tcosα( ) 01 过定点P(x0，y0)、倾斜角为 α(α≠ 2 )的直线的参数方程 (t为参数)y= y0+ tsinα
(2)参数 t的几何意义：
参数 t表示直线 l上以定点M0为起点，任意一点M (x，y)为终点的有向线段的长

度再加上表示方向的正负号，也即 |M0M | = |t|，
y
|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离.
M1
当点M在M0上方时，t> 0； α
当点M在M0下方时，t< 0； O t M0 x
当点M与M0重合时，t= 0；
x= x + tcosα(3) 0直线方程与参数方程互化：y yo= tanα(x xo) (t为参数)y= y0+ tsinα
( ) x= x0+ at4 直线参数方程： (t为参数)，y= y0+ bt
当 a2+ b2= 1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.
x= x
a
0+ 2 2 t
2 2 a + b当 a + b ≠ 1时，将参数方程化为 b 然后在进行计算.y= y0+ a2+ b2 t
★ 3、圆的参数方程
x= a+ rcosθ
（1）圆心 (a，b)，半径 r的圆 (x- a)2+ (y- b)2= r2参数方程 (θ为参数)；y= b+ rsinθ
x= rcosθ
特别：当圆心在原点时，半径为 r的圆 x2+ y2= r2的 y 参数方程为： (θ是y= rsinθ
参数). P(x,y)
(2) r参数 θ的几何意义：θ表示 x轴的正方向到圆心
α
和圆上任意一点的半径所成的角. x
(3)消参的方法：利用 sin2θ+ cos2θ= 1，
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可得圆方程：(x- a)2+ (y- b)2= r2
★ 4、椭圆的参数方程
x2 y2 x= acosφ(1)椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的参数方程为 (φ为参数)；a b y= bsinφ
y2 x2 x= bcosφ椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的参数方程为 (φ为参数)；a b y= asinφ
(2)参数 θ的几何意义：参数 θ表示椭圆上某一点的离心角. y Q
P
如图所示，点P对应的离心角为 θ=∠QOx(过P作 α
O
PQ⊥ x轴，交大圆即以 2a x为直径的圆于Q)，
切不可认为是 θ=∠POx.
5、双曲线的参数方程
x2 y2 x= asecφ
（1）双曲线 2 - 2 = 1(a> b> 0)的参数方程 (φ为参数)；secφ=
1
a b y= btanφ cosφ
y2 x2 x= bcotφ
双曲线 2 - 2 = 1(a> b> 0)的参数方程 (φ
1
为参数)；cscφ=
a b y= acscφ sinφ
（2）参数 θ的几何意义：参数 θ表示双曲线上某一点的离心角.
※ 6、抛物线的参数方程
x= 2pt2
1 1（）抛物线 y2= 2px参数方程 (t为参数，t=y= 2pt tanα )；
1
（2）参数 t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. t=
kOP
仿射变换与齐次式
1、仿射变换：
在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.
※ 2、椭圆的变换：
椭圆 b2x2+ a2y2= a2b2
x
= x x= x x b
a
= ax x=

b x
变换内容 y = a y y= b y y b a = y y= y
x2 2 2 2 2 2圆方程 + y = a x + y = b
图示 y y y y
C B C
C B C
B
B
O x O x
O x O x AA
A
A
a b
点坐标 A(x0，y0) →A'(x0， y0) A(x0，yb 0) →A'( a x0，y0)
k' = a k，由于 kA'C ' kB'C '= 1 k' = a． k，由于 kA'C ' kB'C '= 1．b b
斜率变化
k b b b
2 b b b2
AC kBC= a kA'C ' a kB'C '= a2
kAC kBC= a kA'C ' a kB'C '= a2
则AB= 1+ k2 x1- x2
弦长变化 A'B' = 1+ k'2 x1- x2
= 1+ ( a )2 2b k x1- x2
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S = b S S = a△ABC a △A'B'C ' (水平宽不变，铅 △ABC Sb △A'B'C '(水平宽扩大，铅面积变化
锤高缩小) 垂高不变)
2 k 2 c2x c2y
3 b OP b 0 0、中点弦问题，kOP kAB= 2 ，中垂线问题 = 2 ，且 x = y =- ，a k M 2 NMP a a b2
拓展 1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C '为 120°的等
腰三角形；△A'B'C '为等边三角形；
拓展 2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B'
4、面积问题：
x2 y2 b2
（1）若以椭圆
a2
+
b2
= 1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且 kOA kOB= a2
，
则经过仿射变换后 kOA' kOB'= 1，所以S△AOB为定值.
x2 y2 2
（2）若椭圆方程 2 + 2 = 1上三点A，B，M，满足：① kOA k
b
a b OB
=
a2
ab
②S△AOB= 2 ③OM = sinαOA+ cosαOB α∈ 0
π
，2 ，三者等价
※ 5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）
（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA
和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.
（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.
②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny= 1
③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny= 1，构造出齐次式.
④在齐次式中，同时除以 x2，构建斜率 k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.
圆锥曲线考点归类
(一)条件方法梳理
1、椭圆的角平分线定理
x2 + y
2
（1）若点A、B是椭圆 2 = 1(a> b> 0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴a b2
上一定存在一个点M，当仅当则 xM x = a2N 时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；
x2 y2
（2）若点A、B是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴a b
上一定存在一个点M，当仅当则 yM yN= b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；
※ 2、关于角平分线的结论：
若直线AO的斜率为 k1，直线CO的斜率为 k2，EO平分∠AOC
则有：k1+ k2= tanα+ tan(π- α) = 0
角平分线的一些等价代换条件：作 x轴的对称点、点到两边的距离相等.
3、四种常用直线系方程
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(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0，y0)的直线系方程为 y- y0= k(x- x0) (除直线 x= x0)，其中 k是待定
的系数;经过定点P0(x0，y0)的直线系方程为A(x- x0) +B(y- y0) = 0，其中A，B是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线 l 1 :A1x+B1y+C1= 0，l2 :A2x+B2y+C2= 0 的交点的直线系方程为
(A1x+B1y+C1) + λ(A2x+B2y+C2) = 0(除 l2)，其中 λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线 y= kx+ b中当斜率 k一定而 b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax+By+
C= 0平行的直线系方程是Ax+By+ λ= 0(λ≠ 0)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C= 0(A≠ 0，B≠ 0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+ λ= 0，λ是参
变量．
4、圆系方程
(1)过直线 l:Ax+By+C= 0与圆C :x2+ y2+Dx+Ey+F= 0的交点的圆系方程是 x2+ y2+Dx+Ey+F
+ λ(Ax+By+C) = 0，λ是待定的系数．
(2)过圆C :x21 + y2+D1x+E1y+F1= 0与圆C 22:x + y2+D2x+E2y+F2= 0的交点的圆系方程是 x2+ y2+
D 2 21x+E1y+F1+ λ(x + y +D2x+E2y+F2) = 0，λ是待定的系数．
★ (二)圆锥曲线过定点问题
1、直线过定点的背景：
（1）直线过定点模型：A，B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中 α，β分别为MA，MB的倾斜角，则：

①、MA MB为定值直线AB恒过定点；
②、kMA kMB为定值直线AB恒过定点；
③、α+ β= θ(0< θ< π) 直线AB恒过定点.
（2）抛物线中直线过定点：A，B是抛物线 y2= 2px(p> 0)上的两动点，α，β分别为OA，OB的倾斜角，则：
OA⊥OB k πOA kOB=-1 α- β = 2 直线AB恒过定点 (2p，0).
3 A B x
2
+ y
2
（）椭圆中直线过定点模型：，是椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)上异于右顶点D的两动点，其中 α，β分别a b
为DA，DB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：
2
DA⊥DB kDA kDB=-1 α- β = π ac 2 直线AB恒过定点 ( 2 ，0)a + b2
2、定点的求解方法：
1 含参形式简单的直线方程，通过将直线化为 y- y0= k(x- x0)可求得定点坐标 (x0，y0)
2 含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.
h(x，y) = 0
变换主元法：将直线化为 h(x，y) + λf(x，y) = 0，解方程组：可得定点坐标.f(x，y) = 0
eg:直线方程（：2m+ 1）x+ (m- 5)y+ 6= 0，将m看作主元，按照降幂排列（：2x+ y）m
6
2x+ y= 0 x=-
+ 11x- 5y+ 6= 0 6 12，解方程组：，解得：，求得直线过定点（- ，）.x- 5y+ 6= 0 y= 12 11 1111
3、关于以AB为直径的圆过定点问题：
(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.
圆的直径式方程：（x- x1）(x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0
(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，
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该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为 0证明点恒在圆上.
★ (三)圆锥曲线面积问题
1、面积的求解方法：
（1）S 1△ABC= MN d，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.2
（2）S = 1△ABC ×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.2
1
（3）S△AOB= 2 x1y2- x2y1
例题1.在平面直角坐标系 xOy中，已知点O 0，0 ，A x1，y1 ，B x2，y2 不共线，
1
证明：△AOB的面积为S△AOB= 2 x1y2- x2y1 .
【证明】
分析：从三角形的常用面积公式出发，考虑哪些量能快速地用坐标表示.
1
证明一: 利用S△AOB= 2 OA OB sin∠AOB
S△AOB= 12 OA OB sin∠AOB
= 1 22 OA × OB
2sin∠AOB
= 1 OA 22 × OB
2- OA OB cos∠AOB 2
1 = 2 OA
2× 2 OB 2- OA OB
= 12 x
2
1+ y21 x2 22+ y2 - x1x2+ y 21y2
= 12 x1y2- x2y1
2
= 12 x1y2- x2y1
: S= 1证明二利用 2 aha
- = = y1xOA y x x y 0 OA d 2- x1y2 = x1y2- x2y1 易得直线的方程为 1 1 ，所以边上的高为
x21+ y21 OA
1 1 x1y2- x2y1 1
从而有S△AOB= 2 OA d= 2 OA = 2 x1yOA 2
- x2y1

证明三: 割补法，利用截距
①若 y 1 11= y2，则S△AOB= 2 x1- x2 y1 = 2 x1y2- x2y1
x1y2- x2y1
②若 y1≠ y2，设直线AB与 x轴交于M m，0 ，则m= y ，2- y1
S = 1故 △AOB 2 m y1- y =
1
2 2 x1y2- x2y1
y
A
B
M
O x
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证明四: 叉乘
若A x1，y1，z1 ，B x2，y2，z2 ，C x3，y3，z3 ，则

i j k
S = 1

△ABC 2 AB×AC = 12 x2- x1 y2- y1 z2- z1x3- x1 y3- y1 z3- z 1

1
i j k
所以S△AOB= 2 OA×OB = 12 1x1- 0 y1- 0 0 = 2 x1y2- x2y1 x2- 0 y2- 0 0
2、面积中最值的求解
αx2+ βx+ φ
(1)f(x) = bx+n 型：令 t= x+n x= t-n进行代换后裂项转化为：y= at+ t
(2)f(x) = x+n x+n2 型：先在分母中配出分子式 f(x) =αx + βx+ φ α(x+n)2+ λ(x+n) + υ
令 t= x+n t 1，此时：y=
αt2
，分子分母同时除 t，此时 y= ，再利
+ λt+ υ αt+ υt + λ
用对勾函数或不等式分析最值.
(3)f(x) = αx+ β 型：令 t= x+n x= t2-n b进行代换后裂项，可转化为：y= at+
x+n t
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五、椭圆的二级结论
2. PF1 + PF2 = 2a
【证明】椭圆第一定义
x2 y23.标准方程
a2
+
b2
= 1
【证明】由定义即可得椭圆标准方程。
PF1 4. = e< 1
d1
【证明】椭圆第二定义。
5.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
【证明】如图，设P(x0，y0)，切线PT (即 l)的斜率为 k，PF1所在直线 l1斜率为 k1，PF2所在直线 l2斜率为
k2。
4图
k1- k2
由两直线夹角公式 tanθ= 1+ 得：k1k2
b2x0 + y0k- k1 a2y0 x0+ c 2 2 2 2 2tanα= = = b x0+ a y0+ b x0c1+ kk 21 1- b x0 y0 a2x 2 2 0y0+ a cy0- b x0y0
a2y0 x0+ c

