资源简介

考点32 存在性问题
一、单选题
1．若函数存在极值，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京科技大学附属中学2021届高三10月月考
【答案】A
【分析】先求出函数不存在极值，即函数单调时的范围，即可根据其补集得出结果．
【解析】若函数不存在极值，则函数单调，当单调递增时，只需恒成立，即恒成立，因此；当单调递减时，只需恒成立，即恒成立，因此；因为函数存在极值，所以函数不单调，因此．故选A.
2．若函数存在极值点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省2019-2020学年高二上学期期末考试
【答案】A
【分析】通过研究的导函数零点，结合判别式，求得的取值范围．
【解析】依题意函数存在极值点，其导函数的，解得或．故选A
3．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省佳木斯市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试
【答案】A
【解析】由得或，
可以判断在处取得极小值，在处取得极大值．
令，得或，令，得或，
由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，
结合函数的图象可得，解得，
故的取值范围是．故选A
4．已知函数，若存在使得，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】2020届神州智达高三诊断性大联考（一）质检卷
【答案】C
【分析】由题意可得在有解，令，求导判断的单调性后，求出的最小值即可得解．
【解析】存在使得，即在有解，令，则，，
当时，，则，函数单调递减；
当时，，则，函数单调递增；
当时，，．故选C．
5．设函数，则是
A．奇函数，且存在使得
B．奇函数，且对任意都有
C．偶函数，且存在使得
D．偶函数，且对任意都有
【试题来源】北京市2021届高三入学定位考试
【答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除A，B，构造函数可得，构造函数可证，即可判断．
【解析】可知的定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，故A，B错误；
当时，令，则，
在单调递减，则，即，，
令，则，
在单调递增，则，即，，
，即，当时，，
因为是偶函数，所以对任意都有．故选D．
6．已知存在唯一零点，则实数的取值范围．
A． B．
C． D．
【试题来源】2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试
【答案】D
【分析】先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出的取值范围．
【解析】由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．当时，有，．令，，则，
，，，在上单调递增，
，，，故选D．
7．已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市朝阳区2019-2020学年度高二下学期期末质量检测
【答案】B
【分析】利用，把问题转化为与在有交点，利用数形结合进行分析，即可求解
【解析】，所以，，即与在有交点，分情况讨论：
①直线过点，即，得；
②直线与相切，设切点为，得
，切点为，故实数a的取值范围是，故选B.
8．对于函数，，下列结论正确的个数为
①为减函数 ②存在极小值 ③存在最大值 ④无最小值
A．0 B．1
C．2 D．3
【试题来源】安徽省池州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中教学质量检测
【答案】C
【分析】对函数求导，然后结合导数与单调性及极值及最值的关系对选项进行判断即可检验．
【解析】，，
，所以，单调递减，不存在极小值，①正确，②错误；
因为，，故恒成立，函数单调递减，没有最小值，故③错误，④正确．故选．
9．已知，存在实数m使得，则
A． B．可能大于0
C． D．
【试题来源】浙江省宁波市宁海中学2019-2020学年高二（创新班）下学期高考模拟
【答案】D
【解析】由，可得，
若，则，令，，
则，易得在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，则，易得当时，取最小值，此时，所以，所以，
所以，
所以当时，方程无解，故B错误；
若，则恒成立，故A错误，
所以只需解即可，当时，由，解得；
当时，由，解得；
所以当时，满足，故C错误，D正确．选D．
10．已知实数满足，，则函数存在极值的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省曲靖市2020届高三年级第二次教学质量监测
