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绝对值的相关应用
一、 课堂目标
1．理解绝对值与平方的非负性，利用非负性求字母的值或式子的最值．
2．运用绝对值的代数意义化简绝对值．
3．运用绝对值的几何意义，表示数轴上两点之间的距离，并能够解决多个绝对值和的最小值问题．
【备注】【目标解读】
a.关联知识：有理数是整个初中数学知识的基础，有理数的概念及运算，直接影响后期式
的运算、方程运算、函数运算的学习．
b.本讲解读： 本讲重点内容是绝对值的性质和化简，本讲难点是绝对值与最值问题．
c.能力素养：培养学生数感、运算能力．
二、 知识讲解
1. 绝对值的非负性
1．任何数的绝对值都大于等于 ，即 ，也就是说绝对值具有 “ 非负性 ”．
2．任何数的平方都大于等于 ，即 ，也就是说平方具有 “ 非负性 ”．
【拓展】任何数的偶次方都是非负的，即 （其中 为偶数）．
3．非负性的常见考法
① 如果 ，则 ， ．
② 如果 与 互为相反数（也即 ），则 ， ．
经典例题1
已知 ，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ．
1
故答案为 ．
【标注】【知识点】绝对值的非负性
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习1
1. 如果 ，下列成立的是（　　）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】 即
可得 ，故选 .
【标注】【知识点】绝对值的非负性
2. 若 ，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，则 ，解得： ．
【标注】【知识点】绝对值的代数意义
经典例题2
若 ，求 的值．
【备注】【教学建议】
方法一：∵绝对值具有非负性，∴等号左边所有式子的和肯定≥0，所以说明 ，因此可
以直接化简，再利用0+0=0进行解题，就是答案中的解题过程．
2
方法二：进行分类讨论
①当 时，
化简为：
∴
②当 时，
化简为：
，
根据非负性可知不成立．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
则 ， ，
解得： ， ，
则原式 ．
【标注】【知识点】绝对值的非负性
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习2
若 ，求 的值．
【答案】 ．
【解析】 ， ， ， ， ．
【标注】【知识点】非负性的应用
经典例题3
当 时， 有最 值，是 ．
3
A. ；大； B. ；小； C. ；小； D. ；大；
【答案】A
【解析】当 时， 有最大值，是 ．
【标注】【知识点】利用绝对值求最值
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习3
有最 值，是 .
【答案】小 ;
【解析】∵ ，
∴ 有最小值 .
【标注】【知识点】利用绝对值求最值
2. 绝对值化简
1．绝对值的代数意义
也可以写成
或
2．绝对值的化简
根据绝对值的代数意义，先判断出绝对值符号里的数的正负，再化为它本身或它的相反数、完成计算．
【重要结论】
4
① 的相反数是 、 的相反数是 ．
②当 时、有 ，
当 时、有 ．
③ 反之，若 则 ，若 则 ．
【备注】【教学建议】
1．也就是说， 只可能等于 ．
2．这里要强调 ，这是因为 或 作除数、不能为 ．
3．此处可以让学生简单说一下结论③为什么成立，请教师用分类讨论的思路来引导．
经典例题4
1. 若 ，则下列结论正确的是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D.
【答案】D
【解析】 ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知范围化简绝对值
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
2. 若 ， ．
【答案】
【解析】由题可知： ， ， ，原式= ．
【标注】【知识点】已知范围化简绝对值
思路梳理
5
知识点：
1、
2、
3、
3. 若 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
原式 ．
【标注】【知识点】绝对值的非负性
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习4
1. 如图，观察表示 ， 的点在数轴上的位置，化简 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由数轴可知， 且 ， 且 ，
则 ， ，
所以
．
故选 ．
【标注】【知识点】结合数轴化简绝对值
6
2. 如果 ，则 ．
【答案】
【解析】当 时， ， ，
原式 ．
【标注】【知识点】已知范围化简绝对值
3. 若 ，则 ．
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】已知范围化简绝对值
4. ．
【答案】
【解析】
．
【标注】【知识点】绝对值的非负性
经典例题5
在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想
解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
【解决问题】
解：由题意，得 ， ， 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
7
① ， ， 都是正数，即 ， ， 时，则
；
②当 ， ， 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 ， ， ，则
．
综上所述， 值为 或 ．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（ 1 ）三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
（ 2 ）若 ， ， 为三个不为 的有理数，且 ，求 的值．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ， ， 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当 ， ， 都是负数，即 ， ， 时，
则： ；
② ， ， 有一个为负数，另两个为正数时，设 ， ， ，
则 ．
（ 2 ）∵ ， ， 为三个不为 的有理数，且 ，
∴ ， ， 中负数有 个，正数有 个，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】|a|/a的化简
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习5
1.