= a
2b2+ b2cx b20 = a
2+ cx 20 b
c2x 2
=
0y0+ a cy0 cy0 a2+ cx0 c y0
b2x0 y0
k- k +a2y x - c 2 2 2 2 2tanβ= 2 = 0 0 = b x0+ a y0- b x0c1+ kk 22 1- b x0 y0 a2x0y - a2cy - b2 x - c 0 0 x0y0a2y0 0
a2b2= - b
2cx b2 20 = a - cx0
2
c2x y - a20 0 cy0 cy 20 a - cx0 =
b
c y0
∵ α，β∈ 0 π，2 ∴ α= β同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。
6.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
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【证明】 5图
如图，延长F1P至A，使PA=PF2，则ΔPAF2是等腰三角形，AF2中点即为射影H2。
则OH2=
F1A
2 = a，同理可得OH1= a，所以射影H1，H2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。
7.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
【证明】设P，Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为 d1，d2，以PQ中点到准线的距离为 d，以PQ为
d1+ d2 PF+FQ
直径的圆的半径为 r，则 d= 2 = 2e =
r
e > r，故以PQ为直径的圆与对应准线相离。
8.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
【证明】
= = PF1 = 2a- PF2 = - PF 如图，两圆圆心距为 d OM 2 2 2 a 2 = a- r，故两圆内切。
9.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2
(或A1).
【证明】
如图，由切线长定理： F1S + F1T = PF1 + PF2 + F1F2 = 2a+ 2c， F1S = F1T = a+ c
而 F1T = a+ c= F1A2 ，T与A2重合，故旁切圆与 x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。
x2 210.椭圆 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)的两个顶点为Aa b 1
(-a，0)，A2(a，0)，与 y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时
2 y2
A1P
x
1与A2P2交点的轨迹方程是 2 - 2 = 1.a b
【证明】易知A1 -a，0 A2 a，0 ，设P1 x0，y0 ，P2 x0，-y0 ，
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x2 y20 + 0 = y1A P 0 y0则
a2 b2 1 1
:y= a+ x x+ a ，A2P2:y= a- x x- a 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
则 x aP= x
a ay0 ∴ xP - yP = a - a yP 0
a b - a y0
x ，x a2 b2 x2 b2x2
= = 1
0 0 0 0 0 b2x20
x2 2∴P点的轨迹方程为 2 -
y
2 = 1a b
2 y2 x x y y
11. P (x x 0 0若点 0 0，y0)在椭圆 2 + 2 = 1 a> b> 0 上，则在点P0处的切线方程是a b a2
+ 2 = 1.b
【证明】证明一:
2 2
∵ yP0(x y x0， 0)在椭圆 2 + 2 = 1上a b
∴ x
2 2 2 2
0 y0 y
2 + 2 = 1
x
，对 + = 1
a b a2 b2

2x 2yy
求导得： 2 + 2 = 0，将点P0( )
2x
x y 0
2y0y0
0， 0 坐标代入得： + = 0a b a2 b2
2
∴ =- b xy 0
a2y0
b2∴ x x x y y x
2 y2
切线方程为 y- y =- 0 0 x- x 0 0 00 a2y 0
即 2 + 2 = 2 + 2 = 1
0 a b a b
证明二:
2 y2
12.若P x0(x0，y0)在椭圆 2 + 2 = 1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方a b
x0x + y0y程是 2 2 = 1.a b
x0x1 + y0y1 x0x2 y0y2【证明】设P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 ，由 10得： 2 = 1， + = 1，因为点P，P在直线Pa b2 a2 b2 1 2 1
P2
x0x + y0y = : x0x + y0y上，且同时满足方程 2 2 1，所以Pa b 1
P2 2 = 1a b2
x2 y2 213.AB b是椭圆 2 + 2 = 1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则 kOM kAB=- .a b a2
x2 y2 x2 y2
【证明】设A x1，y1 ，B x
1 2
2，y2 M x
1 2
， 0，y0 则有 + = 1，a2 b2 a2
+ 2 = 1b
x2- x2 21 2 + y1- y
2
2
作差得： = 0
a2 b2
x1- x2 x1+ x2 2 +
y1- y2 y1+ y2
a b2
= 0
= y1- y
2
2 =- b x + x b
2x 2
k 1 2 0AB x - x =- =-
b
1 2 a2 y1+ y2 a2y a20 kOM
2
kAB kOM=- ba2
2 2 2 2
14.若P0(x0，y0) x +
y x0x y0y x0 y0
在椭圆
a2 b2
= 1内，则被PO所平分的中点弦的方程是 + = + .
a2 b2 a2 b2
- =- b
2x
【证明】由 12可得：y y 0 x- x a2y y- a2y2+ b2x x- b2x20 = 0a2y 0 0 0 0 00
2 2
b2x x+ a2y y= b2x2+ a2y2 x0x + y0y = x0 y00 0 0 0 a2 2
+
b a2 b2
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x2 y2 2 2( ) + = x y x0x y y15.若P 00 x0，y0 在椭圆 2 2 1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是 + = + .a b a2 b2 a2 b2
y- y0 y b2
【证明】由 12可得：x- x x =- 2 a
2y2- a2y y+ b2x20 - b2x0x= 0
0 a
2 y2 x x y yb2x2+ a2y2= b2x x+ a20 y0y x + = 0 + 0a2 b2 a2 b2
2 y2
16.若 PQ x是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)
1 1 1 1
上对中心张直角的弦，则 2 + 2 = 2 + 2 (r1= |OP|，ra b r r a b 2
=
1 2
|OQ|).
P acost bsint Q acost bsint k k = bsint bsint
2
【证明】设，，，，则 OP OQ acost =-1∴ tant tant =-
a
acost b2
1 1 r2+ r2+ = 1 2 a
2 cos2t+ cos2t + b2 sin2t+ sin2t
r2 r2 r2r2
= 2
1 2 1 2 a cos2t+ b2sin2t a2cos2t + b2sin2t
1 1 2 a2 + + b2 tan t + tan
2t
cos2t cos2t cos2t cos2t =
a2+ b2tan2t a2+ b2tan2t
a2= 2+ tan
2t+ tan2t + b2 tan2t+ tan2t + 2b2tan2ttan2t
a4+ a2b2 tan2t+ tan2t + b4tan2ttan2t
2 2
a2+ b2 tan2t+ tan2t + 2a2 a + b2
= b
2a4+ a2b2 tan2t+ tan2t
2
12 + 12 tan2t+ tan2t + 2 a
= a b b
2
2 a
2
2 + tan2t+ tan2t b
= 12 +
1
a b2
17. x
2 y2
若椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上中心张直角的弦 L所在直线方程为Ax+By= 1(AB≠ 0) (1)
1
，则
a b a2
1 4 2 4 2+ 2 =A
2+B2;(2)L= 2 a A + b B
b a2A2 2 2
.
+ b B
【证明】将直线AB代入椭圆方程中得： A2a2+B2b2 x2- 2Aa2x+ a2 1-B2b2 = 0
2 2
Δ= 4a2B2b2 A2a2+B2b2- 1 ， AB = 2ab A +B A2a2+B2b22 2 2 2 - 1A a +B b
A x y B x y x + x = 2Aa
2 a2= 1-B
2b2 b2 1-A2a2
设 1， 1 ， 2， 2 则 1 2 2 2 2 2 ，x1x2 2 2 ，y y = ∵OA⊥OBA a +B b A a +B2b2 1 2 A2a2+B2b2
∴ x1x2+ y1y2= 0 a2+ b2= a2b2 A2+B2 A2+B2= 12 +
1
a b2
2ab A2= +B
2 2
2 2+ 2 2- = 2 a + b
2 A2a2+B2b2- 1
AB 2 2 2 A a B b 1A a +B b2 A2a2+B2b2
2 A2a4+B2b4+ a2b2 A2+B2 - a2+ b2=
A2a2+B2b2
2 A2a4+B2b4=
A2a2+B2b2
2 2 2
18.给定椭圆C ：b2x2+ a2y2= a2 21 b (a> b> 0)，C ：b2x22 + a2y2= a - ba2+ b2 ab ，则
2 2 2 2
(i)对C1上任意给定的点P(x0，y0)，它的任一直角弦必须经过C a - b a - b2上一定点M 2 x ，-a + b2 0 a2+ b2 y0 .
(ii)对C2上任一点P (x 0，y 0)在C1上存在唯一的点M ，使得M 的任一直角弦都经过P 点.
【证明】 Ι 设椭圆内直角弦AB的方程为：y-m= k x-n 即 y= kx+m- kn。
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当斜率 k存在时，代入椭圆C1方程中得： a2k2+ b2 x2+ 2a2k m- kn x+ a2 m- kn 2- b2 = 0
2a2k m- kn a2 m- kn 2- b2
设A x1，y1 ，B x2，y2 得 x1+ x2=- 2 2 2 ，x1x2= 2 2 2
a k + b a k + b
则PA PB= x0- x1 x0- x2 + y0- y1 y0- y2 =
k2+ 1 x1x2- k2n+ ky0+ x0-mk x1+ x + x2+ y - m- kn 22 0 0 = 0
a2 k2+ 1 m- kn 2- b2 + k2n+ ky0+ x0-mk 2a2k m- kn + a2k2+ b2 x20+
a2k2+ b2 y0- m- kn 2= 0
a2 k2+ 1 m- kn 2- a2 k2+ 1 b2+ a2k2+ b2 x2+ a2k2+ b20 y2+ a2k20 + b2 m- kn 2-
2y m- kn a2k20 + b2 - 2a2k2 m- kn 2+ 2a2kx0 m- kn + 2a2k2y0 m- kn = 0
a2 m- kn 2- a2 k2+ 1 b2+ a2k2+ b2 x2+ a2k2+ b2 y2+ b2 m- kn 2- 2y m- kn b20 0 0 +
2a2kx0 m- kn = 0
a2k2+ b2 x20+ y20 + a2+ b2 m- kn 2- a2b2 k2+ 1 + 2 m- kn a2kx0- b2y0 = 0
a2k2 x20+ y2 + b2 x2+ y2 + a2+ b2 m2+ a2+ b2 k2n2- 2kmn a2+ b2 - a2b2k2- a20 0 0 b2+ 2ma2kx0-
2mb2y - 2k2na20 x0+ 2knb2y0= 0
2 2
a
2x20+ a2+ b2 n2- b2x2- 2na2x = 0 m= b - a0 0 2 y
ma2x +nb2y =mn a2+ b2 a + b
2 0
0 0
a
2- b2
b2y2+ a2+ b2 m2- a2y2- 2mb20 0 y0= 0 n= xa2+ b2 0
a2- b2 b2- a2
即直线AB过定点 2 x ， y ，此点在C 上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C 上的定a + b2 0 a2+ b2 0 2 2
点。
ΙΙ 由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。
2 y2
19.设P(x x0，y0)为椭圆(或圆)C : 2 + 2 = 1(a> 0，. b> 0)上一点，P1P2为曲线C的动弦，且弦PP1，PPa b 2
1+m b2
斜率存在，记为 k1，k2，则直线P1P2通过定点M (mx0，-my0) (m≠ 1)的充要条件是 k1 k2=- 1-m 2 .a
【证明】必要性：设P1P2：y+my0= k x-mx0 。 k存在时，代入椭圆方程中得：
a2k2+ b2 x2- 2a2km y 2 20+ kx0 x+ a m y0+ kx0 2- a2b2= 0
2a2km y0+ kx 20 a m2 y0+ kx0 2- a2b2
设P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 得 x1+ x2= 2 2 ，x x =a k + b2 1 2 a2k2+ b2
= y
2
0- y1 y0- y2 = k x1x2- k my0+mkx0+ y0 x1+ x2 + my0+mkx0+ y
2
k1 k
0
2
x0- x1 x0- x2 x1x2- x0 x1+ x2 + x20
= b
2 m+ 1 2kmx0y0+ k2x20 m- 1 + y20 m+ 1 b2= m+ 1
a2 m- 1 2kmx0y 20+ k x20 m- 1 + y2 20 m+ 1 a m- 1
k PP x=mx y=± b不存在时，：则 a21 2 0 a -m
2x20，
2
y b 2 2 2 b 2 20- a a -m x0 y0+ a a -m x2 y2-
b a20 0 2 -m2x20 b2x2 m2- 1 2
k a 01 k2= 2 2 = 2 2 = 2 2 2 =
b m+ 1
x0 1-m x0 1-m a x0 1-m a2 m- 1
必要性得证。
充分性：设P1P2过定点 q，p ，则P1P2：y= kx+ p- kq。代入椭圆方程得：
a2k2+ b2 x2+ 2a2k p- kq x+ a2 p- kq 2- a2b2= 0
+ =- 2a
2k p- kq 2 2= a p- kq - a
2b2
设P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 得 x1 x2 a2k2
，x
+ b2 1
x2 a2k2+ b2
2
= y1- y0 y2- y0 = k x1x2+ k p- kq- y0 x1+ x2 + p- kq- y
2
k k 0