【答案】B
【分析】求函数的导数，导函数为二次函数，导函数只需有两个不同的零点即可，利用判别式求出范围，根据几何概型求概率即可．
【解析】，因为函数存在极值，
所以有两个不同零点，即有两个不等的实根，
所以，因为，，解得，
因为满足，的点的区域为边长为1的正方形，面积为
满足，且的点的区域为正方形内直线下方的三角形区域，面积为，由几何概型可知函数存在极值的概率为，故选B．
11．若函数存在极值，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试
【答案】A
【解析】函数的定义域为，且．
由题意可知，函数在定义域上存在极值点，
由可得，令，则，
则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，
对于二次函数，当时，，
对于二次方程，即，，解得．
因此，实数的取值范围是．故选A．
12．已知点， 是函数图象上不同于 的一点．有如下结论：
①存在点使得 是等腰三角形；
②存在点使得 是锐角三角形；
③存在点使得 是直角三角形．
其中，正确的结论的个数为(
A．0 B．1
C．2 D．3
【试题来源】北京科技大学附属中学2021届高三10月月考
【答案】B
【解析】做出函数图象（如图），如果存在点 使得 是直角三角形．那么只有 ． 但由，函数在点 的切线斜率为1，所以，这是不可能的③错；因为函数图象是下凹的，点 越远离 ， 越大，为钝角，所以，②错；以为圆心， 为半径画弧，与函数 图象相交，此点即为使得 是等腰三角形，即只有①正确，故选B．
13．给出下列四个命题：
①，使得；
②是恒成立的充分条件；
③函数在点处不存在切线；
④函数存在零点．
其中正确命题个数是
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省南平市2019-2020学年高三上学期第一次综合质量检查
【答案】B
【分析】对①，存在成立；对②，求出使恒成立的的取值范围，再根据子集关系判断；对③，利用导数的几何意义可求出切线方程；对④，利用零点存在定理判断零点存在性．
【解析】对①，当时，显然成立，故①正确；
对②，当恒成立时，或解得，
因为推不出，所以不是恒成立的充分条件，故②错误；
对③，因为，所以，所以切线方程为，故③错误；对④，因为，所以函数在存在零点，故④正确；故选B．
14．若存在，满足，且，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省叙州区第二中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试
【答案】D
【解析】
，故选D．
【名师点睛】本题的难点有一个，就是对的化简变形，由于已知里只有的范围，所以要消掉y，，后面想到换元求导，就是比较自然了．
15．已知，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是
A．存在，使得 B．存在，使得
C．的最大值为 D．的最大值为
【试题来源】河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研
【答案】D
【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式之间的关系进行转化求解即可．
【解析】由题意得，函数的定义域为，．
若函数存在极大值点，则有解，即有两个不等的正根，则，得．
由可得．
分析易得的极大值点为，且．
因为，所以，
所以的极大值为．设，则的极大值恒小于0等价于恒小于0．
因为在上在恒成立，所以在上单调递增，
所以，即．所以．故选D．
16．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试
【答案】B
【解析】函数的图象与函数的图象关于原点对称，
则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，
即方程有解，即有解，
令，则，
当时，，当，，故，
由，，故当时，
故的取值范围为．故选B．
17．已知，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是
A．存在，使得 B．存在，使得
C．的最大值为 D．
【试题来源】新疆喀什市第二中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】C
【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．
【解析】函数的定义域为，则函数的导数，
若函数存在极大值点，则有解，即有两个不等的正根，
则，得，，由得，，分析易得的极大值点为，，，
，
则，
设，，的极大值恒小于0等价为恒小于0，
，在上单调递增，故，
得，即，故的最大值为是，故选．
18．已知函数，则下列说法正确的是
