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奥数思维拓展-追及问题（试题）-小学数学五年级上册人教版
一、解答题
1．小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？
2．甲从A出发，每分钟走50米，甲出发30分钟后，乙也从A出发，去追甲，乙每分钟走80米。那么乙出发多长时间后追上了甲？
3．A、B两地相距260米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行（甲是往B方向出发的）。已知甲每秒钟走5米，乙每秒钟走3米，那么甲出发多长时间后可以追上乙？
4．一架飞机从甲地开往乙地，原计划每分钟飞行9千米，现在按每分钟12千米的速度飞行，结果比原计划提前半小时到达，甲、乙两地相距多少千米？
5．一列快车全长米，每秒行米；一列慢车全长米，每秒行米。
（1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？
（2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？
6．甲乙两人同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时25千米，请问：
（1）出发多长时间，甲第一次追上乙？
（2）出发多长时间，甲第二次追上乙？
7．甲乙两人分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时21千米，乙骑车的速度是每小时9千米，问出发多长时间，甲第一次追上乙？再过多长时间甲第二次追上乙？
8．甲、乙两船分别从A港逆水而上，静水中甲船每小时行15千米，乙船每小时行12千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，乙离开A港多少千米？
9．静水中甲乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米，两船先后自港口顺水开出，乙比甲早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙？
10．甲、乙两船分别从A港顺水而上，静水中甲船每小时行18千米，乙船每小时行15千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，乙离开A港多少千米？
11．静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？
12．静水中甲、乙两船的速度分别是每小时24千米和每小时20千米，两船先后从某港口逆水开出，乙船比甲船早出发2小时，若水速是每小时2千米，问甲船开出后几小时可以追上乙船？
13．暑假里飞飞与爸爸到海上公园划船，他们沿海向上游划行，一阵风吹来，飞飞的太阳帽被刮到身后，当他们发现并调过船头时，帽子与船已经相距600米，假定小船在静水中的速度是每分钟100米，水流速度是每分钟30米，那么，父子俩追回太阳帽要多长时间？
14．甲火车从后面追上到完全超过乙火车用了60秒，甲火车长180米，车速是每秒25米，乙车速是每秒17米，乙火车长多少米？
15．甲火车长190米，每秒钟行19米，乙火车长220米，每秒钟行24米，两车同向行驶。问：乙车从追上甲车到完全超过共需多少秒钟？
16．当甲在60m赛跑中冲过终点线时，比乙领先10m，比丙领先20m。如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，将比丙领先几米？
17．狗、兔进行 3000m 赛跑，狗离终点还有 500m 时，兔离终点还有 1000m，如果速度不变，当狗到终点时，兔离终点多少米？
18．甲从A，乙从B逆时针方向行走，甲速度65米/分，乙速度72米/分，正方形ABCD的边长为90，米，求乙第一次追上甲在哪条边上？
19．小轿车每小时比面包车每小时多行6千米，它们同时同地出发，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已超过城门9千米，求出发点到城门的距离．
20．甲的速度比乙的速度每小时快6千米，当甲到终点时乙还要10分钟，当乙到终点时，甲已行了9千米，求路程．