则 1 2
x1- x0 x2- x0 x1x2- x0 x1+ x2 + x20
a2k2= p- kq
2- a2b2k2- 2a2k2 p- kq p- kq- y0 + p- kq- y 2 a20 k2+ b2
a2 p- kq 2- a2b2+ 2a2kx0 p- kq + x2 2 2 20 a k + b
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b2 p- kq 2- 2y p- kq + y20 0- k2x2= 0 = m+ 1 b
2
a2 p- kq 2+ 2kx0 p- kq + k2x20- y20 m- 1

a2
p- kq
2- 2y0 p- kq + y2- k2 20 x0 = m+ 1
p- kq 2+ 2kx p- kq + k2x2 20 0- y0 m- 1
k2 mx20+ q2-mqx0- qx0 + k mpx0+ px0-mqy0+ qy0- 2pq + mpy0- py0+ p2-my20 = 0
mx2+ q2 0 -mqx0- qx0= 0 q- x0 q-mx0 = 0 1
mpx0+ px0-mqy0+ qy0- 2pq= 0 px0 m+ 1 + qy0 1-m = 2pq (2)
mpy0- py0+ p2-my20= 0 p- y0 my0+ p = 0 3
注意到m≠ 1，解 (1) (3)得 p=-my0，q=mx0，代入 (2)式，成立。
验证 k不存在的情况，也得到此结论。故 l过定点 mx0，-my0 m≠ 1 ，充分性得证。
2 y2
20. x过椭圆 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0)上任一点A(x0，y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，C两a b
b2x0
点，则直线BC有定向且 kBC= 2 (常数).a y0
【证明】设AB：y- y0= k x- x0 即 y= kx+ y0- kx0
y= kx+ y0- kx0
2
2 2 2 2x2 + y2 = a k + b x + 2a2k y0- kx0 x+ a2 y0- kx - b20 = 01a2 b2
2
+ = 2a k kx - y
2 2 2 2
x 0 00 xB 2 2 2 xB=
a k x0- 2a ky0- b x0
a k + b a2k2+ b2

a2k2x - 2a2 0 ky0- b
2x0 b2y - a2k20 y 2B 0- 2b kx0，
a2k2+ b2 a2k2+ b2
2 2
a k x0+ 2a
2ky - b2x 20 0 b y0- a2k2y0+ 2b2kx 4b2kx b2x
同理C 0 ∴ k = 0 = 0
a2
，
k2+ b2 a2k2+ b2 BC 4a2ky a20 y0
2 2
21. x椭圆 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2= γ，则椭圆的a b
γ a γ b2 γ
焦点三角形的面积为S 2△F PF = b tan 2 ，P ± c c2- b2tan2 2 ，± c tan 2 .1 2
y
P
γ
F1 O F x2
【证明】
由余弦定理： PF1 2+ PF2 2- 2 PF1 PF2 cosγ= 2c 2
PF + PF 2= 4c21 2 + 2 PF1 PF2 cosγ+ 1
4a2= 4c2+ 2 PF1 PF2 cosγ+ 1
2 2
PF 2b b1 × PF2 = cosγ+ 1 = cos2 γ2
2b2sin γ cos γ1 b2sinγ 2 2 2 γS△F PF = 2 PF1 × PF2 sinγ= cosγ+ 1 = γ = b tan 2 = c y1 2 2cos2 P2
2 2 2
b γ γy a γ P = c tan 2 ， xP = a
2- a b tan2 22 2 = c c - b
2tan2
c 2
γ 2∴ γP ± ac c2- b2tan2 2 ，± bc tan 2
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2 2
22.若P x为椭圆 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2是焦点，∠PFa b 1
F2= α，∠PF2F1=
β a- c，则 a+ c = tan
α β
2 tan 2 .
34 a- c 1- e【证明】由：a+ c = 1+ e =
sinβ+ sinα- sinγ = sinβ+ sinα- sin α+ β
sinβ+ sinα+ sinγ sinβ+ sinα+ sin α+ β
= sinβ+ sinα- sinαcosβ- sinβcosα = sinβ 1- cosα + sinα 1- cosβ
sinβ+ sinα+ sinαcosβ+ sinβcosα sinβ 1+ cosα + sinα 1+ cosβ
α β β α α β
2sin β cos β 2sin2 α2 2 2 + 2sin
α cos α 2sin2 β sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 + cos sin2 2 2 2 2 = =
2sin β cos β 2cos2 α + 2sin α α 2 β β α β α α β2 2 2 2 cos 2 2cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 + sin 2 cos 2
sin α2 sin
β
= 2 ββ = tan
α
2 tancos cos α 22 2
x2 y223.椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的焦半径公式：|MF1| = a+ ex0，|MF2| = a- exa b 0
(F1(-c，0)，F2(c，0)，M
(x0，y0)).
a2 a2
【证明】由第二定义得： MF1 = e x0+ c = a+ ex0， MF2 = e c - x0 = a- ex0
24. x
2 y2 b2 b2
椭圆 2 + 2 = 1 (a > b > 0 ) 的焦半径公式： PF1 = ，MF = ，MP =a b a- ccosα 1 a+ ccosα
2ab2 = 2ab
2 b2 b2
a2- c2cos2α b2
，PF = ，MF =
+ 2 c sin2α 2 a+ ccosα 2 a- ccosα
y
P
θ
α β
F1 O F2 x
M
【证明】
证明一: 第二定义
y
A1 P
A θ2 α β
A3 F O F x1 2
M
PF1
如图所示，结合椭圆的第二定义有， = e
PA1
2
则 PF1 = e PA1 = e F1A2 + PF1 cosα = e a c - c+ PF1 cosα
2
解得 PF b1 = a- ccosα
MF1
同理可得， = e
MA3
2
则 MF1 = e MA3 = e F1A - MF cosα = e a2 1 c - c- MF1 cosα
2
解得 MF b1 = a+ ccosα
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证明二: 余弦定理
由余弦定理可得
PF 22 = PF1 2+ F 2 21F2 - 2 PF1 × F1F2 cosα= PF1 + 4c2- 4c PF1 cosα= 2a- PF1 2
2
解得 PF b1 = a- ccosα
2 y2
25. x若椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 2- 1≤ e< 1时，可在椭a b
圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.
PF1 = PF2【证明】 PF = e PF2= e PF1 a- ex0= e a+ ex
1- e
d 0
x0= a
1 e2+ e
∵ x0∈ 0，a
∴ 1- e2 ≤ 1 e
2+ 2e- 1≥ 0 e≥ 2- 1或 e≤-1- 2
e + e
∵ e∈ 0，1
∴ e∈ 2- 1，1
2 y2
26.P x为椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上任一点，F1，F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则 2a- |AF2| ≤a b
|PA|+|PF1| ≤ 2a+ |AF2|，当且仅当A，F2，P三点共线时，等号成立.
【证明】在ΔAPF2中，有PF2-AF2≤PA≤PF2+AF2
∴PF1+PA≤PF1+PF2+AF2= 2a+AF2，PF1+PA≥PF1+PF2-AF2= 2a-AF2
都当且仅当A、P、F2三点共线时取等号
x2 y2 2 2 227.椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上存在两点关于直线 l：y= k(x- x0)对称的充要条件是 x
2
0≤
(a - b )
a b a2+ b2k2
.
【证明】25.设椭圆上的点A x1，y1 ，B x ，y 关于 l:y= kx+m对称，M x 2 2 0，y0 。
b2=- x