8
若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】当 、 、 都是负数时，
， 原式 ；
当 、 、 一负二正时，
，原式 ；
所以当 时，所求代数式的值是 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】|a|/a的化简
2. 若 ，则 与 的大小关系是 ．
【答案】
【解析】略．
【标注】【知识点】绝对值的非负性
3. 已知 ， 是不为 的有理数，则 的值为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ， ，
【答案】D
【解析】原式
，
分类讨论：
当 ， 都为正时， ，
当 ， 都为负时， ，
当 ， 一正一负时， ．
故选 ．
9
【标注】【知识点】|a|/a的化简
3. 距离公式与最值问题
距离公式
1．（数轴上）两点距离公式
点 、点 分别表示数为 、 ，则点 、点 之间的距离 ．
如图，点 在点 的右边，则距离 、即用较大数减去较小数．
2．已知距离反求原数时，一定要注意分类讨论．
对数轴上的点 ，设它表示的数为 ，到它距离为 的点有两个，分别表示数 、 ．
经典例题6
1. 已知数轴上三点 、 、 分别表示有理数 、 、 ，那么 表示（ ）.
A. 与 两点的距离 B. 与 两点的距离
C. 与 两点到原点的距离之和 D. 与 两点到原点的距离之和
【答案】B
【解析】 是表示 的点与表示 的点的距离，即 与 两点的距离.
【标注】【知识点】数轴上两点间距离
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
2. 、 是数轴上的两点，且 点到原点的距离是 ；当 点与 点分别在原点的两侧，两点之间的
距离是 时， 、 两点表示的数分别是（ ）．
A. 和 或 和 B. 和 或 和 C. 和 或 和 D. 和 或 和
10
【答案】A
【解析】由题可知， 为 或 ，当 时， ；当 时， ．
【标注】【知识点】数轴上两点间距离
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习6
1. 数轴上表示数 和表示 的两点之间的距离是 ．
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】数轴上两点间距离
2. 数轴上点 对应的数为 ，那么与 相距 个单位长度的点 所对应的数是 ．
【答案】 或
【解析】由数轴可知，为 或 ．
【标注】【知识点】数轴上两点间距离
利用绝对值的几何意义解决最值问题
【常见题型】多个绝对值相加求和的最小值．
1．两个绝对值的和最小问题
【例题】求 的最小值．
【分析】
步骤一：翻译
要求式子的最小值，首先利用绝对值的几何意义将原式的几何意义翻译出来：
对应点到 与 对应点到 的距离和；
11
步骤二：画图
对应点与 对应点将数轴分成3个部分： 对应点左边， 对应点与 对应点之间， 对应点右边；
步骤三：分类讨论
①若 对应点在 的左边，则 对应点到 与 对应点到 的距离和__________ （ 、 、 ）；
②若 对应点在 和 之间，则 对应点到 与 对应点到 的距离和__________ ；
③若 对应点在 右边，则 对应点到 与 对应点到 的距离和__________ ；
也就是说 对应点到 与 对应点到 的距离和__________ ．
步骤四：总结
从而 的最小值为__________．，此时 的范围是__________．
【备注】【教学建议】
步骤三：分类讨论
①若 对应点在 对应点左边，则 对应点到 对应点与 对应点到 对应点的距离和大于
；
②若 对应点在 对应点和 对应点之间，则 对应点到 对应点与 对应点到 对应点的
距离和等于 ；
12
③若 对应点在 对应点右边，则 对应点到 对应点与 对应点到 对应点的距离和大于
；
也就是说 对应点到 对应点与 对应点到 对应点的距离和大于等于 ．
步骤四：总结
从而 的最小值为 ，此时 的范围是 ．
2． 三个绝对值的和最小问题
【例题】求 的最小值．
步骤一：翻译
要求式子的最小值，首先利用绝对值的几何意义将原式的几何意义翻译出来：
对应点到 、到 与到 的距离和；
步骤二：画图
、 与 将数轴分成 个部分： 左边、 与 之间、 与 之间、 右边；
步骤三：分类讨论
①由上例可知，若 要取最小值， 对应点不能在 左边，也不能在 右边；
所以 对应点应在 和 之间，此时 取到最小值—— 对应点到 、到 的距离和，等
于 ，原式 ；
② 对应点应在 和 之间，由图可知当 时， 即 对应点到 对应点的距离最小；
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步骤四：总结
所以 的最小值为 ，此时 的范围是 ．
【解题关键】奇中偶范．
*奇中偶范的解释：
如果有奇数个绝对值相加求和的最小值，只需将零点从高到低排列，取最中间点；
如果有偶数个绝对值相加求和的最小值，只需将零点从高到低排列，取最中间两点组成的范围．
经典例题7