21．小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫．出发16分钟后，妈妈发现小巧把学习资料袋忘在家里了，于是骑车以185米/分的速度去追．已知小巧家与少年宫之间的路程是1800米，妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？
参考答案：
1．7：25
【分析】先求出小钱后面从家到学校需要的时间，再减去原来追上一直匀速步行的小塘的那一段路的时间，就可以得到从追上小塘那里开始到学校小钱需要花的时间，然后再求出小塘从那里开始到学校所花的时间，就可以得到同样的路程小塘用的时间是小钱的几倍，进而可以求出小塘从家到学校的时间。
【详解】原来小钱的速度∶现在小钱的速度＝1∶2
原来用的时间：现在用的时间＝2∶1
7时46分－7时40分＝6（分钟）
取马克笔路上用的时间：6÷2＝3（分钟）
小钱在路上的时间：8时－7时40分－6分＝14（分钟）
拿好笔回学校的时间：14－6－3＝5（分钟）
第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5－3＝2（分钟）
从第一次遇见小塘到学校的时间：8时－7时46分＝14（分钟）
14÷2＝7（分钟）
5×7＝35（分钟）
8时－35分＝25（分钟）
小塘从家里出发的时间：7：25
答：小塘是7：25从家里出发的。
【点睛】此题需要学生读懂题意，缕清思路，逐步分析。
2．50分钟
【分析】甲早出发30分钟，当乙出发时，甲已经走了米。乙每分钟走80米，乙每分钟追上甲米，那么经过分钟，乙会追上甲。
【详解】（米）
（米）
（分钟）
答：乙出发50分钟后追上了甲。
【点睛】本题考查追及问题，用两人的距离差除以速度差即可求出追及时间。
3．130秒
【分析】从出发到追上，甲、乙的路程差是A、B两地的全程即260米，速度差是米/秒，所以追及时间是秒。
【详解】（米）
（秒）
答：甲出发130秒后可以追上乙。
【点睛】本题考查追及问题，用两人的距离差除以速度差即可求出追及时间。
4．1080千米
【分析】速度×时间=路程，那么可用原计划每分钟飞行9千米乘30分钟即可得到原计划比现在慢飞行的路程，然后再用慢飞行的路程除以现在每分钟比原计划每分钟快飞行的速度可得到现在飞行所需要的时间，最后再用现在飞行的时间乘现在飞行的速度即可得到甲、乙两地相距的距离．
【详解】（30×9）÷（12﹣9）×12
=270÷3×12
=90×12
=1080（千米）
答：甲、乙两地相距1080千米．
5．（1）19秒；（2）171秒
【分析】（1）这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和。据此根据相遇时间＝路程和÷速度和求解即可；
（2）这个一个超车过程，即追及问题。路程差为两车的车长和，根据追及时间＝路程差÷速度差求解即可。
【详解】（1）（250＋263）÷（15＋12）
＝513÷27
＝19（秒）
答：两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒。
（2）（250＋263）÷（15－12）
＝513÷3
＝171（秒）
答：从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒。
【点睛】利用相遇、追及公式巧解火车行程问题。理解掌握公式相遇时间＝路程和÷速度和，追及时间＝路程差÷速度差。
6．（1）36小时；（2）72小时
【分析】两人从同一地点出发的追及线段图如下：
由图可知，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全程；以后每两个相邻追及之间，两人的路程差也是2个全程。据此解答本题即可。
【详解】（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全程，所以时间是：
2×90÷（30－25）
＝2×90÷5
＝36（小时）
答：出发36小时，甲第一次追上乙。
（2）从出发到第二次追上，路程差是4个全程，所以时间是：
4×90÷（30－25）
＝4×90÷5
＝72（小时）
答：出发72小时，甲第二次追上乙。
【点睛】解答此类问题，要读懂题意，画出线段图，帮助理解。一般地，两人从某地同时出发，同向而行，在两地之间不断往返，相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全长。
7．5小时；10小时
【分析】如图：