0 =- 1
2
= a y
a2 kx 0 = 0+m
2 2
由 12得：k a m b mAB a2
k x =- ，y =-
y k b2x b20 0 x
0 2 0 2
0 c k c
a2m2 b2 2∵ ∴ + m = a
2+ b2k2 m2 4 2
又 M在椭圆内， 4 2 4 4 2 < 1 m
2< c k
c k c c k a2+ b2k2
4 2 2 2
若m=-kx 2 c0，则 x0< 2 2 2 =
a - b
a + b k a2+ b2k2
28.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切
线垂直.
【证明】由 5即可得证。
29.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
cosφ sinφ 2 acosφ
【证明】设P acosφ，bsinφ ，则切线 l: a x+ y= 1，A
a b
c ，sinφ 1-b c
27图 30图
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2
∴ = - b b - acosφ = ab
2cosφ ab2cosφ
FP FA acosφ c，bsinφ c ， 2 2sinφ 1 c c - b + b - c = 0
∴FP⊥FA
x= acos 30.P是椭圆 = (a> b> 0)
1
上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是 e2= .
y bsin 1+ sin2
【证明】设P acosφ，bsinφ ，由射影定理有:b2sin2φ= c- acosφ c+ acosφ = c2- a2cos2φ
c2= a2cos2φ+ a2- c2 sin2φ e2= cos2φ+ 1- e2 sin2φ
1+ sin2φ e2= sin2φ+ cos2φ= 1 e2= 1
1+ sin2φ
2 y2 2 2
31.设A，B x为椭圆 2 + 2 = k(k>
y
0，k≠ 1) x上两点，其直线AB与椭圆 2 + 2 = 1相交于P，Q，则APa b a b
=BQ.
2 2 2 2
【证明】设C1: x +
y x y
2 2 = 1，C2: 2 + 2 = k k> 1 ，AB l :Ax+By+C= 0。联立C1，l得：a b a b
2
A2a2+B2b2 x2+ 2Aa2Cx+ a2C 2- a2b2B2= 0，由韦达定理：xA+ x 2Aa CB=-A2a2+B2b2
2Aa2C
同理 xP+ xQ=- 。A2a2+B2b2
2
则AP-BQ= 1+ A x - x - 1+ A
2 2
B2 A P B2
xB- xQ = 1+ A2 xB A- xP - xB- xQ
而 xA- xP，xB- xQ的符号一定相反，故 xA- xP - xB- xQ = xA+ xB- xP+ xQ = 0。所以AP=BQ
2 y2
32. x在椭圆 2 + 2 = 1 中，定长为 2 m ( o < m ≤ a ) 的弦中点轨迹方程为 m
2 =
a b
x2 y2 bx
1- 2 + 2 a2cos2α+ b2sin2α ，其中 tanα=- ay，当 y= 0时，α= 90 .a b
【证明】设A acosθ，bsinθ ，B acosφ，bsinφ ，M x0，y0 为AB中点。
θ+ φ θ- φ θ+ φ θ- φ
则 AB 2= a2 cosθ- cosφ 2+ b2 sinθ- sinφ 2= 4a2sin2 sin2 + 4b2cos2 sin2 = 4m22 2 2 2
2 2 θ+ φ θ- φa sin sin2 + b2 2 θ+ φ θ- φ2 2 cos 2 sin
2
2 =m
2
= acosθ+ acosφ = θ+ φ θ- φ = bsinθ+ bsinφ θ+ φ θ- φ而 x0 2 acos 2 cos 2 ，y0 2 = bsin 2 cos 2
= 2 θ- φ θ+ φ设A sin 2 ，B= sin
2 ，则 x2= a22 0 1-A 1-B ，y
2
0= b2 1-A B，m2= a2AB+ b2A 1-B
y2 a2y2 b2x20 0 0
x2 2 2 2
A= 1- 0 + y0 b
2 x0 y0 b2 a2
解得 2 2 ，B= ，代入m
2得：m2= 1- + +
a b x2 2 2 2 0 + y0 a b x2 2 2 20 y0 x0 y0
a2 b2 a2 + b2 +a2 b2
令 tanα=- bx0 得：m2=
2 2
1- x0 + y0 a
2 b2 tan2α
ay a2 b2 tan2
+ =
0 α+ 1 tan2α+ 1
x2 2 1- 0 2 + y02 a2cos2α+ b2sin2α a b
x2 y2
所以定长为 2m(0bx
其中 tanα=- ay，当 y= 0时，α= 90
。
33. S x
2 y2
设为椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的通径，定长线段 L的两端点A，B在椭圆上移动，记 |AB| = l，Ma b
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2
(x0，y a l0)是AB中点，则当 l≥ΦS时，有 (x0)max= c - 2e c
2= a2- b2，e= ca ;当 l<ΦS时，有 (x0)max=
a 4b2- l2，(x ) = 0.
2b 0 min
【证明】设A acosα，bsinα ，B acosβ，bsinβ ，M x0，y0 为AB中点。则：
x0=
acosα+ acosβ
2 =
α+ β α- β α- β x
acos 02 cos 2 cos 2 = acos α+ β2
2= 2 α+ β α- β α+ β α- β AB a cosα- cosβ 2+ b2 sinα- sinβ 2= 4a2sin2 sin22 2 + 4b
2cos2 2 sin
2
2
= α- β α+ β α+ β α- β α+ β4sin2 2 a2sin2 + b2cos22 2 = 4 1- cos2 2 2 2 22 a - c cos 2 = l
2- 2 2 α- β + 2 2 α+ β + 2 2 α+ β 2 α- β
2
a a cos 2 c cos 2 c cos
l
2 cos 2 = 4
2
2 2- x0 + 2 2 α+ β
2
e x0 c cos + a2=
l ≤ a2
cos2 α+ β 22
4
2
二次函数 y= e2x2-mx+ a2与 y= l4 在 0，a 内的交点即为 x0的值。由图易知 y= e
2x2-mx+ a2与 y
= l
2
4 的左交点为 x0的值。当m增大时，x0减小。要使 x0最大，则要使m最小。
x20 2 α+ β α+ β x
α+ β + c cos
2
2 ≥ 2cx0，此时等号成立时 cos
2
2 =
0max
c ≤ 1 x0max≤ ccos2 2
31图 35图
l2 2
当此式成立时 y= e2x2-mx+ a2= e2x24 0max- 2cx
2 l l a
0max+ a = 4 ex0max- a=- 2 x0max= e -
l = a
2 l
2e c - 2e
2 2
当 x0max= a - l = a - l = c时：l2e 2e c 2e = 4 ce- a
2 l= 2 a- ce 2b = a =Φ 通径
x 2b
2 2 2
当 0max≤ c时：l≥ a =Φ∴ l≥Φ=
2b
当 a 时 x0max≤ c，x0max=
a
c -
l
2e。
α+ β
当 x 20max> c时，当 cos 2 = 1，即AB垂直于 x轴时 x0最大。
2
2 l
e2x2 - x2 + a2- c2= l
2 b -
2 4 a2 2
0max 0max 4 x0max= 2 = 2 4b - l
2 x = a 0max 4b2- l21- e 4b 2b
考虑到对称性 x0min= 0对任意情况均成立。
a2 - l x ≤ c，l≥Φ= 2b
2
AB cos2 α+ β x c 2e 0max a ，过焦点，
0
2 = c
∴ x0min= 0，x0max= a 2
2b 4b
2- l2 x 2b0max> c，l<Φ= a ，AB⊥ x轴，cos2 α+ β2 = 1
x2 y234.椭圆 2 + 2 = 1与直线Ax+By+C= 0有公共点的充要条件是A
2a2+B2b2≥C 2.
a b
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b2x2+ a2y2= a2b2
【证明】 A2a2+B2b2 + + = x
2+ 2a2ACx+ a2
Ax By C 0
C 2-B2b2 = 0
Δ= 4a4A2C 2- 4a2 C 2-B2b2 A2a2+B2b2 ≥ 0 A2a2+B2b2≥C 2
(x- x 20) + (y- y0)
2
35.椭圆 2 2 = 1与直线Ax+By+C= 0有公共点的充要条件是A
2a2+B2b2≥ (Ax
a b 0
+
By +C)20 .
b
2 x- x0 2+ a2 y- y 2= a2b20
【证明】 Ax+By+C= 0
A2a2+B2b2 x2+ 2 a2AC-B2b2x + a2ABy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 x+ a C + a B y0+B b x0- a B b + 2a BCy0 = 0
Δ≥ 0 A2a2+B2b2≥A2x2+B2y2 2 20 0+C + 2ABx0y0+ 2ACx0+ 2BCy0= Ax0+By0+C
当 x = y = 0时，即为 32：A2a2+B20 0 b2≥C 2
x2 y236.设椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的两个焦点为F1、F2，P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PFa b 1
F2
中，记∠F1PF2= α，∠PF F = β ∠F F P= γ sinα c1 2 ， 1 2 ，则有 sinβ+ = a = e.sinγ
F1F2 = PF2 = PF1 sinα F1F2 2c c【证明】由正弦定理得 sinα sinβ sinγ，所以 = = = = e。sinβ+ sinγ PF1+PF2 2a a
37.经过椭圆 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于
P1和P2，则 |P1A1| |P2A2| = b2.
cosφ sinφ
【证明】设P acosφ，bsinφ ，则P点处的切线为 a x+ y= 1，b
b2 1- cos2φ
由此可得：y = bP sinφ 1+ cosφ
b
，y = 21 P2 sinφ 1- cosφ ∴ P1A1 P2A2 = = bsin2φ
2 y2
38. x已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP⊥OQ.a b
(1) 1 + 12 2 =
1 + 1
|OP| |OQ| a2 b2
;
2 2
(2)|OP|2+ |OQ|2 4a b的最小值为 ;
a2+ b2
2 2
(3)S a bΔOPQ的最小值是 .a2+ b2
【证明】(1)同 15.
2
( ) ( ) 1 + 1 = |OP| + |OQ|
2 |OP|2+ |OQ|2 2
2 15 36 3 = = a + b
2
由，：
|OP|2 |OQ|2 |OP|2|OQ|2 4S2 2 2ΔOPQ a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴ |OP|2+ |OQ|2
a + b 4S= ΔOPQ 4 a + b a b 4a b
a2 2
≥ 2 2 =b a b 2 2 2 a + b a + b
2
(3)设P acosθ，bsinθ ，Q acosφ，bsinφ ，OP OQ= a2cosθcosφ+ b2sinθsinφ= 0 tanθtanφ=
a2-
b2
acosθ bsinθ
2SΔOPQ= OP×OQ = = ab sinθcosφ- sinφcosθ acosφ bsinφ
4S2
ΔOPQ2 2 = sin
2θcos2φ+ sin2φcos2θ- 2sinθcosθsinφcosφ
a b
a4
2 b4 a2
= tan
2θ+ tan2φ- 2tanθtanφ tan θ+ tan2 + 2θ b2=
tan2θ+ 1 tan2φ+ 1 4 aa4 2 b4
b4
+ tan θ+ + 1
tan2θ
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a4 2
a2b2 4 - 2
a
2 + 1b b a4- 2a2b2+ b4 a2+ b2 2 a2 2 2 2 2 2 = a4 + 1≤ 2 b a b4S 4a2 2 + 1=b 4a2b2 SΔOPQ≥ 2+ 2 SΔOPQ≥ 2 2ΔOPQ 4 2 a b a + b
tan2θ+ b a
tan2
+ 2
θ b2
2 2
∴Smin= a ba2+ b2
39.MN是经过椭圆 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的
弦，则 |AB|2= 2a|MN |.
x= tcosθ p 2
【证明】设∠MFx= θ，AB: b = ，椭圆 ρ= p=y tsinθ 1+ ecosθ a
37图 38图
= p p 2p 2ab
2 2ab2
则MN + + = = =1 ecosθ 1- ecosθ 1- e2cos2θ a2- c2cos2θ a2sin2θ+ b2cos2θ
AB t2= a
2b2
将的方程代入椭圆的标准方程中得： 2 2 2 2 ，由参数 t的几何意义可知：a sin θ+ b cos θ
2 2
AB 2= 4t2= 4a b 2 = 2a MN a sin2θ+ b2cos2θ
40.MN是经过椭圆 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OP⊥MN，则
2 + 1 = 1 + 1| .a MN | |OP|2 a2 b2
【证明】作半弦OQ⊥OP，由 37得： OQ 2= a MN 15 1 + 1 1 2 1 2 ，由：|OP|2 |OQ|2
= 2 + = +|OP| a MN a2
1
b2
x2 + y
2
41.设椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)，M (m，o)或 (o，m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一a b
a2
条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1，A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线 l：x= m
2
(或 y= bm )上.
【证明】设 l:x= ty+m，P x1，y1 ，Q x 22，y2 ，将 l的方程代入椭圆得： a + b2t2 y2+ 2b2mty+
b2 m2- a2 = 0
2b2mt b2 m2- a2 y1
由韦达定理得：y1+ y2=- 2 2 2 ，y1y2= ，直线A P的方程为 y= x+ a ，直线A Qa + b t a2+ b2t2 1 x1+ a 2
= y2 - = 2ty1y2+ a+m y2+ m- a y1的方程为 y x - a x a ，联立A1P和A2Q得交点N的横坐标 x a，2 a+m y2+ a-m y1
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代入化简：
2b2tm2- 2b2ta2- 2b2= m
2t+ a a2+ b2t2 y2- y 2 2 2 2 2x 1 a a + b t y2- y1 - 2ab t a
-2ab2mt+m a2+ b2t2
a= a=
y2- y1 m a2+ b2t2 y2- y1 - 2ab2t m
a2
所以交点一定在直线 x= m 上。同理可证M在 y轴上的情况。
引理(张角定理)：A，C，B三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P对AC的张角为 α，对CB的张
角为 β。
sin α+ β = sinα + sinβ则：
PC PB PA
42.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应
于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
【证明】
如图，A为左顶点时，设∠PFH= θ，∠MFH= φ，则∠AFP= π- θ，∠PFM= θ- φ
a2 b2 2 2FH= bc - c= c = ae =
p p sin π- φ
e ，FM=
b
ecosφ p= a 。对F-APM由张角定理： FP =
sin π- θ + sin θ- φ FM FA
sinφ+ esinφcosθ= esinθcosφ+ sin θ- φ - esin θ- φ sinφ= sin θ- φ
∵ 0< θ< π∴ φ= θ- φ即FM平分∠PFH，同理FN平分∠QFH。∴∠MFN= 90 即MF⊥NF
当A为右顶点时，由 39可知左顶点A'与P、M；Q、N分别共线，于是回到上一种情况。
43.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q，A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，
A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
【证明】
如图，设∠PFA2= θ，∠MFA2= φ，则∠A1FP= π- θ，∠PFM= θ- φ，∠A2FQ= π- θ
- - sin π- φ = sin π- θ + sin θ- φ sin π- θ+ φ 对F QA2M和F A1PM由张角定理： FP FM ， =FA1 FA2
sin π- θ + sinφFM FQ
sinφ sinφ sin θ- φ sin θ- φ
两式相减并化简得：FP + = + sinφ= sin θ- φFQ FA FA 1 2
∵ 0< θ< π∴ φ= θ- φ即FM平分∠PFA2，同理FN平分∠QFA2。∴∠MFN= 90 即MF⊥NF
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x2 y244.设椭圆方程 2 + 2 = 1，则斜率为 k(k≠ 0)的平行弦的中点必在直线 l：y= kx的共轭直线 y= k
x
a b
2
上，而且 kk =- b
a2
.
【证明】由 12即可证得。
2 y2
45. A B C D x设、、、为椭圆 2 + 2 = 1上四点，AB、CD所在直线的倾斜角分别为 α，β，直线AB与CDa b
PA PB b2cos2β+ a2sin2β
相交于P，且P不在椭圆上，则 = 2 2 2 . PC PD b cos α+ a sin2α
x= x + tcosα x= x + tcosβ
【证明】设P x0，y0 ，AB： 0 ，CD： 0 = ，将AB的方程代入椭圆得：y y0+ tsinα y= y0+ tsinβ
b2cos2α+ a2sin2α t2+ 2 b2x0cosα+ a2y0sinα t+ b2x2+ a2y20 0- a2b2 = 0
b2x2+ a2y2- a2b2
由参数 t的几何意义可知： PA PB = t1t 0 02 = 2 2 2 2 ，同理 PC PD =b cos α+ a sin α
b2x2+ a2y2- a2b20 0
b2cos2β+ a2sin2β
PA PB b2cos2 2∴ = β+ a sin
2β
PC PD b2cos2α+ a2sin2α
x2 y246.已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)，点P为其上一点F1，F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为a b
l，作 F 1、F 2 分别垂直 l 于 R、S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、S 形成的轨迹方程是 x 2 + y 2 =
2 2 2
2 2 2= a y + b x x± c
2
a c y
a2y2 2
.
+ b x± c 2
【证明】对于外角平分线的情况由 5即可证得，下仅证 l为内角平分线的情况。
: cosφ + sinφ设P acosφ，bsinφ ，则 l0 a x y= 1 bcosφ+ asinφ- ab= 0b
则 l:asinφx- bcosφy- c2sinφcosφ= 0，l1:bcosφx+ asinφy+ bccosφ= 0
l2:bcosφx+ asinφy- bccosφ= 0。分别联立 l、l1和 l、l2得：
ccosφ acsin
2φ- b2cosφ - bcsinφcosφ ccosφ acsin
2φ+ b2cosφ bcsinφcosφ
H1 2 2 2 2 ，a sin φ+ b cos φ a- ccosφ ，H2 ，a2sin2φ+ b2cos2φ a+ ccosφ
+ = acsin
2φ - =- acsin
2φ b x+ c b x+ c
则 xH c1 a- ccosφ，xH c2 a+ ccosφ 对H1点： ay =-tanφ tanφ=- ay
∴ =± b x+ c sinφ ，cosφ= ay ，代回 x + c式得：
a2y2+ b2 x+ 2 2 2+ 2 + 2
H
c 1 a y b x c
b2 x+ c 2
x+ c = a
2y2+ b2 x+ c 2 cy b2 c x+ c
ac a± acy
1± =
2 2 a
2y2+ b2 x+ c 2 a2y2+ b2 x+ c 2
a y + b2 x+ c 2
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cy b2c x+ c - a2y2- b2 x+ c 2 2 2 2 ± = =- a y + b x x+ c c2y2=
a2y2+ b2 x+ c 2 a2y2+ b2 x+ c 2 a2y2+ b2 x+ c 2
a2y2+ b2x x+ c 2
a2y2+ b2 x+ c 2
a2y2+ b22 2= x x- c
2 2 2 2
2 2= a y + b x x± c
2
同理对H2点得 c y 。故H 点、H 点的轨迹方程为 c ya2y2+ b2 x- c 2 1 2 a2y2+ b2 x± c 2
47.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于
E和F，又D为 l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.
a
【证明】由伸缩变换 y = y将椭圆(左图)变为圆(右图)，椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。
b
所证命题变为证CD与圆O相切的充要条件是D为EF中点。
充分性：若D为EF中点∵C在圆上，AB⊥OE∴FC⊥CE，OF⊥OB∴CD=DE=DF∴∠DCF=
∠OFB=∠OAC=∠OCA
∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF= 90° ∴OC⊥CD∴CD与圆相切。
必要性：若CD与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB= 90° ∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD∴
DF=DC∵∠ECF= 90°
∴∠DEC= 90°-∠CFD= 90°-∠DCF=∠DCE∴CD=DE=DF即D为EF中点。
x2 y248.过椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M，N两点，弦MN的垂直平分线交a b
|PF|
x e轴于P，则 | =MN | 2 .
p p 2p
【证明】设∠MFx= φ，由椭圆极坐标方程： MN = 1- ecosφ + 1+ ecosφ = 1- e2cos2φ
p1- ecosφ - p1+ ecosφ ep cosφ HF ep PF
HF e = 2 = ，PF = = ∴ =1- 2 e cos2φ cosφ 1- e2cos2φ MN 2
2 y2 b2x
49.设A(x x 11，y1)是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上任一点，过A作一条斜率为- 2 的直线L，又设 d是原a b a y1
点到直线L的距离，r1，r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则 r1r2d= ab.
2 2
【证明】由 10可知 l为切线 l:b2x x+ a2y y- a2b2= 0∴ d= a b 由 22:r r = a2- e2x21 1
b4x2+ a4 2 1 2 11 y1
a2b2 a2b2 a2- e2x2 2 2 2 2∴ r r d= a2- e2x2 = 1 a b a - e x11 2 1 = = ab
b4x2+ a4y2 b41 1 x2+ a2b2 a2- x21 1 a4- c2x21
50. x
2 y2 2 2
已知椭圆 + = 1(a> b> 0) x y和 + = λ(0< λ< 1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四
a2 b2 a2 b2
点，则 AB = CD .
【证明】48.同 29。
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x2 y251.已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)，A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与 x轴相交于点Pa b
2 2 2 2
(x0，0) a - b，则- a < x <
a - b
0 a .
b2x a20 y0 a2y0
【证明】设AB中点为M x0，y0 ，则 kAB=- 2 ∴ kMP= 2 ∴MP:y- y0= 2 x- x a y0 b x
0
0 b x0
a2- b2 2 2 2 2
令 y= 0，得 xP= 2 x0∵ x ∈ -a a ∴ x ∈ - a - b a - b0 ，，a P a a
x2 y252.设P点是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记∠F1PF2= θ，则a b
2
(1)|PF1||PF2| = 2b+ .1 cosθ
(2)SΔPF F = b2tan θ1 2 2 .
【证明】同 20。
53.设过椭圆的长轴上一点B(m，o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和
a2 n-m 2
AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M N a-m，两点，则∠MBN= 90 a+m = b2(n+ a)2
.
【证明】设 l:x= ty+m，P x ，y ，Q x ，y ，代入椭圆方程得： a2+ b2t2 y2+ 2b21 1 2 2 mty+ b2 m2- a2 = 0
2b2mt b2 m2- a2
由韦达定理得：y1+ y2=- a2+ b2t2
，y1y2= a2+ b2t2
A P M y = n+ a由、、三点共线得 M x + a y1=
n+ a y1 n+ a y2
1 ty1+m+ a
，同理 yN= ty2+m+ a