A．存在、，函数没有零点
B．任意，存在，函数恰有个零点
C．任意，存在，函数恰有个零点
D．任意，存在，函数恰有个零点
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2021届高三诊断性测试 （一）
【答案】B
【解析】对于A选项，当时，，当时，时，
所以，对任意的、，函数必有零点，A选项错误；
对于B选项，，则，函数在上单调递增，，，所以，存在使得．
当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．所以，．
当时，对任意的，，此时函数单调递增，
由A选项可知，函数有唯一的零点，B选项正确；
对于C选项，任意，由B选项可知，当时，对任意的，，
此时函数单调递增，函数至多有个零点，C选项错误；
对于D选项，令，则函数的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，若函数有三个零点，则函数必有两个极值点、，且满足，，由题意可得，且，由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当或时，，当时，．所以，，
，
令，则，
由B选项可知，令，可得使得，则，可得．当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减．
所以，，
函数在上单调递减，，
当时，，所以，．
所以，，因此，当时，不存在使得函数有个零点，D选项错误．故选B．
【名师点睛】利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题．
19．设函数的极值点从小到大依次为，若，，则下列命题中正确的个数有
①数列为单调递增数列
②数列为单调递减数列
③存在常数，使得对任意正实数，总存在，当时，恒有
④存在常数，使得对任意正实数，总存在，当时，恒有
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【试题来源】2020届浙江省嘉兴市高三下学期5月教学测试
【答案】D
【解析】由得，分别作函数和的图象，如图，
因为，所以（1）错误；，所以（3）正确；
函数的图象，如图，
因为，，，所以（2）错误；
因为，或者，所以（4）错误．
综上，仅（3）正确．所以，正确的个数只有1个．故选D．
20．下列关于的方程的根的4个论述中正确的个数有
①至少存在一个实根；②存在使得方程有4个实根；③当时，方程有2个实根；④当时，方程有3个实根．
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020届高三下学期高考冲刺押题联考（一）
【答案】C
【解析】令，则，
当时，，则函数在上单调递增；
当或时，，则函数在和上单调递减；
可得函数的图象，如下图所示：
令，则关于的方程等价于方程；
则，所以方程有两个不相等的实数根，不妨设为，，其中；则，，所以，
所以当时，由图象可知有一解，故关于的方程至少存在一个实根；故①正确；
由函数的图象可知，当时，由图象可知，有两解，故关于的方程至多3个不等的实数根；故②错误；
由函数的图象可知，方程要有2个实根，则，所以；
所以，故③正确；
要使关于的方程有3个实根，则，则；
所以时，关于的方程有3个实根，故④正确．
综上，①③④正确；②错误．故选C．
二、多选题
1．已知函数，则
A．对于任意实数，在上均单调递减
B．存在实数，使函数为奇函数
C．对任意实数，函数在上函数值均大于0
D．存在实数，使得关于的不等式的解集为
【试题来源】山东省烟台市2019-2020学年高二下学期期末考试
【答案】ABD
【解析】对于，当，，所以，
对于任意实数，在上均单调递减，正确；
对于，函数定义域为，，，定义域关于原点对称，由可得，，变形可得，，解得，
即存在实数，使函数为奇函数，正确；
对于，取，（1），不正确；
对于，当时，不等式的解集为，正确．故选．
2．对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省平潭县新世纪学校2021届高三10月月考
【答案】ABD
【解析】A．是单调递增函数，若存在区间， 使 ，解得，，所以存在区间 满足②，所以A正确，是“和谐区间”；B．在和都是单调递增函数，所以设或，满足 ，解得 ，所以存在区间满足条件，所以B正确；C．时单调递增函数，若存在区间，，使 ，即有两个不等实数根，但与相切于点，没有两个不等实数根，所以不正确，C不正确；
D．是单调递增函数，定义域是 ，若存在区间，，使 ，即有两个不等实数根，转化为 即与有两个不同的交点，满足条件，所以D正确．故选ABD．
3．关于函数，，下列说法正确的是
A．当时，在上单调递增
B．当时，在上恒成立
C．对任意，在上一定存在零点
D．存在，有唯一极小值
【试题来源】江苏省无锡市普通高中2019-2020学年高二下学期期终
【答案】CD
【解析】当时，在上单调递减，所以A错；