从线段图很容易可以发现：甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是1个全程；甲第二次追上乙时，甲和乙的路程差是3个全程；据此用追及时间=追及路程÷速度差解答即可。
【详解】由分析可得：第一次追上，两人的路程差是1个全程，时间：
60÷（21－9）
＝60÷12
＝5（小时）
从第一次追上到第二次追上，两人的路程差是2个全程，时间：
2×60÷（21－9）
＝2×60÷12
＝10（小时）
答：出发5小时，甲第一次追上乙，再过10小时甲第二次追上乙。
【点睛】解答此类问题最基本的方法就是画线段图，寻找相同时间内的路程关系。解答本题要明确，两人从两地出发，每相邻的两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全程。
8．72千米
【分析】先求出乙船逆水行驶2小时的路程，再由追及时间＝路程÷速度差求出甲船追上乙船的时间，再根据路程＝逆水速度×时间，求出甲船行驶的路程，就是乙船的离岗距离。
【详解】乙船出发2小时的路程：
（12－3）×2
＝9×2
＝18（千米）
甲船追上乙船所用时间：
18÷（15－12）
＝18÷3
＝6（小时）
乙船行驶总路程：
（15－3）×6
＝12×6
＝72（千米）
答：当甲船追上乙船时，乙船离开A港72千米。
【点睛】本题考查追及问题，关键是理解并灵活运用公式：逆水船速＝静水船速－水速，追及时间＝路程÷速度差，路程＝速度×时间。
9．11小时
【分析】先求出乙船顺水开出2小时行驶的路程，再根据追及问题求出甲船追上乙船的时间。
【详解】（18＋4）×2÷（22－18）
＝22×2÷4
＝11（小时）
答：甲开出11小时可追上乙。
【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题：
顺水速度＝静水船速＋水速
逆水速度＝静水船速－水速
追及时间＝路程÷速度差
10．252千米
【分析】此题为追及问题，追及时间＝路程÷速度差，要求追及时间，需要知道甲船开始出发时与乙船的距离和两船的速度差，两船距离是乙船顺水行驶2小时的路程，即（15＋3）×2＝36（千米），因为都是顺水行驶，速度差为18－15＝3（千米/小时），据此求出追及时间，再将甲船的顺水速度乘以追及时间求出甲船行驶的路程，就是乙船离开A港的距离。
【详解】甲船追上乙船所用时间：
（15＋3）×2÷（18－15）
＝18×2÷3
＝36÷3
＝12（小时）
乙船离开A港的距离：
（18＋3）×12
＝21×12
＝252（千米）
答：甲船追上乙船时，乙离开A港252千米。
【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，易错点是求乙船离开A港的距离不能直接用追及时间乘以乙船的顺水速度求出，还需再加上乙船早出发2小时行驶的路程，或者用甲的顺水速度乘以追及时间。关于流水行船问题：
顺水速度＝静水船速＋水速
逆水速度＝静水船速－水速
追及时间＝路程÷速度差
相遇时间＝路程÷速度和
11．11小时
【分析】乙船先开出的2小时行驶了（18＋4）×2＝44（千米），即甲船开出时，两船相距44千米，因两船均是顺水行驶，所用甲船每小时比乙船多行驶22－18＝4（千米/小时），用两船距离除以速度差，就是甲船追上乙船所用时间。
【详解】（18＋4）×2÷（22－18）
＝22×2÷4
＝44÷4
＝11（小时）
答：甲船11小时可以追上乙船。
【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题：
顺水速度＝静水船速＋水速
逆水速度＝静水船速－水速
追及时间＝路程÷速度差
12．9小时
【分析】先求出乙船比甲船早出发的2小时内行驶的路程，由于是逆水行驶，实际船速＝静水船速－水速，路程＝实际船速×时间；再求甲船开出追乙船的过程中的速度差，由于都是逆行，所以每小时甲船比乙船多行驶24－20＝4（千米/小时）；最后根据追及时间＝路程÷速度差即可得解。
【详解】（20－2）×2÷（24－20）
＝18×2÷4
＝9（小时）
答：甲船开出后9小时可以追上乙船。
【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是理解并掌握公式：逆水船速＝静水船速－水速，追及时间＝路程差÷速度差。
13．6分钟
【分析】根据“他们沿海向上游划行”知飞飞和爸爸在逆水划行，因此掉过头追帽子的过程是顺水划行，船的顺水速度＝船速＋水速，而帽子也在随水速移动，故此时追及速度＝船的顺水速度－水速，再根据时间＝路程÷速度，即可求解。
