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三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的综合应用
一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若一元二次不等式的解集为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
若不等式的解集为，那么不等式的解集为( )
A. B. 或
C. 或 D.
若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的一元二次不等式的解集为( )
A. B. 或
C. 或 D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知关于的方程有两个相等的实数根，则( )
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有( )
A.
B.
C. 的解集为
D. 的解集为或
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是 ．
；
不等式的解集为；
不等式的解集为或；
．
写出一个解集为或的一元二次不等式 ．
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集是，求实数，的值；
若，，解关于的不等式．
本小题分
已知二次不等式的解集为或．
求实数，的值；
解不等式．
本小题分
已知的解集为．
求实数的值；
若恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要由一元二次不等式的解集的情况为切入点，考查了利用基本不等式求解最值的问题，属于中档题．
由一元二次不等式的解集为可得且，而，利用基本不等式可求最小值．
【解答】
解：由一元二次不等式的解集为，
得
所以且．
又已知，
所以，
当且仅当时取等号．
故的最小值是．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次函数不等式的解法，属于中档题．
方法一：根据一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，求出和，再求解即可．
方法二：从不等式出发，通过换元变形，再结合已知不等式的解集即可求出的解集．
【解答】
解：方法一 因为不等式的解集为，
所以，是方程的两根，且，
所以，，
得，，
代入不等式，
整理得，又，
所以，
所以，
故选D．
方法二 由，
得，设，
得．
又不等式的解集为，
则有，得，
则所求不等式的解集为．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的求解，属于中档题．
根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，再求解的解集即可．
【解答】
解：关于的一元二次不等式的解集为或，
，且，是一元二次方程的两个实数根，
，，，
不等式化为，
即，解得：，
故不等式的解集为．
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应方程的关系，以及根与系数的关系，属于拔高题．
利用二次方程有等根求得，又，可得，根据选项逐一判断即可．
【解答】
解：关于的方程有两个相等的实数根，，，又，可得，
对于，，可推出，故A正确；
对于，，因为，，，成立，即，故B正确；
对于，不等式的解集为，则，为方程的两根，，，故C错误；
对于，由韦达定理，，，
对
等式两边平方可得，，，，故D正确．
答案ABD．

5.【答案】
【解析】
【分析】
依题意，可判断，，，利用根与系数的关系求出、、的关系，代入求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化与运算能力，是中档题．
【解答】
解：不等式的解集为，其中，
所以，且，，选项A正确；
所以，，选项B错误；
所以不等式可化为；
又，所以，即；
又，所以，所以，
即不等式的解集是，
所以选项C正确、D错误．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属于中档题．
由题设可得，，即可判断的正误，解一元一次不等式、一元二次不等式求解集判断的正误．
【解答】
解：由的解集为或，则有二次函数图象开口向上，即，同时有两个根分别为或，则根据韦达定理可得：，，即得．
对于选项A，由分析可得，故正确；
对于选项B，因为，
则，且
可得，故错误；
对于选项C，由．
，
可得，故错误；
、由且知：
，故正确；
故答案为：

7.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法的理解与应用，属于基础题．
利用一元二次不等式的解法分析求解即可．
【解答】
解：由一元二次不等式的解法以及解集为或，
所以一元二次不等式可以为．
即．
故答案为 答案不唯一．

8.【答案】解：因为不等式的解集是，
所以，并且和是一元二次方程的两实数根，
【方法一】所以，解得，；
【方法二】由一元二次方程根与系数关系，得，解得，；
不等式化为
当时，不等式的解为；
当时，不等式化为
当，即时，解不等式得或；
当，即时，不等式的解为；
当，即时，解不等式得或．
综上所述，所求不等式的解集为：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或
【解析】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于较难题．
根据不等式的解集得出对应方程的两实数根，
【方法一】把方程的根代入方程，解对应方程组即可；
【方法二】由一元二次方程根与系数的关系列方程组求出、的值；
由题意不等式化为，讨论和时，求出对应不等式的解集．
9.【答案】解：因为不等式的解集为：，
所以方程的两个根为和，
则有解得，．
不等式，
即，所以，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
综上可得，当时，不等式的解集为：
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为

【解析】本题考查一元二次不等式的求解，一元二次不等式与相应函数和方程的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．
根据不等式的解集与方程根的关系得出：方程的两个根为和，再利用韦达定理列出关于，的方程组，解方程组即可得到，的值
由知不等式可化为，因此需要讨论与的大小，分类讨论后即可写出不等式的解集．
10.【答案】解：因为的解集为，
所以而且的两根为和，
，所以．
因为恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．

【解析】本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，及一元二次不等式解法、不等式恒成立问题．
由题意知：，且，是方程的两根，利用韦达定理得出的值；
不等式恒成立，即恒成立，则，解不等式即可．
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