资源简介

高中数学常用解题公式结论
第1章 集合与逻辑关系 2
第2章 不等式 2
第3章 函数 3
第4章 数列 6
第5章 三角函数与解三角形 8
第6章 平面向量与复数 11
第7章 立体几何 13
第8章 直线与圆的公式 15
第9章 解析几何 17
第10章 概率与统计 20
第11章 排列组合、二项式定理、分布列 21
第12章 导数 23
高中数学公式与技巧
第1章 集合与逻辑关系
1、有限集合子集个数：子集个数：个，真子集个数：2n－1个；非空真子集有2n－2个
2、集合里面重要结论：
①；②；③ ④
3、同时满足求交集，分类讨论求并集
4、充要条件
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
5.全称量词命题的否定为，.
存在量词命题的否定为.
第2章 不等式
1.四个基本不等式链：如果，(当且仅当“”时取“”).
2.二维形式的柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
3. 二元权方和不等式
已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.
第3章 函数
1、几个近似值：
ln2≈0.7 ln3≈1.1 ln4≈1.4 ln5≈1.6 ln6≈1.8 ln7≈2.0
2、指数公式：①，，；②，，；
③，，；④，，．
3、对数公式：①；；其中且；②(其中且，)；
③对数换底公式：； ④； ⑤；
⑥，； ⑦和； ⑧；
且
图象
4、单调性的快速法：①.增＋增→增；增—减→增；②.减＋减→减；减—增→减；
③.乘正加常，单调不变： ④.乘负取倒，单调不变：
5、奇偶性的快速法：①.奇奇→奇；偶偶→偶；
②.奇奇→偶；偶偶→偶；奇偶→奇；
6、图像的变换
(1)平移变换
（2）对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
(3) 伸缩变换
①y＝f(x)→y＝f(ax)；
②y＝f(x)→y＝af(x)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
7、函数有零点 函数无零点
8、常见的奇偶函数模型：
奇函数：①函数或函数．②函数．
③函数或函数
④函数或函数． ⑤sinx
偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．
④x的偶次方 ⑤cosx
函数周期性：的周期；差为定值，则为周期。
(1) f(x＋a)＝f(x)，T＝a． (2) f(x＋a)＝－f(x)，T＝2a． (3) f(x＋a)＝，T＝2a． (4) f(x＋a)＝－，T＝2a．
10、函数对称性：的对称轴；和为定值，则为对称。
若函数关于点对称，则．
推论：对称性+周期性=奇偶性；奇偶性+周期性=对称性
11、两个重要不等式：麦克劳林展开
12、洛必达法则：(当时使用)
13、恒成立与存在问题：
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；
（3）对于任意的，总存在，使得；
对于任意的，总存在，使得；
若存在，对于任意的，使得；
若存在，对于任意的，使得；
14、证明思路：思路1：（常规首选方法）
思路2：（思路1无法完成）
15、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根．
第4章 数列
等差数列 等比数列
定义 (公差) () 定义：(公比) ()
通项公式an an＝a1＋(n－1)d. an＝a1qn－1
前n项和Sn
性质 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*) 则ak＋al＝am＋an. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an
中项 若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝ 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时G2＝ab
推论 S2n－1＝(2n－1)an S2n＝n（an＋an+1)
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 关系 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，… 也是等差数列．公差为md 当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
数列单调性 ①若,d<0且满足,则最大 ②若,d>0且满足,则最小.
二、数列通项公式an求法
⑴ 前n项和法：
⑵ 累加法：形如
⑶ 累乘法：形如
⑷ 构造法：形如，又叫待定系数法，构成一个新的等差或等比数列
⑸ 倒数法：形如
二、数列前n项和Sn 求法
1、裂项相消法1：若，则有
裂项相消法2：若，则有
裂项相消法3：若，则有
裂项相消法4：若，则有
裂项相消法5
裂项相消法6
2、整体裂项：（1） =－]
（2）=－
3、错位相减法求和通式：形式：或（其中，为等差数列，为等比数列）
将上式两边同乘以得：
两式相减得：
第5章 三角函数与解三角形
角度
弧度 0
sin α 0 0
cos α 1 0 0 1
tan α 0 1 不存在 0 不存在 0
1．弧度制
（1）角度制和弧度制的互化：，，．
（2）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
2、三角函数的定义：正弦：；余弦：；正切：；其中：
3、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： 知一求二sinθ、cosθ、tan θ；平方搭桥(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
（2）商数关系：； 弦切互化（分式齐次，分子分母同除以cosθ）
4、诱导公式：倍加减名不变，符号只需看象限；半加减名要变，符号还是看象限。
5、和差化积公式：①（伞科科伞，符号不反）
②（科科伞伞，符号相反）
③（上同下相反）
6、二倍角公式：① ②
③
7、降幂公式：①. ②.③.