当时，令，因此B错；
当时，在上单调递增，
在上一定存在零点，即C正确；
当时，
即当时，，当时，，
因此当时，取唯一极小值，无极大值，即D正确；故选CD
4．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是
A．函数f(x)不存在两个不同的零点
B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－eD．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最大值为2
【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】BCD
【解析】A．，解得，所以A不正确；
B．，
当时，，当时，或
是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．
C．当趋向于时，趋向于0，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
D．由图象可知，的最大值是2，所以正确．故选BCD．
5．已知函数，则下列结论正确的是
A．存在，使得
B．时，点是函数图象的对称中心
C．时，在上存在减区间
D．时，若有且仅有两个零点，，且，则
【试题来源】山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试
【答案】ACD
【分析】由零点存在定理判断A，由函数的对称性判断B，利用导函数判断C，由导函数确定极值点，得单调性，确定极大值点也是零点，结合解高次不等式穿根法的思想可利用零点得出函数的解析式，与已知解析式比较可判断D．
【解析】，不论为何值，当充分大时，
一定有，那么在上一定有零点．A正确；
时，，因此函数图象不关于对称，B错；
，当时，，必有两不等实根，在上，，即递减，C正确；
，设的两根为（），
，所以，在和上递增，
在上递减，所以极大值点，是极小值点，若有且仅有两个零点，，且，又，所以，，，
根据解高次不等式的穿根法思想得，
，
所以，即．D正确．故选ACD．
6．设函数（），则
A．当时，存在唯一极值点
B．当时，
C．当时，在上单调递增
D．当时，存在唯一实数使得函数恰有两个零点
【试题来源】重庆市江津中学2021届高三（上）期中
【答案】ABD
【解析】，
当时，在上单调递减，在上单调递增，故A，B正确；当时，在上单调递减，C错误；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
，，所以恰有两个解，即，令，则，，单调递减，由且知，存在使得在上单调递增，在上单调递减，由且知，存在唯一的使得，故D正确．故选ABD
【名师点睛】证明函数的单调性可以采用求导的方式，在证明函数只有一个零点时，先由导数得出其单调性结合零点存在性定理得出只有一个零点．
7．已知函数的定义域是，关于函数下列命题正确的有
A．对于任意，函数是上的增函数；
B．对于任意，函数存在最小值；
C．存在，使得对于任意的，都有成立；
D．存在，使得函数有两个零点．
【试题来源】福建省莆田市莆田第二十五中学2019-2020学年高二下学期期末考试
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为，．
对于选项A，因为，所以，所以是增函数，故A正确；
对于选项B，因为，所以有解，又在为增函数，所以在上存在唯一的零点，所以在上为减函数，在上为增函数，所以函数在上有唯一的极小值，亦是最小值，故B正确； 对于选项C，当时，当时，；当时，；由A可知是上的增函数，所以函数在上存在唯一的零点，所以当时，；故C不正确；
对于选项D，由B可知，时，函数存在最小值，且，所以 ，所以，
所以存在使最小值小于，又当和时，，
所以存在，使得函数有两个零点，故D正确． 故答案为ABD．
8．已知函数，给出下列四个命题，其中真命题的序号是
A．存在实数k，使得函数恰有2个不同的零点；
B．存在实数k，使得函数恰有6个不同的零点；
C．存在实数k，使得函数恰有5个不同的零点；
D．存在实数k，使得函数恰有8个不同的零点．
【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期开学检测
【答案】ACD
【分析】把已知方程变形，得，利用导数研究函数的单调性和极值，作出图象大致形状，数形结合即可得答案．
【解析】由得，
令，当或时，，
当时，，当0≤x＜1时，由，得，当x∈（0，）时，，单调递减，
当x∈（，1）时，，单调递增，有极小值为
当x≥1时，由，得，
当x∈（1，）时，，单调递减，当x∈（，+∞）时，，单调递增，有极小值为．又为偶函数，作出函数的图象如图：
由图可知，直线y＝-k与y＝的图象可以是2、4、5、8个交点．
即存在实数k，使得函数恰有2、4、5、8个不同的零点．故选ACD
9．已知函数的定义域是，有下列四个命题，其中正确的有