∴ = - 2+ = - 2+ n+ a
2y y
BM BN n m
1 2
yMyN n m t2y1y2+ t m+ a y1+ y 22 + m+ a
b2 m2= n-m 2+ - a
2 n+ a 2
b2t2 m2- a2 - 2b2mt2 m+ a + m+ a 2 a2+ b2t2
2
= n-m 2+ b m- a n+ a
2 b22 m- a n+ a 2 a-m a2 n-m 2 b2t2 m- a - 2b2mt2+ m+ a a2+ b2t2 = n-m + = 0 = a2 m+ a a+m b2(n+ a)2
x2 y254. L是经过椭圆 + = 1(a> b> 0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离
a2 b2
心率，点P∈L，若∠EPF= α，则 α是锐角且 sinα≤ e或 α≤ arcsine (当且仅当 |PH | = b时取等号).
【证明】52，53，54为同一类题(最佳观画位置问题)，现给出公式：若有两定点A -k，0 ，B k，0 ，点
P m，y 在直线 x=m上 (m> k)，则当 y2= m+ k m- k =m2- k2时，∠APB最大，其正弦值为
k
m。
52. k= c，m= a∴ sinα≤ e，当且仅当PH= b时取等号。
2 y2
55. L x是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点，点P∈ L，e是离心率，∠EPF=a b
α，H是 L ab与X轴的交点 c是半焦距，则 α是锐角且 sinα≤ e或 α≤ arcsine (当且仅当 |PH | = c 时取等
号).
【证明】52，53，54为同一类题(最佳观画位置问题)，现给出公式：若有两定点A -k，0 ，B k，0 ，点
P m，y 在直线 x=m上 (m> k)，则当 y2= m+ k m- k =m2- k2时，∠APB最大，其正弦值为
k
m。
2
53. k= a，m= ac ∴ sinα≤ e
ab
，当且仅当PH= c 时取等号。
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x2 y256. L是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的准线，E、F是两个焦点，H是 L与 x轴的交点，点P∈ L，∠EPF=a b
α b，离心率为 e，半焦距为 c，则 α为锐角且 sinα≤ e2或 α≤ arcsine2 (当且仅当 |PH | = c a
2+ c2 时取等
号).
【证明】52，53，54为同一类题(最佳观画位置问题)，现给出公式：若有两定点A -k，0 ，B k，0 ，点
P m，y 在直线 x=m上 (m> k)，则当 y2= m+ k m- k =m2- k2时，∠APB最大，其正弦值为
k
m。
2
54. k= c a，m= c ∴ sinα≤ e
2 b，当且仅当PH= 2c a + c
2时取等号。
x2 + y
2
57.已知椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)，直线 L通过其右焦点 F2，且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭a b
2 2 2
圆左焦点F 连结起来，则 b2≤ | | | | ≤ (2a - b )1 F1A F1B 2 (当且仅当AB⊥ x轴时右边不等式取等号，当且a
仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).
【证明】设∠ p p p p- 4a AF2x= θ， F1A F1B = 2a- + 2a- 21 ecosθ 1- = 4a +ecosθ 1- e2cos2θ
∵ p p- 4a < 0∴ cos2θ ↑ F1A F1B ↓
2 2 2
∴当 θ= 0° 2a - b 时， F1A F1B 2 2min= b ；当 θ= 90°时， F1A F1B max= 2 ∴ b ≤ F1A F B ≤a 1
2a2- b2 2
a2
2 y2
58. x设A、B是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB= α，∠PBA= β，a b
∠BPA= γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
2
( )| | = 2ab |cosα|1 PA .
a2- c2cos2α
(2)tanαtanβ= 1- e2.
2 2
(3)S 2a bΔPAB= 2 cotγ.b - a2
( ) x= tcosα- a【证明】 1 设AP: ，代入椭圆方程得： b2cos2 = α+ a
2sin2α t2= 2ab2tcosα∵AP= t ≠ 0y tsinα
∴ 2ab
2 cosα 2
AP= 2ab cosα t =
b2
=
cos2α+ a2sin2α a2- c2cos2α
( ) = y
2 2
2 设P x0，y0 则 tanαtanβ
0 = b = 1- e2
a2- x2 20 a
(3)S= 1
2 2
PA ABsinα= 2a b sinαcosα 2a
2b2tanα
2 a2- c2cos2
=
α a2tan2α+ b2
b2tanα+
a2tanα a2tan2α+ b2 2
由 (2)：tan α+ β = 2 = 2 =-tanγ cotγ=-
c tanα
- b c tanα a2tan21 α+ b2
a2
∴ =- 2a
2b2cotγ 2 2
S 2 =
2a b cotγ
c b2- a2
2 y2
59.设A、B x是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且 xA、xa b B
的
横坐标 xA xB= a2，
(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；
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(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB= 180 .
【证明】由 58可证。
x2 y260.设A、B是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，a b
(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于 x轴对称)，且
∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标 xA、xB满足 xA xB= a2；
(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB= 180 ，则点A、B的横坐标满足 xA
x = a2B .
【证明】(1)易知PQ的斜率为 0和斜率不存在时，对任意 x轴上的点A都成立。设PQ:x= ty+m，A
(m，0)
2 2 2 2
代入椭圆方程得： a2+
b m - a
b2t2 2b mt y2+ 2b2mty+ b2 m2- a2 = 0，则 y1+ y2=- 2 2 2 ，y1y2=a + b t a2+ b2t2
若∠ y yPBA=∠QBA 1 2，则 kBQ+ kBP= 0 x - x + x - x = 0 y1 ty2+m- xB + y2 ty1+m- xB = 01 B 2 B
2b2t m2- a2 2ty y + m- x y + y = 0 - 2b
2mt m- xB = 0 2b2t m2- a2 - 2b21 2 B 1 2 2+ 2 2 mt m- x = 0a b t a2+ b2t2 B
2 2
m2t- a2t-m2t+mtxB= 0 x aB= m xA x =m a = a2B m
(2)作P关于 x轴的对称点P ，由 (1)即证。
2 2
61.设A，A x + y是椭圆 2 2 = 1的长轴的两个端点，QQ
是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P
a b
x2 y2
的轨迹是双曲线 - = 1.
a2 b2
【证明】同 9。
62. x
2 y2 2
过椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左焦点 F
8ab
作互相垂直的两条弦AB、CD则 2 2 ≤ |AB|+|CD| ≤a b a + b
2(a2+ b2)
a .
p b2
【证明】设椭圆 ρ= 1- ecosφ = a- ccosφ，φ∈
0 π， 2 。
2 2 2 2
则 AB + CD = b b b ba- ccosφ + + +a- ccos φ+ π2 a- ccos φ+ π a- ccos φ+
3π
2
= b
2 b2 b2 2+ + + b = 8ab
2 a2+ b2
a- ccosφ a+ ccosφ a- csinφ a+ csinφ 4a2b2+ c4sin22φ
2 2 2
当 φ= π4 时， AB +
8ab = π + 2 a + b CD 有最小值 2 2 ；当 φ 0或 2 时，AB+
CD 有最大值
a b a
8ab2 2 a2+ b2∴ ≤ 2 2 AB + CD ≤a + b a
2 y2
63. x到椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)
a- c
两焦点的距离之比等于 (c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆
a b b
(x± a)2+ y2= b2.
PA
【证明】61，62，63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点A -m，0 ，B m，0 的距离之比 PB =
2
k k> 0 k≠ 1 P k + 1 2km ，，则点的轨迹为一个圆，圆心坐标为 k2 m，0 ，圆的半径为 2 。- 1 k - 1
a- c m b
下三个题的比值 k均为，代入上述公式得：圆心坐标为 e ，0 ，圆的半径为 m。b c
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61.m= c，圆心坐标为 ±a，0 ，圆的半径为 b。轨迹方程是姊妹圆 x± a 2+ y2= b2。
2 2
62.m= a，圆心坐标为 ± a b a be ，0 ，圆的半径为 e。轨迹方程是姊妹圆 x±
2
e + y = e 。
63.m= a
2 a b a 2 b 2
c ，圆心坐标为 ± 2 ，0 ，圆的半径为 2。轨迹方程是姊妹圆e e x± + y
2
e2
= e2 。
64. x
2 y2 a- c
到椭圆
a2
+ = 1(a> b> 0)的长轴两端点的距离之比等于 (c为半焦距)的动点M的轨迹是
b2 b
a 2 b 2
姊妹圆 x± e + y
2= e .
PA
【证明】61，62，63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点A -m，0 ，B m，0 的距离之比 PB =
2
k k> 0，k≠ 1 P k + 1 2km ，则点的轨迹为一个圆，圆心坐标为 2 m，0 ，圆的半径为k - 1 k2 。- 1
k a- c m下三个题的比值均为，代入上述公式得：圆心坐标为 e ，0b
b
，圆的半径为 c m。
61.m= c，圆心坐标为 ±a，0 ，圆的半径为 b。轨迹方程是姊妹圆 x± a 2+ y2= b2。
2 2
62.m= a a b a b，圆心坐标为 ± e ，0 ，圆的半径为 e。轨迹方程是姊妹圆 x± + y
2
e = e 。
2 2 2
63.m= a a b a bc ，圆心坐标为 ± 2 ，0 ，圆的半径为 2。轨迹方程是姊妹圆 x± 2 + y2=e e e 2 。e
2 y2
65. x + = 1(a> b> 0) x a- c到椭圆 2 2 的两准线和轴的交点的距离之比为 (c为半焦距)的动点的轨迹a b b
2 2
是姊妹圆 x± a + y22 = b2 (e为离心率).e e
【证明】61，62，63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点A -m，0 ，B m，0 PA 的距离之比 PB =
2
k k> 0，k≠ 1 P k + 1 2km ，则点的轨迹为一个圆，圆心坐标为 2 m，0 ，圆的半径为。k - 1 k2- 1
a- c m b
下三个题的比值 k均为，代入上述公式得：圆心坐标为 e ，0 ，圆的半径为b c m。
61.m= c，圆心坐标为 ±a，0 ，圆的半径为 b。轨迹方程是姊妹圆 x± a 2+ y2= b2。
2 2
62.m= a，圆心坐标为 ± a 0 b a be ，，圆的半径为 e。轨迹方程是姊妹圆 x± e + y
2= e 。
2
63.m= a ± a 0 b a
2 b 2
c ，圆心坐标为 2 ，，圆的半径为 2。轨迹方程是姊妹圆 x± + y
2= 。
e e e2 e2
2 y2
66. x已知P是椭圆 + = 1(a> b> 0)上一个动点，A ，A是它长轴的两个端点，且AQ⊥AP，A 2 2 Q⊥a b
2 2 2
A x
b y
P，则Q点的轨迹方程是 2 + 4 = 1.a a