根据绝对值的几何意义可知： ，它在数轴上的意义是表示 的点与原点之间的距离；又
如式子 ，它的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离，那么：
（ 1 ） 在数轴上的意义是 ．
（ 2 ） 的最小值为 ．
（ 3 ） 的最小值为 ．
【答案】（ 1 ）表示 的点与表示 的点之间的距离
（ 2 ）
（ 3 ）
【解析】（ 1 ）表示 的点与表示 的点之间的距离．
（ 2 ）当 时，原式 ，最小．
（ 3 ）当 时，原式 ，最小．
【标注】【知识点】利用绝对值求最值
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习7
1. 利用绝对值的几何意义求下列式子的最值：
（ 1 ） 的最小值为 ．
14
（ 2 ） 的最小值为 ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【标注】【知识点】利用绝对值求最值
2. 求 的最小值．
【答案】 ．
【解析】由绝对值的几何意义可知，当 时取最小值，最小值为 ．
【标注】【知识点】利用绝对值求最值
3. 利用绝对值的几何意义求 的最小值为 ．
【答案】
【解析】即求 到 ， ， ， 的距离和，由绝对值几何意义可知，当 时，原式有
最小值 ．
【标注】【知识点】利用绝对值求最值
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
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四、 出门测
1. 若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】绝对值的非负性
2. 已知 ，化简 的结果为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 可知，故 ， ，进而 ，
，故原式 ．
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【标注】【知识点】已知范围化简绝对值
3. 已知 ，则 ．
【答案】
【解析】若 ，那么 ．
【标注】【知识点】已知范围化简绝对值
4. 如果 ，则 ．
【答案】
【解析】当 时， ， ，
原式 ．
【标注】【知识点】已知范围化简绝对值
5. 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离．
【答案】
【解析】 ，
的几何意义是数轴上表示 的点与 的点之间的距离，
的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离．
【标注】【知识点】数轴上两点间距离
6. 的最小值是 ．
【答案】
【解析】根据绝对值的几何意义，原式可视为 到 ， 和 的距离和，求 到奇数个点的距离和
时，表示的 点在中间点，即 时，距离和最短，
．
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【标注】【知识点】利用绝对值求最值
18绝对值的相关应用
一、 课堂目标
1．理解绝对值与平方的非负性，利用非负性求字母的值或式子的最值．
2．运用绝对值的代数意义化简绝对值．
3．运用绝对值的几何意义，表示数轴上两点之间的距离，并能够解决多个绝对值和的最小值问题．
二、 知识讲解
1. 绝对值的非负性
1．任何数的绝对值都大于等于 ，即 ，也就是说绝对值具有 “ 非负性 ”．
2．任何数的平方都大于等于 ，即 ，也就是说平方具有 “ 非负性 ”．
【拓展】任何数的偶次方都是非负的，即 （其中 为偶数）．
3．非负性的常见考法
① 如果 ，则 ， ．
② 如果 与 互为相反数（也即 ），则 ， ．
经典例题1
已知 ，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习1
1. 如果 ，下列成立的是（　　）
A. B. C. 或 D. 或
2. 若 ，则 的取值范围是（ ）．
1
A. B. C. D.
经典例题2
若 ，求 的值．
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习2
若 ，求 的值．
经典例题3
当 时， 有最 值，是 ．
A. ；大； B. ；小； C. ；小； D. ；大；
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习3
有最 值，是 .
2. 绝对值化简
1．绝对值的代数意义
也可以写成
或
2．绝对值的化简
根据绝对值的代数意义，先判断出绝对值符号里的数的正负，再化为它本身或它的相反数、完成计算．
2
【重要结论】
① 的相反数是 、 的相反数是 ．
②当 时、有 ，
当 时、有 ．
③ 反之，若 则 ，若 则 ．
经典例题4
1. 若 ，则下列结论正确的是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D.
