资源简介

§1.1　集合的概念
第1课时　集合的概念
知识点一　元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
知识点二　元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A “a不属于A”
知识点三　常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
第2课时　集合的表示
知识点一　列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点二　描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
§1.2　集合间的基本关系
知识点一　子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
2．Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
知识点二　空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
§1.3　集合的基本运算
第1课时　并集与交集
知识点一　并集
知识点二　交集
第2课时　补　集
知识点　全集与补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
2．补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U且x A}
图形语言
§1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件
知识点　充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
1.4.2　充要条件
知识点　充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
§1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
知识点　全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
知识点　含量词的命题的否定
p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M，(x) 全称量词命题的否定是 存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M，(x) 存在量词命题的否定是 全称量词命题
§2.1　等式性质与不等式性质
第1课时　不等关系与不等式
知识点一　基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 a>b a－b>0. a＝b a－b＝0. a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
知识点二　重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
第2课时　等式性质与不等式性质
知识点一　等式的基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
§2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
知识点　基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
思考1　不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？
答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立．
思考2　“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
答案　a＝b ＝ab；a＝b>0 ＝.
第2课时　基本不等式的应用
知识点　用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是正数．
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？
答案　利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等．
§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
知识点一　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式， 叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0， 其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，
我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 {x|x1第2课时　一元二次不等式的应用
知识点一　简单的分式不等式的解法
分式不等式的解法：
知识点二　一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点三　利用不等式解决实际问题的一般步骤
1．选取合适的字母表示题目中的未知数．
2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
§3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
第1课时　函数的概念(一)
知识点　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
第2课时　函数的概念(二)
知识点一　区间
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
知识点二　同一个函数
1．前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系相同．
2．结论：这两个函数为同一个函数．
知识点三　常见函数的值域
1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，
当a>0时，值域为，
当a<0时，值域为.
3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
知识点　函数的表示法
特别提醒　函数三种表示法的优缺点比较
第2课时　分段函数
知识点　分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
§3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
知识点一　增函数与减函数的定义
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)f(x2)
图示
结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
知识点二　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
第2课时　函数的最大(小)值
知识点一　函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
知识点二　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，　ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，　ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
3.2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
知识点　函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
第2课时　奇偶性的应用
知识点一　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点二　函数的奇偶性与单调性
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a§3.3　幂函数
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减
知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
§3.4　函数的应用(一)
知识点　常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f(x)＝
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)
§4.1　指　数
4.1.1　n次方根与分数指数幂
4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
第1课时　n次方根
知识点一　n次方根，根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二　根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
第2课时　分数指数幂、无理数指数幂
知识点一　分数指数幂
1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
知识点二　有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
知识点三　无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
§4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念
知识点一　指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
知识点二　两类指数模型
1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当04.2.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数的图象和性质(一)
知识点　指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x<0时，00时，y>1 当x>0时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
第2课时　指数函数的图象和性质(二)
知识点一　比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点二　解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点三　指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0§4.3　对　数
4.3.1　对数的概念
知识点一　对数的概念
1．对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
知识点二　对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x.
(2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．
知识点三　对数的性质
1．loga1＝0(a>0，且a≠1)．
2．logaa＝1(a>0，且a≠1)．
3．零和负数没有对数．
4.3.2　对数的运算
知识点一　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
拓展：＝logaM(n∈R，m≠0)
知识点二　换底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
§4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
知识点　对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
4.4.2　对数函数的图象和性质
第1课时　对数函数的图象和性质(一)
知识点一　对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
知识点二　反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
它们的定义域与值域正好互换．
第2课时　对数函数的图象和性质(二)
知识点　对数型函数的性质及应用
1．y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
2．logaf(x)(1)讨论a与1的关系，确定单调性．
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
4.4.3　不同函数增长的差异
知识点　三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升
增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长
增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
§4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
知识点一　函数的零点
1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
知识点二　函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
4.5.2　用二分法求方程的近似解
知识点一　二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
知识点二　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c.
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
§5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
知识点一　任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.
3．角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
知识点二　角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知识点三　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
5.1.2　弧度制
知识点一　度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
知识点二　弧度数的计算
知识点三　角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×＝度数
知识点四　弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
§5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念
知识点一　任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数， 记作sin α，即y＝sin α
余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数， 记作cos α，即x＝cos α
正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z
知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三　公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等．即
(sin α＋2kπ ＝sin α， cos α＋2kπ ＝cos α， tan α＋2kπ ＝tan α， 其中k∈Z.
5.2.2　同角三角函数的基本关系
知识点　同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
§5.3　诱导公式(一)
知识点　公式二～四
终边关系 图示 公式
公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α
公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α
公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α
§5.3　诱导公式(二)
知识点　诱导公式五、六
§5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
知识点　正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
正(余)弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
知识点一　函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
第2课时　单调性与最值
知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在每一个闭区间(k∈Z) 上都单调递增， 在每一个闭区间(k∈Z) 上都单调递减 在每一个闭区间 [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上都单调递增， 在每一个闭区间 [2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减
最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时， ymin＝－1
5.4.3　正切函数的性质与图象
知识点　正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
对称性 对称中心(k∈Z)
§5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
知识点　两角差的余弦公式
公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β为任意角
第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
知识点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
知识点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
第3课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
知识点　两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切公式 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切公式 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
知识点　二倍角公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切 tan 2α＝ T2α
5.5.2　简单的三角恒等变换
知识点一　半角公式
sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±＝＝.
知识点二　辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
§5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)
知识点　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
§5.7　三角函数的应用
知识点一　三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义