【证明】设P acosφ，bsinφ ，Q x，y ，A -a，0 ，A a，0 ，由AP AQ=A P A Q= 0得
a2 - - sinφQ acosφ， b
φ Q x
2 b2y2
消去参数得点的轨迹方程： 2 + 4 = 1a a
67.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.
【证明】同 37。
x2 y2+ = b
2x
68. 1(a> b> 0) A A P(x y ) 1设椭圆 2 2 长轴的端点为，， 1， 1 是椭圆上的点过P作斜率为- 的a b a2y1
直线 l，过A，A 分别作垂直于长轴的直线交 l于M，M ，则 (1)|AM ||A M | = b2. (2)四边形MAA M 面积
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的最小值是 2ab.
【证明】(1)同 35(2) 1由基本不等式 AM + A M ≥ 2b，则梯形MAA M 面积的最小值为 2 2a 2b=
2ab。
2 y2
69. x已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右准线 l与 x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于a b
A、B两点，点C在右准线 l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.
AM BC
【证明】设AC x FM AC AM BC AF BC交轴于M，AD⊥ l于D。由椭圆第二定义：EM = CM AD = = =CM AD BF AD
AC
e
e = 1
∴AC过EF的中点。
(x- a)2 y2
70.OA、OB是椭圆 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0)的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则a b
2
(1) 2ab直线AB必经过一个定点 a2+ b2 ，0 .
2 2 2 2
(2) ab ab以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 x- 2a2 2 + y = 2 2 (x≠ 0).+ b a + b
x2 y2 a2- b2
【证明】(1)由 17可知当椭圆方程为 2 + 2 = 1时，AB过定点 2 2 -a，0 。当椭圆方程变为a b a + b
(x- a)2 y2
a2
+ 2 = 1b
a2- b2
时，椭圆向右平移了 a个单位，定点也应向右平移了 a个单位，故此时AB过定点 2 -a+ a，0 即a + b2
2ab
2
2 2 ，0a + b
2 2 2 2
(2)由 69(2)P为原点，即m=n= 0 Q x- ab 2 ab时点的轨迹方程是 2 + y = x≠ 0 。a + 2 2+ 2 b a b
(x- a)2 y2
71.P(m，n)是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则 (1)直线ABa b
2ab
2+m(a2- b2) n(b2- a2)
必经过一个定点 2 2 ， 2 2 . (2)以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方a + b a + b
程是
2 2 2 2 2 a2[b4+n2(a2- b2)]
x- ab + a m b n2 2 + y- 2 2 = 2 2 2 (x≠m且 y≠n).a + b a + b (a + b )
x2 y2 a2- b2 b2- a2
【证明】(1)由 17可知当椭圆方程为 + = 1时，AB过定点 m- a ， n 。当椭圆方
a2 b2 a2+ b2 a2+ b2
(x- a)2 y2
程变为 2 + 2 = 1a b
时，椭圆向右平移了 a个单位，定点也应向右平移了 a个单位，故此时AB过定点
a2 - b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 m- +
b - a 2ab +m(a - b ) n(b - a )a a， n 即，。
a + b a2+ b2 a2+ b2 a2+ b2
x2( y
2
2)先证椭圆中心在原点的情况。椭圆方程为： 2 + 2 = 1，P x0，y0 ，AB的斜率为 k= tanθ。a b
a217(1) AB - b
2 b2- a2 2 2 2x b - a a - b
2
由：过定点 2 2 0， 2 2 y0 ，设AB：y- 2 2 y0= k x-a + b a + b a + b a2 x ，PQ：y- y =+ b2 0 0
- 1 x- xk 0
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2b2kx a2 k2- 1 y 2 20 0
两者联立得 yQ= 2 2 2 + 2 2 2 +
b y0 = 2a ky，x 0 +
k + 1 a + b k + 1 a + b a2+ b2 Q k2+ 1 a2+ b2
b2 1- k2 x a20 x0
k2 2 2
+
+ 1 a + b a2+ b2
a2x 2 2 2 2- 0 = 2a ky0 + b 1- k x0 = 2a y0tanθ + b
2x0 1- tan2θ
则 xQ a2+ b2 k2+ 1 a2+ b2 k2+ 1 a2+ b2 tan2θ+ 1 a2+ b2 tan2θ+ 1 a2+ b2
2a2= y0sinθcosθ b
2
+ x0 cos
2θ- sin2θ = a
2y0 b2x0
2 2 2 2 2 2 sin2θ+ 2 2 cos2θa + b a + b a + b a + b
2 2 2 2 2
- b y0 = 2b kx0 + a k - 1 y0 = 2b x0tanθ
2 2
yQ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +
a y0 tan θ- 1
a + b k + 1 a + b k + 1 a + b tan θ+ 1 a + b tan2θ+ 1 a2+ b2
= 2b
2x0sinθcosθ a
2
+ y
2
0 sin θ- cos2θ = b
2x0 a2ysin2θ- 02 2 2 2 2 2 2 2 cos2θa + b a + b a + b a + b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴ xQ- a x02+ 2 + y -
b y0 = a y0Q 2+ 2 2+ 2 sin2θ+
b x0
2+ 2 cos2θ +
b x0
2+ 2 sin2θ-
a y0
a b a b a b a b a b a2+ b2 cos2θ
4 2
= b x0+ a
4y2 b2 a2b2- a2 20 = y0 + a
4y2 a2 b4+ y2 2 20 = 0 a - b
a2+ b2 2 a2+ b2 2 a2+ b2 2
(x- a)2 2
当椭圆方程变为 2 +
y
2 = 1时，椭圆向右平移了 a个单位，圆心也应向右平移了 a个单位，而半径a b
a2 m- a b2 + a n ab
2+ a2m b2n
不变。故此时圆心的坐标为
a2
，即，
+ b2 a2+ b2 a2+ b2 a2+ b2 ，半径的平方仍为
a2 b4+ y20 a2- b2
。
a2+ b2 2
ab2+ a2m 2 b2n 2 a2 b4 2 2 2∴ - + - =
+ y0 a - b Q点的轨迹方程为 xQ 2 2 y+ Q 2+ 2 2+ 2 2 x≠m且 y≠n 。a b a b a b
72.如果一个椭圆短半轴长为 b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为 d1、d2，那么
(1)d1d2= b2，且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相切.
(2)d 21d2> b ，且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相离，
(3)d d < b21 2 ，或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.
: + + = = C-Ac C+Ac C
2 2 2
【证明】设L Ax By C 0，则 d1 ，d2= ∴ =
-A c
d d
A2+B2 A2+ 1 2B2 A2+B2
将L代入椭圆方程得： A2a2+B2b2 y2+ 2BCb2y+ b2C 2-A2a2b2= 0，Δ= 4a2b2A2 A2a2+B2b2-C 2
Δ< 0 A2a2+B2b2-C 2< 0 A2+B2 b2+A2c2-C 2< 0 C 2-A2c2> A2+B2 b2> 0
d1d 22> b 直线L和椭圆相离，且F1、F2在L同侧。
d1d2= b2 直线L和椭圆相切，且F1、F2在L同侧。
d 21d2< b 直线L和椭圆相交，或F1、F2在L异侧。
2 y2
73.AB x是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、a b
x2 4y2D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是
a2
+ 2 = 1(y≠ 0).b
b b 1 1 1 sinφ
【证明】由 35：yC= sinφ 1+ cosφ ，yD= sinφ 1- cosφ ∴ y = + = +M yC yD b 1+ cosφ
sinφ = 2
b 1- cosφ bsinφ
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bsinφ x + a y x2 4y2∴ y = M = MM 2 由 2a y 得 xM= acosφ，消去参数 φ得M点的轨迹方程为： 2 + = 1 y≠ 0 D a b2
74. P(x y ) x
2
+ y
2 2 2
设点 0， 0 为椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)
x y
的内部一定点，AB是椭圆 2 + 2 = 1过定点P(x0，y0)a b a b
a2b2- (a2y2+ b2x20 0)
的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时 (|PA| |PB|)max= 2 .当弦ABb
2 2
(| | | |) = a b - (a
2y2+ b20 x20)
垂直于长轴所在直线时， PA PB min 2 .a
b2x20+ a2y20- a2b2 a2b2- b2x20+ a2y20
【证明】由 43： PA PB = 2 2 2 = 。当 θ= 0即AB与椭圆长轴平行b cos θ+ a sin2θ b2+ c2sin2θ
时，
a2b2- b2 2 = x0+ a
2y20
PA PB max 2 ；当 θ=
π
2 即AB与椭圆短轴平行时， PA PB b min
=
a2b2- b2x2+ a2y20 0
a2
75.椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
【证明】同 7。
76.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.
【证明】同 8。
77.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+ c与 a- c.
【证明】由 8可知，F2处的切线长 F2T = a+ c- 2c= a- c，同理可证P在其他位置情况。
78.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a- c.
【证明】 76图
76.如图，由切线长定理PS=PT，PS+PT=PF1+PF2-F1S-F2T=PF1+PF2-F1Q-F2Q= 2a-
2c，所以PS=PT= a- c
79.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率).(注:在椭圆
焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
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【证明】 77图
c2+ cosφx c + c c- x
设P acosφ，bsinφ ，由 79 M a M中得到的内点坐标和 22中的焦半径公式： PF =1 a+ ccosφ
= e， PF2
c- c
2cosφ
= aa- ccosφ = e
80.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
∵ ∠ ∴ MF1 = NF1 MF2【证明】 MN平分 F1MF2 MF NF NF =
MF1 MF
NF ，同理F2I平分∠MF2N∴
MI = 2 =
2 2 2 1 NI NF2
MF1+MF2
NF +NF =
2a 1
1 2 2c
= e
81.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
cosφ sinφ
【证明】设P acosφ，bsinφ ，则∠F1PF2外角平分线(即切线) l: a x+ y= 1，由此得外点b
N acosφ，0
sinφ cosφ c2 2
同理∠ ': c cosφF1PF2内角平分线(即法线) l x- a y- sinφcosφ= 0，由此得内点M a ，0b ab
∴ c
2cosφ
x aM xN= a cosφ = c
2
82.椭圆焦三角形中，椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成
比例.
c2 - cosφ c
2cosφ a
【证明】由 79中得到的内外点坐标可得：c c a = a cosφ - c ，即证。
83.椭圆焦三角形中，半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成
比例.
c2cosφ
【证明】由 79 a a中得到的内外点坐标可得：cosφ c- a = c cosφ - c ，即证。
84.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线，则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半
径所在直线平行.
【证明】同 5。
85.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线，则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半
轴的长.
【证明】同 5。
86.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线，垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆
和椭圆长轴为直径的圆的切点.
【证明】由 5，7即证。
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87.椭圆焦三角形中，非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e.