【详解】600÷（100＋30－30）
＝600÷100
＝6（分钟）
答：父子俩追回太阳帽要6分钟。
【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，解题关键是明确是逆水行船还是顺水行船，逆水船速＝船速－水速，顺水船速＝船速＋水速，追及时间＝路程差÷速度差。
14．300 米
【分析】甲火车从后面追上到完全超过乙火车的路程差是甲、乙两列火车的车长之 和，还知道追及时间是60 秒，甲、乙两列火车的速度差25—17＝8（米/ 秒）， 根据追及问题的基本公式路程差＝追及时间×速度差，即可求出甲、乙两列火车车长之和，再减去甲车的车长就可以求出乙车的车长。
【详解】60×（25—17）—180
＝60×8—180
＝300（米）
答：乙火车长 300 米。
【点睛】本题主要考查了火车行驶的追及问题，关键是要理解追及问题的基本公式：路程差＝追及时间×速度差。
15．82 秒
【分析】乙车在后面追上甲车到完全超过甲车时追及长度为甲车车长加上乙车车身的长度，即 190＋220＝410米，也就是乙车追甲车的路程差，又知两车的速度差是24—19＝5（米/ 秒），根据追及问题的基本公式追及时间＝路程差÷速度差，即可求出。
【详解】（190＋220）÷（24—19）
＝410÷5
＝82（秒）
答：乙车追上甲车到完全超过共需82秒。
【点睛】本题主要考查了火车行驶的追及问题，关键是要能够理解追及时间＝路程差÷速度差。
16．12米
【分析】先求出乙和丙的速度比，再根据速度比列出比例解答即可。
【详解】乙和丙的速度比为（60－10）∶（60－20）＝5∶4
解：设乙到达终点时，比丙领先x m。
5∶4＝10∶（20－x）
5（20-x）=40
100-5x=40
5x=60
x＝12
答：将比丙领先12米。
【点睛】本题考查了比例应用题，求出乙和丙的速度比是关键。
17．600米
【详解】相同的时间,狗跑3000-500=2500（米）
兔子跑 3000-1000=2000（米）
狗和兔子的路程比是2500:2000=5:4
速度比是5:4，所以兔子的速度是狗的
兔子再跑: 500×4÷5=400（米）
还差1000-400=600（米）
答：当狗到终点时，兔离终点600米。
18．cd边上或ad边上
【详解】甲乙开始的距离（此处距离要分类讨论，最好作图）除以甲乙的速度差，从而求出追及时间，再根据路程等于速度乘以时间算出所行路程，再算出具体是在哪条边．
（1）甲乙的路程差为90米，速度差为
所以追及时间为
分
甲所行路程约为835.7米，周长为360米，
，即两圈还多0.3圈，最终在边上．
（2）甲乙的路程差为270米，
追及时间为 分
甲所行路程为约2507米
圈，最终在ad边上．
【点睛】行程问题中的追及问题
19．72千米
【详解】先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间．此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间为（小时）．小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是（千米），面包车速度是：（千米/小时）．城门离出发点的距离是，计算即可．
10分钟＝小时
当面包车到达城门用的时间是：
（小时）．
小轿车的速度是：
（千米/小时），
面包车的速度是：
（千米/小时），
城门离学校的距离是：
（千米）．
答：从出发点到城门的距离是72千米．
【点睛】路程问题、分钟与小时的换算问题
20．72千米
【详解】“当甲到终点时乙还要10分钟，当乙到终点时，甲已行了9千米”可以转化为甲十分钟行了9千米，甲的速度是千米/时；乙的速度是千米/时．
甲到达终点的时间是小时
所以路程是千米
【点睛】路程问题、分钟与小时的换算问题
21．能
【详解】追及时间：
（65×16）÷（185﹣65）
＝1040÷120
＝（分钟）
小巧在妈妈追上她时，一共走的路程：
65×16＋65×
＝1040＋563
＝1603（米）
1603米＜1800米
所以妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她。
答：妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她。
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