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导数解决不等式恒成立求参数范围问题
一、先分离参数再转化为最值问题，且最值点易求
例1.已知函数，.
若不等式恒成立，求的取值范围。
例1.解：，。
不等式恒成立，即恒成立
又，在上恒成立。令
则。又，
则当时，，当时，，在上递增，在上递减
，
变式.已知函数.在区间内至少存在一个实数,使得成立,求实数的取值范围.
变式.解法1：，即。
令，，所以函数区间内是减函数，。所以实数的取值范围为.
解法2：,
当,即时,在恒成立,在上为增函数,故,所以,这与矛盾.
当,即时,若,则;若,则.所以当时,取得最小值,因此,即,可得,这与矛盾.
当,即时,在恒成立,在上为减函数,所以,所以,解得,满足.
综上所述,实数a的取值范围为。
二、先分离参数再转化为最值问题，且最值点不好求（隐零点）
例2.已知函数，若恒成立，求实数k的取值范围。
解：若恒成立，即恒成立，恒成立。
令，则，
令，则函数在
上单调递增。又，
所以存在，使得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。。
，，
。令，则函数是增函数。。。。
所以实数k的取值范围为。
变式。已知函数,若关于x的不等式
在上恒成立，求实数a的取值范围。
解：不等式在上恒成立，即
在上恒成立，在上恒成立。
令，则。令，
则在上为增函数，
且，。所以存在，使得，且当时，，即，函数在上单调递减；当时，，即，函数在上单调递增，。又，故，
即。令，则在上恒成立，
函数在上单调递增，。，。
综上，实数a的取值范围是。
三、分离参数后由洛必塔法则求极限
分离参数后，发现最值不存在，可考虑是否可以通过极限来解决。
例3.已知函数，当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。
分析1：先分离参数，然后用洛必塔法则求极限。
解法1：，即，。
令，，
令，
令，。
∴在上为增函数，，即，
∴在上为增函数，，即，
所以在上为减函数，故。
，
故，。
所以的取值范围为
分析2：变形后，分类讨论。
解法2：当时，不等式
令，
令，
①当即时，在单调递增且，所以当时，，在单调递增，即恒成立．
②当即时，在上上单调递减，且，故当时，即所以函数在单调递减，当时，与题设矛盾。
综上可得的取值范围为
点评：两种解法繁简程度差不多。解法1规律性强，但用到超纲的洛必塔法则法则，故尽量不要用；解法2用了分类讨论，但往往不知如何讨论。碰上这类题目，我们还是尽量用解法2好一些！
变式．已知函数f(x)＝x(ex＋1)－a(ex－1)．当x∈(0，＋∞)时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
解法1：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>0恒成立，即恒成立。
因为x∈(0，＋∞)，，所以原不等式可化为恒成立。
令，则。令
则在(0，＋∞)上是增函数，
，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，。
。
故实数a的取值范围为(－∞，2]．
解法2：设g(x)＝f′(x)＝ex＋1＋xex－aex，则g′(x)＝ex＋(x＋1)ex－aex＝(x＋2－a)ex，设h(x)＝x＋2－a，注意到f(0)＝0，f′(0)＝g(0)＝2－a，
(i)当a≤2时，h(x)＝x＋2－a>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以g(x)>g(0)＝2－a≥0，所以f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0在(0，＋∞)上恒成立，符合题意．
(ii)当a>2时，h(0)＝2－a<0，h(a)＝2>0， x0∈(0，a)，使得h(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，h(x)<0，所以g′(x)<0，所以g(x)在(0，x0)上是减函数，所以f′(x)在(0，x0)上是减函数．所以f′(x)综上所述，a≤2，即实数a的取值范围为(－∞，2]．
四、不分离参数直接分类讨论
当不好分离参数，或分离参数后不好求导时，可考虑不分离参数，分类讨论解决。
例4.已知函数.若，，求的取值范围.
解： 由题意，得，记，则，
令，则，当时，，，
所以，所以在为增函数，即在单调递增，所以.
①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，又，所以，所以在为增函数，所以
所以满足题意.
②当，，当时，。
又在单调递增，故存在唯一实数，，
当时，，单调递减，即单调递减，所以，
此时在为减函数，所以，不合题意，应舍去.
综上所述，的取值范围是.
变式.已知函数.若在时恒成立,求实数的取值范围.
解：.
①若,即,则必存在使得时,
所以在上单调递减,因为,所以时,
所以在上单调递减,又,所以时,不满足题意；
②当时,由,可得,即,
所以在上单调递增,所以,
所以在上单调递增,所以,满足题意.
综上所述,实数的取值范围是.
小试牛刀
1.已知函数,不等式在上恒成立,求实数k的取值范围.
分析：分类讨论，在一些范围内恒成立，在另一些范围不恒成立。
1.解：由题即在上恒成立，令，
且，令
则且
（ⅰ）当时，即时
由于，而
所以，故在上单调递增，所以
即，故在上单调递增，所以
即在上恒成立，故符合题意
（ⅱ）当时，即时
由于在上单调递增
令因为
故在上存在唯一的零点，使
因此，当时，单调递减，所以
即在上单调递减，故，与题不符
综上所述，的取值范围是
2、已知函数.
当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
2.解：由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，则，，
故单调递增，，故函数单调递增，，
由可得：恒成立，故当时，，
单调递增；当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
3.已知函数,若≥5－3恒成立，求实数的取值范围；
3.解法1：由于的定义域为，于是可化为．设.先证，设，，当时，；当时，。，即。
综上所述的最大值为2．∴的取值范围是．
解法2：设，则函数的定义域为．
∴当时，恒成立．于是，
故．∵．∴方程有一负根和一正根，．其中不在函数定义域内．当时，，函数单调递减．当时，，函数单调递增．∴在定义域上的最小值为．依题意．即．又，
于是，又，所以．∴，即，令，则．当时，，所以是增函数．又，所以的解集为．又函数在上单调递增，∴．
故的取值范围是．
4、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
4.解：（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，在上单调递减，可知不恒成立。
综上所述：。
5.设函数.若对任何,恒成立,
求的取值范围.
5.解：因为对任意恒成立,所以对任意恒成立令,则在上单调递减
所以在上恒成立,所以在上恒成立.令,则,所以的取值范围是
6.已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）设，若当，且时，，求整数的最小值．
6.解：（1），
①当时，因为，所以在上单调递减，
②当时，在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因为，等号仅在时成立，
所以在上单调递增，
（2），当时，因为，由（1）知，所以（当时等号成立），所以．
当时，因为，所以，所以，
令，，已知化为在上恒成立，
因为，令，则，
在上单调递减，又因为，，
所以存在使得，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以，
因为，所以，所以，
所以的最小整数值为2．

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