8、辅助角公式:
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
周期与对称性之间的关系：相邻两对称中心（两对称轴）间隔半个周期T；相邻对称中心与对称轴间隔T。
三角函数的图像变换 y＝sin x经过图像变换得到y＝2sin＋1： 方法一：①向左平移，得到y＝sin；②横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin； ③纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin；④向上平移1个单位长度，得到y＝2sin＋1． 方法二：①横坐标缩短为原来的倍，得到y＝sin 2x；②向左平移，得到y＝sin＝sin；③④同上
已知函数图像三角函数的解析式 (1) A＝，(2)B＝. (3)ω：先求周期T，再由T＝得ω. 把A、B、ω代入y＝Asin(ωx＋φ)＋B中 (4) φ：代特殊点：上升点（）、最高点（）下降点（）最低点（） 即得统一的形式：y＝Asin(ωx＋φ)＋B 三角函数图像化简思路： 二次化一次（2倍角、降幂公式），一次再统一（辅助角、两角和差） 即化成统一的形式： y＝Asin(ωx＋φ)＋B
9、正弦定理：
边化角：a＝2Rsin A；b＝2Rsin B； c＝2Rsin C
10、余弦定理：①
②③
11、面积公式：
12、三角形中一个角换为另两个角①
②；
③
第6章 平面向量与复数
1、向量的几何运算和坐标运算
运算 几何法 坐标法（，，
加法 三角形法则平行四边形法则
减法 三角形法则
数乘 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，
平行 （共线） 垂直 若且，则一定存在唯一的实数，使． ，
数量积 （点乘）
夹角
模长 ．
投影 向量在方向上的投影数量
2、中线向量定理与共线定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
证明A、B、C三点共线两种方法：(1)两个向量共线且有一个公共点A；
(2)
3、奔驰定理与向量四心：
（1）重心．若点G是的重心，则或 （其中P为平面内任意一点）．
（2）垂心．若H是的垂心，则．
（3）内心．若点I是的内心，则．
（4）外心．若点O是的外心，则
或
4、复数
（1）；
（2） ，，，
（3）复数相等：且.
（4）共轭复数：与共轭.
（5）复数的模：记作或，即.
（6）复数复平面内的点.
（7）除法：.
第7章 立体几何
1、线线角向量法公式：
2、线面角：(1)向量法公式：；(2)几何法公式：
3、二面角：(1)向量法公式： ；(2)几何法公式（垂面法）：
4、点面距：(1)向量法公式：；(2)几何法公式（等体积法）：
5、多面体的内切球半径：
6、长方体的外接球半径：
7、直棱锥的外接球半径：正棱锥的外接球半径：
侧面展开图 侧面积公式 表面积 体积
圆柱 S圆柱侧＝2πrl 棱柱 圆柱 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh
圆锥 S圆锥侧＝πrl 棱锥 圆锥 S表＝S侧＋S底 V＝Sh
圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l 棱台 圆台 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面积--不外乎三角形面积，平行四边形面积 球 S＝4πR2 V＝πR3
8、正三角形的性质：高：，面积：
9、立体几何第（1）问证明思路及性质、判定定理
平行
垂直
角 异面直线角：平移 线面角：作平面垂线（由面面垂直得线面垂直） 二面角：作三垂线（由等体积法求垂线长）
第8章 直线与圆的公式
直线
斜率与坐标 （、）. 斜率与倾斜角.
直线的方向向量（1，k）
直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式）
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
两条直线的平行和垂直
(1)若，
①;②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；②；
到角公式
.(，,)
点到点的距离公式
点到直线的距离 (点,直线：).
两条平行线间距离之间的距离是：.
圆
圆的三种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种，若，
则点在圆外;点在圆上;点在圆内.
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;;.
其中.
两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
圆的切线方程
圆在处的切线方程
()()+ () ()=r 2
相交弦方程：两圆相交的公共弦方程
. 0
解析几何
一、圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
椭圆 双曲线
第一定义 到两定点F1 ,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
轨迹条件 ｜PF1｜+｜PF2｜=2a, ｜F1F2｜< 2a ｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=2a, ｜F1F2｜＞2a
图形 焦点在x轴 焦点在y轴 焦点在x轴 焦点在y轴
标准方程 焦点在x轴 (>0) 焦点在y轴（a>b>0） 焦点在x轴 (a>0,b>0) 焦点在y轴 (a>0,b>0）
范围 ─axa，─byb ─aa，─bxb |x| a，yR |y| a，xR
中心 原点O（0，0）
顶点 焦点在x轴 B1(0,b),B2(0,-b) 焦点在y轴 焦点在x轴 焦点在y轴
对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b 长半轴为a，短半轴为b x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. 实半轴为a，虚半轴为b
焦点 焦点在x轴 焦点在y轴 焦点在x轴 焦点在y轴
焦距 2c （c=） 2c （c=）
a,b,c关系 c2=b2+a2
离心率 （离心率越大，椭圆越扁） （离心率越大，开口越大）
渐近线 焦点在x轴 焦点在y轴
通 径
准 线 x=± 准线垂直于长轴，且在椭圆外. y=± 准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=± 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. y=± 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.