A．对于(，0)，函数在上是单调增函数
B．对于(0，)，函数存在最小值
C．存在(，0)，使得对于任意，都有成立
D．存在(0，)，使得函数有两个零点
【试题来源】江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期期中
【答案】ABD
【分析】当时，恒成立，可得正确；当时，利用二次求导可知函数在定义域内存在最小值，故正确；当时，根据时，可知不正确；当时，根据函数的最小值小于零能成立，可知正确．
【解析】因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上是单调增函数，故正确；
当时，令，则，所以为增函数，设的根为，即，则当时，，此时，在上递减；当时，，此时，在上递增，所以函数在时取得最小值，故正确；
当时，由知，函数在上是单调增函数，因为时，，，所以，所以不正确；
当时，由知，函数在时取得最小值，要使得函数有两个零点，必须且只需函数的最小值小于0即可，即，
那么当时，有，所以存在，使上式成立，故正确．故选ABD．
10．关于函数，，下列结论正确的有
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在惟一极小值点
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在有且只有一个零点
【试题来源】江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】ABD
【解析】对于A：当时，，，
所以，故切点为，，所以切线斜，
故直线方程为，即切线方程为，故选项A正确；
对于B：当时，，，
，恒成立，
所以单调递增，又，，
所以存在，使得，即，则在上，，单调递减，在上，，单调递增，
所以存在惟一极小值点，故选项B正确；
对于 C、D：，，令得，
则令，，，令，
得，，，由函数图象性质知
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以当，，时，取得极小值，即当时，取得极小值，又 ，即，
因为在，单调递减，所以，
所以，，时，取得极大值，即当 时，取得极大值．又，即，
当时，，所以当，即时，
在上无零点，所以选项C不正确；
当时，即时，与的图象只有一个交点，
即存在，在有且只有一个零点，故选项D正确．故选ABD
三、填空题
1．已知，若存在 ，， 使得成立，则实数的取值范围是___________．
【试题来源】天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期月考数学试卷
【答案】
【解析】，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得极小值即最小值 ． 函数 的最大值为，若，使得成立，则有的最大值大于或等于的最小值，即 ．
2．已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为___________．
【试题来源】2020届江苏省扬州市高三上学期期末
【答案】
【解析】作出函数的图象如下图所示：
若存在实数满足，根据图象可得，
所以，即，则，
令，
当时，，在区间上单调递增，
，，
所以，即．
3．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___________．
【试题来源】福建省泰宁第一中学2020届高三上学期第二次阶段考试
【答案】
【分析】将题意转化为，使得，利用参变量分离得到，转化为
，结合导数求解即可．
【解析】，其中，则．
由于函数存在单调递增区间，则，使得，
即，，构造函数，则．
，令，得．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，
所以，，故答案为．
【名师点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：
（1）函数在区间上单调递增，；
（2）函数在区间上单调递减，；
（3）函数在区间上存在单调递增区间，；
（4）函数在区间上存在单调递减区间，；
（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点．
4．已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是___________．
【试题来源】安徽省合肥168中学凌志班2019-2020学年高二（下）入学
【答案】
【解析】因为f(x)=ex(x b)，所以f′(x)=ex(x b+1)，若存在x∈[ ，2]，使得f(x)+xf′(x)>0，
则若存在x∈[，2]，使得ex(x b)+xex(x b+1)>0，即存在x∈[，2]，使得b< 成立，令 ，则 ，g(x)在 递增，
所以g(x)最大值=g（2）= ，则实数的取值范围是.