cosφ
cosφ sinφ
【证明】设P acosφ，bsinφ ，则∠F1PF a2外角平分线(即切线) l: a x+ y= 1，tanβ=-b sinφ =
b
- batanφ
由 50 π得：tan 2 -
bcsinφ csinφ
α = cotα= 2 = ，tanα= bb b csinφ 则
b2 b2c2sin21 φ 2 2
cos2α 2tan2α+ 1 tan β+ 1 a2 2 + 1 + c sin φtan φ a2tan2φ b2e2cos2φ+ c2sin2= = = = = φ
cos2β 1 tan2α+ 1 b2 + b21 + c2sin2φ b2+ c2sin2φtan2β+ 1 c2sin2φ
2 2 2 2 2
= b e - b e sin φ+ a
2e2sin2φ 2 2= b e + c
2e2sin2φ
2 2 2 2 2 2 = e
2 cosα = e
b + c sin φ b + c sin φ cosβ
88.椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.
【证明】由 4即证。
89.椭圆焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
【证明】同 4。
90.椭圆焦三角形中，过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两
焦点.
【证明】由 71：y bC= sinφ 1+ cosφ y =
b
，D sinφ 1- cosφ ，F1 -c，0 ，F2 c，0
b2 1- cos2φ 2∴ = + - - = ∴ = + - - b 1- cos
2φ
CF1 F1D a c a c 2 0同理： CF2 F2D a c a c =sin φ sin2φ
0
∴CF1⊥F1D，CF2⊥F2D，即两焦点在以两交点为直径的圆上。
x2 y291.已知椭圆 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0) (
b b
包括圆在内)上有一点P，过点P分别作直线 y= x及 y=- x
a b a a
的平行线，与 x轴于M，N，与 y轴交于R，Q.O为原点，则：
(1)|OM |2+ |ON |2= 2a2；
(2)|OQ|2+ |OR|2= 2b2.
【证明】设P acosφ，bsinφ ，则 l1:y- bsinφ= ba x- acosφ
b
y= a x+ b sinφ- cosφ
b cosφ- sinφ 2
同理 l2:y=- ba x+ b sinφ+ cosφ ∴ OM
2= = a2 b cosφ- sinφ
2= a2 1- sin2φ
a
同理 ON 2= a2 cosφ+ sinφ 2= a2 1+ sin2φ ∴ OM 2+ ON 2= a2 1+ sin2φ + a2 1- sin2φ = 2a2
同理 OQ 2+ OR 2= b2 1+ sin2φ + b2 1- sin2φ = 2b2
92.过平面上的P点作直线 l1:y= ba x及 l2:y=-
b
a x的平行线，分别交 x轴于M，N，交 y轴于R，Q. (1)若
2 2
|OM |2+ |ON |2= y2a2 x，则P的轨迹方程是 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0). (2)若 |OQ|
2+ |OR|2= 2b2，则P的轨
a b
x2 + y
2
迹方程是 2 2 = 1(a> 0，b> 0).a b
b b b b
【证明】设P x0，y0 ，则 l1:y= a x+ y0- a x0，l2:y=- a x+ y0+ a x0
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b 2
∴ 2= a
x0- y0 = bx0- ay0
2 b
2 ax0+ y0
2 bx
OM ON = = 0
+ ay0 2
b ，b b b a a
2 2 2 2
∴ bxOM 2+ ON 2= 0
- ay0 2+ bx0+ ay0
2 2 b x + a y
= 0 0 = 2a2b b b2
2 b 2 2 2OQ = x - y OR 2= b x + y ∴ OQ 2+ OR 2= b x - y + b
2
同理： a 0 0 ， a 0 0 a 0 0 a x0+ y0 =
2
2 b x2+ y2 = 2b2a2 0 0
x2 y2
均推出P点的轨迹方程为 2 + 2 = 1。a b
2 y2
93.点P x为椭圆
a2
+ 2 = 1(a> 0，b> 0) (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P引 x轴、y轴的b
平行线，交 y轴、x轴于M，N，交直线 y=- ba x于Q，R，记△OMQ与△ONR的面积为S1，S2，则：
S +S = ab1 2 2 .
【证明】∵P x，y ，PMQ x轴，PNR y轴∴M 0，y ，N x 0 Q - a，， y，yb ，R x
b
，- a x
2
∴S = 1 y a ayy= 1 S = 1 x b x= 1 bx
2 2 2 2 2
1 2 2 ， 2 2 a 2 a ∴S +S =
1 ay
1 2 2 + bx = ab x +
y = ab
b b b a 2 a2 b2 2
94.点P b为第一象限内一点，过P引 x轴、y轴的平行线，交 y轴、x轴于M，N，交直线 y=- a x于Q，R，
2 y2
记△OMQ与△ONR ab x的面积为S1，S2，已知S1+S2= 2 ，则P的轨迹方程是 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0).a b
2 2
【证明】设P x0，y0 ，则 xQ=- a y ，y =- b
ay bx
x ∴S +S = 1 0 + 0 = ab 由此得P点的轨迹方
b 0 R a 0 1 2 2 b a 2
x2 y2
程为 2 + 2 = 1。a b
2
95. 2b过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为 a ，过焦点最长弦为长轴．
96.过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b.
2 2 2 2
97. x与椭圆 2 +
y
2 =
y
1(a> b> 0) x有共焦点的椭圆方程为 2 + 2 = 1 (a> b> 0，λ>-b
2)．
a b a + λ b + λ
y2 2 2 2
98. x与椭圆 2 + 2 = 1( > > )
y
a b 0 x有共焦点的椭圆方程为 2 + 2 = 1 (a> b> 0，λ>-b
2)．
a b a + λ b + λ
99.焦点三角形：椭圆上的点P (x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若 r1= |PF1|，r2
= |PF2|，∠F1PF2= θ，△PF1F2的面积为S，则
x2 y2
在椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)中：a b
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①当 r1= r2时，即点P为短轴端点时，θ最大；
r2+ r2- 4c2= 1 2 r1+ r
2
2 - 2r 2 2 2 2 2 2 2 2cosθ 1r2- 4c 4b2r r = 2r r = 2r r - 1=
2b - 1≥ 2b 2b - a b - cr + r 2 - 1= 2 = 2
1 2 1 2 1 2 r1r2 1 22 a a
当且仅当 r1= r2时，等号成立.
②S= 12 |PF ||PF
sinθ 2 2 θ
1 2|sinθ= c|y0| = + b = b tan 2 ，当 |y0| = b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，1 cosθ
最大值为 bc；
③△PF1F2的周长为 2(a+ c)．
100.AB 1 1 2a为过F的焦点弦，则 + =
FA FB b2
【证明】
y
A M
b
D
O F C E x
N
B
x2 y2
2 + 2 = 1(a> b> 0)a b
由△ACF △BDF AF CF，BF = DF =
FE-CE
BN-FE
2 2
EF= ac - c=
b
c 看成 p，
AM= AF
由椭圆第二定义知： e BN= BFe
AF
∴ AF FE-CE
p- e ep-AF
BF = BN-FE = BF =- p BF- epe
去分母，得：2AF BF= ep AF+BF
∴ 1 + 1 = 2 = 2 2a
FA FB ep c b2
=
b2a c
2 y2
101. l C : x直线为椭圆 2 + 2 = 1 a> b> 0 的切线，焦点 F1，F2到切线的距离分别为 d1，d2，则有结论：a b
d d = b21 2
y
d1
d2 l
F1 O F2 x
【证明】设切点为 x0，y0 ，利用替换法则可以快速求出切线方程为 b2x x+ a20 y0y= a2b2
于是左右焦点到直线的距离分别为
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2
= -b x0c- a
2b2 = b
2x0c- a2b2 d1 ，d
b4x2+ a4y2 2 40 0 b x20+ a4y20
= a
4b4- b4x2 2
d d 0
c
则 1 2 b4x2+ a4y20 0
因为 b2x x+ a2y y= a2b2和 a2= b2+ c20 0
a4b4- b4x2c2 a4b2- a2b2x2= 0 = 2 0+ b
4x2
d d b 0
= b21 2 b4x2 4 2 40+ a y0 b x2+ a4b20 - a2b2x20
2 2
102.已知椭圆 Γ: x2 +
y
2 = 1 a> b> 0 的左右焦点分别为F1、F2.椭圆 Γ在点P处的切线为 l，Q∈ l.且满a b
足∠AQF1= θ 0< θ< π2
a
，则点Q在以C 0，±ccotθ 为圆心，为半径的圆上.
sinθ
Q y
θ
P
F1 O x
2 2 2 2
103. x椭圆C : 2 +
y = 1 a> b> 0 Γ: x - y2 与双曲线 2 2 = 1 a> 0，b> 0 的公共焦点分别为 F1，F2，Pa1 b1 a2 b2
b2- b2
为两条曲线的一个焦点，则 cos∠F PF 1 21 2= b21+ b22
【证明】
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六、双曲线的二级结论
1. PF1 - PF2 = 2a
【证明】双曲线第一定义。
x2 y22.标准方程 -
a2 b2
= 1
【证明】由定义即可得双曲线标准方程。
PF1 3. = e> 1
d1
【证明】双曲线第二定义。
4.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
【证明】设P(x0，y0)在第一象限，切线PT (即 l)的斜率为 k，PF1所在直线 l1斜率为 k1，PF2所在直线 l2
k - k
斜率为 k2，PF PT
1 2
1与的夹角为 α，PF2与PT的夹角为 β。由两直线夹角公式 tanθ= + 得：1 k1k2
y0 b2x0
= k- k
- 2 2 2
1 x + c = 0 a y0 = b x0- a2y20+ b2x 2 2 2 2 2tanα 0c a b + b cx0 b a + cx0 1+ kk b2x y a2 = = =1 1+ 0 0 x0y0+ a2cy 2 20+ b x0y0 c x y 2 20 0+ a cy0 cy0 a + cx0
a2y0 x0+ c
b2
c y0
b2x0 - y0k- k a2y x0- c 2 2= 2 = 0 = b x0- a2y2- b2x 2 2 2 2 2tanβ 0 0c1+ kk2 + b2x0 y0 a2x y - a2cy + b2x y = a b - b cx0 b a - cx0 c2 = =1 0 0 0 0 0 x0y0- a2cy 0 cy0 a2- cxx - c 0 a2y0 0
b2
c y0
∵ α π，β∈ 0，2 ∴ α= β同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的内角。
5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实
轴的两个端点.
【证明】不妨设P在第一象限。作F2关于切线PT的对称点M，由 4可知M在PF1上，则F1M=PF1-
PF2=
FM
2a，垂足H F 1为 2M的中点，则OH= 2 = a，同理可证其它情况。射影H的轨迹是以实轴为直
径的圆除去两端点。
6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
【证明】6.设P，Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为 d1，d2，以PQ中点到准线的距离为 d，以PQ
= d1+ d2 = PF+FQ r为直径的圆的半径为 r，则 d 2 2e = e < r，故以PQ为直径的圆与对应准线相交。
7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
= = PF2 = 2a+ PF 【证明】7. 1如图，两圆圆心距为 d OM 2 2 = a+
PF1
2 = a+ r，故两圆外切。
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7图
8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.
【证明】 8图
8.如图，由切线长定理： F1S + F1T = PF1 - PF2 + F1F2 = 2a+ 2c， F1S = F1T = a+ c
而 F1T = a+ c= F1A2 ，T与A2重合，故内切圆与 x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。
9. x
2 y2
双曲线 2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)的两个顶点为A1(-a，0)，A2(a，0)，与 y轴平行的直线交双曲线于a b
2 y2
P1、P2时A1P1与A2P
x
2交点的轨迹方程是 + = 1.a2 b2
btanφ
【证明】9.设P1 asecφ，btanφ ，P2 asecφ，-btanφ ，则A1P1:y= x+ a ，A2P2:y=a secφ+ 1
btanφ
x- a
a 1- secφ
2 y2
则 xP= acosφ，y= bsinφ∴P x点的轨迹方程为 2 + = 1a b2
2 y2( x x y y10.若点P0 x y ) x - = 1(a> 0 b> 0) P 0 00， 0 在双曲线 2 2 ，上，则在点 0处的切线方程是 2 - = 1.a b a b2
【证明】证明一:
2 2
∵P0(
y
x0，y
x
0)在双曲线 a2
-
b2
= 1上
∴ x
2 2
0 - y0 = 1 x
2 2
- y = 1 2x