切线方程 已知切点 已知切点
焦点三角形 .
共焦点方程
共离心率方程
抛物线定义：到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.离心率,焦点弦长
抛物线的图像：在题目中，与焦点有关就用定义！
标准方程
谨记：
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
二、圆锥曲线常用二级结论汇总
1、椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则
的周长=4a
2、点差法的斜率公式（垂径定理)：
3、通用弦长公式：,
4、圆的弦长公式：
5、焦半径公式（带坐标）：
(1)椭圆中：；（左加右减）(2)双曲线：(3)抛物线：
6、椭圆的焦点三角形面积： 双曲线焦点三角形面积：
7、双曲线的焦渐距为：(虚半轴)
8、椭圆、双曲线通径公式： 抛物线的通径公式：
9、焦点弦公式：在椭圆和双曲线中
抛物线焦点弦性质：
10、圆锥曲线的离心率公式：
11、解析几何中的向量问题：,
12、向量与夹角问题：(1)钝角;(2)锐角;
(3)直角（）
13、向量与圆的问题：与以为直径的圆的位置关系：(1)在圆内：钝角;
(2)在圆上：直角;(3)在圆外：锐角;
14、坐标轴平分角问题(倾斜角互补）：
15、椭圆、双曲线的第三定义（周角定理）若 A,B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于 A,B 的任意一点，则有（焦点在x轴）
第10章 概率与统计
1、频方图的频率 =小矩形面积：；频率=频数/总数
2、频方图的频率之和：；同时 ；
3、频方图的众数：最高小矩形底边的中点。
4、频方图的平均数：
5、频方图的中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时的值。
6、频方图的方差：
7、古典概型公式： 几何概型公式：
8、互斥事件概率公式：
9、对立事件概率公式：
10、独立事件概率公式：
11、独立事件至少有一个发生概率公式：
12、条件概率公式：条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率。若只有两个事件A，B，那么，P（A|B）=P（AB）/P（B）
13、样本相关系数的性质
①|r|≤1.
②当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
③当|r|越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．特别地，当|r|＝1时，说明成对样本数据都落在一条直线上．
第11章 排列组合与二项式定理
1、计数原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则方法数N=++……+ 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则方法数N=
2、排列组合 排列定义：n中取m，m排一排（有顺序） 排列公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 注意：，, 组合定义：n中取m（无顺序） 公式：C＝＝＝ 注意：，，
二项式定理 ⑴ 二项展开式共项： ⑵ 展开式中的通项公式： （第项） ⑶ 二项式系数：， 二项式系数之和：； 偶（奇）数项的二项式系数之和相等，即 ⑷ 中间项的二项式系数最大. 当两项的系数均为1时，各项的系数等于二项式系数。 当是偶数时，中间项仅有一项为；当是奇数时，中间项有两项和. ⑸ 各项的系数：是指未知数前面的系数。 赋值法：① 令； ② 令； （各项的系数之和） ③ 令； 由①③得 偶次项系数和：(②＋③) 即: 奇次项系数和：(②－③) 即：
离散型随机变量的期望与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 变量Xx1x2…xi…xn概率Pp1p2…pi…pn
随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示 分布列的性质①: pi0，（i＝1,2,3…n） ②: p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1. (1)期望：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn (2)方差： 期望方差的性质：(1) E(aX＋b)＝aE(X)＋b (2) D(aX＋b)＝a2D(X) (3) D ()＝E()－ 2．常见的离散型随机变量的分布列 X01P1－pp
(1)两点分布: 其中p＝P(X＝1)称为成功概率．若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)
(2)超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有 E（X）= n (3)二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即：
若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
第12章 导数
常函数 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
幂函数 f(x)＝xα f ′(x)＝αxα－1
三角函数 f(x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
指数函数 f(x)＝ax f ′(x)＝axln a
f(x)＝ex f ′ (x)＝ex
对数函数 f(x)＝logax f ′(x)＝
f(x)＝ln x f ′(x)＝
1.过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
2．导数的四则运算法则
① = k f′(x) 常数不用导
② 各自导各自
③ 前导后不导+后导前不导
④
3．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

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