5．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围为___________．
【试题来源】四川省乐山市2019-2020学年高二下学期期末考试
【答案】
【解析】设 ，则，所以，，联立可得 即对于有解，
令，，
由可得；由可得，
所以在单调递减，在上单调递增，
，，
，所以，
所以值域为，即可得的取值范围为．
6．已知，，，，若存在，，使得，则实数的取值范围为___________．
【试题来源】湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三下学期6月联考
【答案】
【分析】先求得，根据题意，得到，转化为即在上有解，即在上有解，令，，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解．
【解析】由题意，函数，令，解得或（舍），所以，即，
若存在，，使得，即，得，
即在上有解，等价于在上有解，
令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．
又由，，，所以，
即有的取值范围为．故答案为．
7．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是___________．
【试题来源】江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二下学期期中
【答案】
【分析】分别求得，时的导数，求得单调性、极值，讨论，，，，结合函数存在正的零点，可得的范围．
【解析】由的导数为，可得为增函数，可得，且时，的导数为，
即有时，单调递减；或时，单调递增，
可得为极小值，处取得极大值，时，时，；时，在递减，递增，无正的零点；
时，时，，，故函数存在正的零点，满足条件；
当时，时，递增，；当时，在上单调递减，在上单调递增，则时函数取得极小值即最小值，，故不存在，使得；
当时，在上单调递增，且，故不存在，使得；综上可得时，存在，使得；故答案为．
8．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是___________．(写出所有正确命题的序号)
【试题来源】广东省云浮市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】②④
【解析】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，
故①错误；对于，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故②正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故③错误；由②得函数存在最小值，且存在，使，当时，，当时，，故④正确；故填②④．
9．曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围是___________．
【试题来源】内蒙古呼和浩特市二中2019-2020学年高二下学期数学月考试题
【答案】
【解析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，
函数，的导数分别为，，
则公切线的斜率为，整理得，
由可知，，令，则，
；，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
；当时，，即，.
10．已知函数，，其中、，若存在极值点，且，其中，则___________．
【试题来源】河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末
【答案】
【分析】根据得出，再根据利用作差因式分解可得出的值．
【解析】，，
由题意可得，则，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，即．
四、双空题
1．已知函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，
（1）求___________；
（2）则实数a的取值范围是___________．
【试题来源】广东省佛山市第一中学2019-2020学年高二下学期期中
【答案】
【解析】因为，所以，
由函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，可知方程有解，即有解，得在上有解，令（），则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，
所以，所以，得，
所以a的取值范围是，故答案为；
2．已知函数，则=___________；设函数存在3个零点，则实数的取值范围是___________．
【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020届高三下学期第二次教学质量调测
【答案】0 ；
【解析】因为，，
函数存在3个零点， 方程存在3个根，
即与存在3个交点，设与相切于点，
则，解得，，如图，
由图可知，当时，与存在3个交点，故答案为0；
3．已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是___________；的最大值为___________．
【试题来源】湖北省十堰市2020届高三下学期6月调研考试
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性来判断的取值范围；利用构造函数并结合导数的应用判断单调性，进而求出的最大值．
【解析】函数在上是增函数，函数在上是增函数，且，，．
函数在的值域为，函数在上的值域为．
当时，．的取值范围是．
由于，则．．
令，，，，易知，
所以在上单调递增，故．的最大值为．
故答案为；．
4．已知，若存在实数，，，满足，且，则的取值范围为___________；的最大值为___________．
【试题来源】湖北省武汉市华中师大一附中2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】由题意，函数的大致图象如图所示，
由图象知，，且，，
所以，
令，，则，
因为在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
5．已知函数，则它的极小值为___________；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是___________．