2 2 ，对 2 2 求导得： 2 -
2yy
a b a b a b2
= 0

2x 2y y
将P (x y ) 0 0 00 0， 0 代入得：a2
- = 0
b2
2
∴ y = b x0
a2y0
2 2 2
∴切线方程为 y- y0=
b x0 - x x y0y x y02 x x0
0 0
即 2 - 2 = 2 - 2 = 1a y0 a b a b
证明二:
第 39页共 68页
2 y2
11.若P0(x y x0， 0)在双曲线 2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点a b
x x y y
弦P1P
0 0
2的直线方程是 a2
- 2 = 1.b
【证明】11.设P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 ，
x x
10 0 1 - y0y1 = x0x2 y0y1 2由得： 2 2 ， 2 - 2 = 1，a b a b
x0x y0y
因为点P1，P2在直线P1P2上，且同时满足方程 2 - 2 = 1，a b
: x0x y0y所以P1P2 - = 1a2 b2
x2 y212.若AB是双曲线 2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则 ka b OM

k b
2
AB= 2 .a
【证明】证明一: 点差法
设A x1，y1 ，B x2，y2 ，M x0，y0
则有
x2 2
1
y1
2 - 2 = 1 ①a b
x2 22 - y2 = 1 ②a2 b2
2
- x1- x
2
2 - y
2
1- y22
① ②作差得： = 0
a2 b2
x1- x2 x1+ x2 - y1- y2 y1+ y2 2 2 = 0a b
= y1- y2 = b
2 x 2 2
k 1
+ x2 b x0 b
AB x - x a2
= =
1 2 y + y a21 2 y0 a2kOM
b2 kAB kOM= a2
2 y2 x x y y
13. x 0 0若P0(x0，y0)在双曲线 2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是a b a2
- =
b2
x2 y20 0
a2
- 2 .b
b2x
【证明】由 12 0可得：y- y0= 2 x- x0 a
2y 2 2 2 2 2
a y 0
y- a y0- b x0x+ b x0= 0
0
2 2
b2x x- a2y y= b2x2- a2 x x0 0 0 y2 00 2 -
y0y = x02 2 -
y0
a b a b2
2 y2 2 2
14.若P0(x x0，y0)在双曲线 2 - = 1(a> 0，b> 0)
x y x0x
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 - = -
a b2 a2 b2 a2
y0y .
b2
y- y0 y b2
【证明】14..由 12可得： = a2y2- a2 2x- x x 2 y0y- b x
2+ b2x0x= 0
0 a
2 2
b2x2- a2y2= b2x x- a2 y x x y y0 y0y x 0 0a2
- = -
b2 a2 b2
2 y2
15.若PQ x 1 1 1 1是双曲线 2 - 2 = 1(b> a> 0)上对中心张直角的弦，则 2 + 2 = 2 - 2 (r1= |OP|，r2=a b r1 r2 a b
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|OQ|).
btanβ
【证明】15.设P asecα，btanα ，Q asecβ，btanβ ，则 kOP kOQ= btanαasecα =-1∴ sinαsinβ=asecβ
2
- a
b2
1 + 1 = 1 1 cos
2α cos2β
r2 r2 a2sec2α+ b2 2
+ = +
1 2 tan α a2sec2β+ b2tan2β a2+ b2sin2α a2+ b2sin2β
a2cos2α+ b2sin2βcos2= α+ a
2cos2β+ b2s

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圆锥曲线基础知识手册（PDF版）

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