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2023届高三一轮复习之极坐标与参数方程专题
（一）公式法（极坐标与直角方程互化）
1．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为，曲线与交于，两点，若，求曲线的普通方程．
2．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；
（2）已知直线（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求的值．
3．已知直线的参数方程为(为参数)，若以直角坐标系的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的倾斜角和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，设点，求.
（二）消参法
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点P是曲线与的公共点，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的极坐标方程.
5．在极坐标系中，直线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为(为参数).
（1）请写出直线的参数方程；
（2）求直线与曲线交点的直角坐标.
6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线（为参数）.
（1）求直线及曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与直线和曲线分别交于异于原点，的两点，求的值.
（三）参数方程中参数的几何意义
7．在极坐标系中，，，，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，己知直线1的参数方程为(t为参数，)，且点P的直角坐标为.
（1）求经过O，A，B三点的圆C的直角坐标方程；
（2）求证：直线l与（1）中的圆C有两个交点M，N，并证明为定值.
8．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）已知，曲线与曲线交于M，N两点，若，求m的值.
9．如图所示，已知曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线的参数方程为，（为参数），若直线与曲线交于、两点，求的值．
（四）范围与最值问题
10．已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).
（1）写出直线与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的最小值.
11．在平面直角坐标系中，圆的圆心坐标为且过原点，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求圆的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）若曲线与圆相交于异于原点的点，是椭圆上的动点，求面积的最大值.
试卷第4页，总4页
极坐标与参数方程参考答案
1．解：（1）将，，代入曲线的极坐标方程，
得曲线的直角坐标方程为，
即．
（2）将（为参数），
代入，可得．
设点，对应的参数分别为，，则，．
因为，
所以（其中），，，
所以，，
故曲线的普通方程为，即．
2．解：（1）由，得，
又，，∴，
即曲线C的直角坐标方程为，
点P的直角坐标为．
（2）把直线l的方程代入C方程，整理得，，
设A、B对应的参数分别是、，则，于是
3．将直线为参数)化为直角坐标系方程为：
直线的斜率为，即直线的倾斜角为
由曲线的极坐标方程：变形得，
所以曲线的直角坐标系方程为．
将直线化为标准参数方程为：(为参数)
代入中，整理得：，
设所对应的参数分别是
，，
.
4．（1）先将平方可得，与再与相减可得
故曲线的普通方程为
∵，
∴，
由，可得曲线的直角坐标方程为；
（2）将曲线与的方程联立得，
解得或，
∴P的直角坐标为或；
设所求圆的圆心坐标为，则其方程为，
当P的坐标为时，代入圆的方程中，可得，则所求圆的直角坐标方程为：故极坐标方程为；
当P的坐标为时，代入圆的方程中，可得 ，则所求圆的直角坐标方程为：故极坐标方程为.
5．（1）∵直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.则直线的直角坐标方程为①设直线的倾斜角为，则，∴，，则直线的参数方程为(为参数).
（2）又∵曲线的参数方程为(为参数).
则曲线的直角坐标方程为②，
联立①②解方程组得或.
故点的直角坐标为与.
6．（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，直线的一般方程为，
直线的极坐标方程为，
曲线（为参数）.消去参数可得
曲线的标准方程为，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）将分别代入和
可得，
所以.
7．（1）由已知O,A,B的极坐标和极直互化公式得O,A,B的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6),∴∠OAB为直角，∴经过O,A,B三点的圆C的圆心为(3,3),且经过原点O,
∴圆C的方程为：；
（2）将直线l的参数方程代入圆C的方程，并整理得：,
此方程的判别式,
∴此方程有两个不等实根，∴直线l与（1）中的圆C有两个交点.
设两个交点M,N所对应的参数值分别为,则是该方程的两个实数根，
∴，由直线l的参数方程和点P的坐标可知，=.
8．(1)曲线： ()，，
由，，所以曲线：
(2)知点P在曲线上，设曲线的参数方程为：(为参数)
M、N所对应的参数分别为、；
将参数方程代入曲线方程中得：，
解得：，.
9．因为，故，
故，即；
（2）设直线的参数方程为（为参数），
若直线与双曲线交于，，则只能交于轴右侧部分，
将直线的参数方程代入，可得．
设，对应的参数分别为，，
故，，
故．
10．解：（1）由消去参数得
所以直线的直角坐标方程为，
由及得，
所以曲线的直角坐标方程为
（2）由得代入得
所以曲线，
因为为曲线上任一点，故可设，
所以，
当且仅当即时取得最小值.
11．（1）依题意：圆的半径，
所以，圆的标准方程为：，得，
由，，，
得的极坐标方程为，
由，得的普通方程为；
（2）由（1）知的极坐标方程为，的普通方程为，
将代入得，.
设，
则到的距离（其中）,
，当时，等号成立，
.

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