【试题来源】江苏省南京市南师附中2019-2020学年高二下学期期中
【答案】
【解析】（1）由，得，令，得，
列表如下：
极小值
所以，函数的极小值为；
（2），，使得，即，．
①当时，函数单调递增，，，即；
②当时，函数单调递减，，，即；
③当时，，不符合题意．
综上：．故答案为；．
6．已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则a的值为__________；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是__________．
【试题来源】山东省济南市2020届高三6月份模拟考试
【答案】
【解析】，设切点为，则切点为，直线代入得，
由上面可知切线方程为，代入得，
令，则
当时单调递增，当时单调递减，
因此，所以，故答案为，．
7．已知函数，若在上单调减函数，则实数的最大值为___________，若，在上至少存在一点，使得成立，则实数的最小值为___________．
【试题来源】江苏省淮安地区五校2019-2020学年高二下学期6月联考
【答案】
【解析】，则在上恒成立，
即，根据双勾函数单调性知，在 上单调递减，
故，即的最大值为；
，即，当时不成立，
当时，整理得到：，
设，则，
当上时，，在上单调递减，
故，，
故，函数单调递减，故，故的最小值为．
故答案为；．
五、解答题
1．已知函数．
（1）是否存在实数使得为唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）若存在使得，求证：．
【试题来源】浙江省温州中学2019-2020学年高二下学期期末
【答案】（1）存在，；（2）证明见解析．
【解析】（1）若为零点，则，即，
当时，，，
所以此时，在定义域内单调递增，即为唯一零点，
故存在，使得为唯一零点．
（2）因为，所以，
要证，即证，
因为，即证，即证，
设，，
当时，，即在上递减，故，
所以式得证，故．
2．已知函数，其中．
（1）若在上存在极值点，求a的取值范围；
（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由
【试题来源】内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值为．
【解析】（1），，
由题意得，在上有根（不为重根），
即在上有解，由在上递增，得，，
检验，时，在上存在极值点，，；
（2）中，
若，即在上满足，
在上递减， ，
不存在最大值，则；方程有2个不相等的正实数根，
令其为，，且不妨设，则，
在递减，在递增，在递减，
对任意，有，对任意，有，
，（a），
将，代入上式，消去，得（a），
，，，由在递增，得，，
设，，，，，，
，即在，递增，（e），
（a）存在最大值为．
3．若存在实数k，b，使得函数和对其定义域上的任意实数x同时满足：且，则称直线：为函数和的“隔离直线”．已知，（其中e为自然对数的底数）．试问：
（1）函数和的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；
（2）函数和是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．
【试题来源】2020届广东省深圳市福田中学高三质量监测
【答案】（1）存在，交点坐标为；（2）存在，
【解析】（1）因为，
所以，令，得，
当时，，时，，
故当时，取到最小值，最小值是0，
从而函数和的图象在处有公共点，交点坐标为．
（2）由（1）可知，函数和的图象在处有公共点，
因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为，即，
由，可得在上恒成立，
则，只有，
此时直线方程为，下面证明恒成立，
令，
，当时，，
当时，函数单调递减；时，，函数单调递增，
则当时，取到最小值是0，
所以，则当时恒成立．
所以函数和存在唯一的隔离直线．考点32 存在性问题
一、单选题
1．若函数存在极值，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
2．若函数存在极值点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
3．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是
A． B．
C． D．
4．已知函数，若存在使得，则的取值范围是
A． B．
C． D．
5．设函数，则是
A．奇函数，且存在使得
B．奇函数，且对任意都有
C．偶函数，且存在使得
D．偶函数，且对任意都有
6．已知存在唯一零点，则实数的取值范围．
A． B．
C． D．
7．已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
8．对于函数，，下列结论正确的个数为
①为减函数 ②存在极小值 ③存在最大值 ④无最小值
A．0 B．1
C．2 D．3
9．已知，存在实数m使得，则
A． B．可能大于0
C． D．
10．已知实数满足，，则函数存在极值的概率为
A． B．
C． D．
11．若函数存在极值，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
12．已知点， 是函数图象上不同于 的一点．有如下结论：
①存在点使得 是等腰三角形；
②存在点使得 是锐角三角形；
③存在点使得 是直角三角形．
其中，正确的结论的个数为(
A．0 B．1
C．2 D．3
13．给出下列四个命题：
①，使得；
②是恒成立的充分条件；
③函数在点处不存在切线；
④函数存在零点．
其中正确命题个数是
A． B．
C． D．
14．若存在，满足，且，则的取值范围是
A． B．
C． D．
15．已知，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是
A．存在，使得 B．存在，使得
C．的最大值为 D．的最大值为
16．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
17．已知，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是
A．存在，使得 B．存在，使得
C．的最大值为 D．
18．已知函数，则下列说法正确的是
A．存在、，函数没有零点
B．任意，存在，函数恰有个零点
C．任意，存在，函数恰有个零点
D．任意，存在，函数恰有个零点