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
2. 若 ， ．
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
3. 若 ，则 ．
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习4
1. 如图，观察表示 ， 的点在数轴上的位置，化简 的值为（ ）．
A. B. C. D.
3
2. 如果 ，则 ．
3. 若 ，则 ．
4. ．
经典例题5
在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解
决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
【解决问题】
解：由题意，得 ， ， 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
① ， ， 都是正数，即 ， ， 时，则 ；
②当 ， ， 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 ， ， ，则
．
综上所述， 值为 或 ．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（ 1 ）三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
（ 2 ）若 ， ， 为三个不为 的有理数，且 ，求 的值．
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习5
1. 若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D. 或
2. 若 ，则 与 的大小关系是 ．
3. 已知 ， 是不为 的有理数，则 的值为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ， ，
3. 距离公式与最值问题
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距离公式
1．（数轴上）两点距离公式
点 、点 分别表示数为 、 ，则点 、点 之间的距离 ．
如图，点 在点 的右边，则距离 、即用较大数减去较小数．
2．已知距离反求原数时，一定要注意分类讨论．
对数轴上的点 ，设它表示的数为 ，到它距离为 的点有两个，分别表示数 、 ．
经典例题6
1. 已知数轴上三点 、 、 分别表示有理数 、 、 ，那么 表示（ ）.
A. 与 两点的距离 B. 与 两点的距离
C. 与 两点到原点的距离之和 D. 与 两点到原点的距离之和
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
2. 、 是数轴上的两点，且 点到原点的距离是 ；当 点与 点分别在原点的两侧，两点之间的距
离是 时， 、 两点表示的数分别是（ ）．
A. 和 或 和 B. 和 或 和 C. 和 或 和 D. 和 或 和
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习6
1. 数轴上表示数 和表示 的两点之间的距离是 ．
2. 数轴上点 对应的数为 ，那么与 相距 个单位长度的点 所对应的数是 ．
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利用绝对值的几何意义解决最值问题
【常见题型】多个绝对值相加求和的最小值．
1．两个绝对值的和最小问题
【例题】求 的最小值．
【分析】
步骤一：翻译
要求式子的最小值，首先利用绝对值的几何意义将原式的几何意义翻译出来：
；
步骤二：画图
对应点与 对应点将数轴分成3个部分： 对应点左边， 对应点与 对应点之间， 对应点右边；
步骤三：分类讨论
①若 对应点在 的左边，则 对应点到 与 对应点到 的距离和__________ （ 、 、 ）；
②若 对应点在 和 之间，则 对应点到 与 对应点到 的距离和__________ ；
③若 对应点在 右边，则 对应点到 与 对应点到 的距离和__________ ；
也就是说 对应点到 与 对应点到 的距离和__________ ．
步骤四：总结
从而 的最小值为__________．，此时 的范围是__________．
2． 三个绝对值的和最小问题
【例题】求 的最小值．
步骤一：翻译
要求式子的最小值，首先利用绝对值的几何意义将原式的几何意义翻译出来：
6
；
步骤二：画图
、 与 将数轴分成 个部分： 左边、 与 之间、 与 之间、 右边；
步骤三：分类讨论
①由上例可知，若 要取最小值， 对应点不能在 左边，也不能在 右边；
所以 对应点应在 和 之间，此时 取到最小值—— 对应点到 、到 的距离和，等于 ，
原式 ；
② 对应点应在 和 之间，由图可知当 时， 即 对应点到 对应点的距离最小；
步骤四：总结
所以 的最小值为 ，此时 的范围是 ．
【解题关键】奇中偶范．
*奇中偶范的解释：
如果有奇数个绝对值相加求和的最小值，只需将零点从高到低排列，取最中间点；
如果有偶数个绝对值相加求和的最小值，只需将零点从高到低排列，取最中间两点组成的范围．
经典例题7
根据绝对值的几何意义可知： ，它在数轴上的意义是表示 的点与原点之间的距离；又如
式子 ，它的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离，那么：
（ 1 ） 在数轴上的意义是 ．
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（ 2 ） 的最小值为 ．
（ 3 ） 的最小值为 ．
思路梳理
知识点：
1、
2、
3、
题目练习7
1. 利用绝对值的几何意义求下列式子的最值：
（ 1 ） 的最小值为 ．
（ 2 ） 的最小值为 ．
2. 求 的最小值．
3. 利用绝对值的几何意义求 的最小值为 ．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
1. 若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知 ，化简 的结果为（ ）．
A. B. C. D.
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3. 已知 ，则 ．
4. 如果 ，则 ．
5. 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离．
6. 的最小值是 ．
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