19．设函数的极值点从小到大依次为，若，，则下列命题中正确的个数有
①数列为单调递增数列
②数列为单调递减数列
③存在常数，使得对任意正实数，总存在，当时，恒有
④存在常数，使得对任意正实数，总存在，当时，恒有
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
20．下列关于的方程的根的4个论述中正确的个数有
①至少存在一个实根；②存在使得方程有4个实根；③当时，方程有2个实根；④当时，方程有3个实根．
A．1 B．2
C．3 D．4
二、多选题
1．已知函数，则
A．对于任意实数，在上均单调递减
B．存在实数，使函数为奇函数
C．对任意实数，函数在上函数值均大于0
D．存在实数，使得关于的不等式的解集为
2．对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是
A． B．
C． D．
3．关于函数，，下列说法正确的是
A．当时，在上单调递增
B．当时，在上恒成立
C．对任意，在上一定存在零点
D．存在，有唯一极小值
4．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是
A．函数f(x)不存在两个不同的零点
B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－eD．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最大值为2
5．已知函数，则下列结论正确的是
A．存在，使得
B．时，点是函数图象的对称中心
C．时，在上存在减区间
D．时，若有且仅有两个零点，，且，则
6．设函数（），则
A．当时，存在唯一极值点
B．当时，
C．当时，在上单调递增
D．当时，存在唯一实数使得函数恰有两个零点
7．已知函数的定义域是，关于函数下列命题正确的有
A．对于任意，函数是上的增函数；
B．对于任意，函数存在最小值；
C．存在，使得对于任意的，都有成立；
D．存在，使得函数有两个零点．
8．已知函数，给出下列四个命题，其中真命题的序号是
A．存在实数k，使得函数恰有2个不同的零点；
B．存在实数k，使得函数恰有6个不同的零点；
C．存在实数k，使得函数恰有5个不同的零点；
D．存在实数k，使得函数恰有8个不同的零点．
9．已知函数的定义域是，有下列四个命题，其中正确的有
A．对于(，0)，函数在上是单调增函数
B．对于(0，)，函数存在最小值
C．存在(，0)，使得对于任意，都有成立
D．存在(0，)，使得函数有两个零点
10．关于函数，，下列结论正确的有
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在惟一极小值点
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在有且只有一个零点
三、填空题
1．已知，若存在 ，， 使得成立，则实数的取值范围是___________．
2．已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为___________．
3．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___________．
4．已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是___________．
5．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围为___________．
6．已知，，，，若存在，，使得，则实数的取值范围为___________．
7．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是___________．
8．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是___________．(写出所有正确命题的序号)
9．曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围是___________．
10．已知函数，，其中、，若存在极值点，且，其中，则___________．
四、双空题
1．已知函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，
（1）求___________；
（2）则实数a的取值范围是___________．
2．已知函数，则=___________；设函数存在3个零点，则实数的取值范围是___________．
3．已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是___________；的最大值为___________．
4．已知，若存在实数，，，满足，且，则的取值范围为___________；的最大值为___________．
5．已知函数，则它的极小值为___________；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是___________．
6．已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则a的值为__________；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是__________．
7．已知函数，若在上单调减函数，则实数的最大值为___________，若，在上至少存在一点，使得成立，则实数的最小值为___________．
五、解答题
1．已知函数．
（1）是否存在实数使得为唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）若存在使得，求证：．
2．已知函数，其中．
（1）若在上存在极值点，求a的取值范围；
（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由
3．若存在实数k，b，使得函数和对其定义域上的任意实数x同时满足：且，则称直线：为函数和的“隔离直线”．已知，（其中e为自然对数的底数）．试问：
（1）函数和的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；
（2）函数和是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．

展开更多......

收起↑