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题型七　规律探索题
类型一　数式规律
典例精讲
例1　(1)若一列数：1，2，3，4，5，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________，这n(n≥1)个数的和为________；
(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________，这n(n≥1)个数的和为________；
(3)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(4)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(5)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(6)若一列数：4，7，10，13，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(7)若一列数：，1，，，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(8)按一定规律排列的代数式：－a，4a3，－9a5，16a7，…，则第n(n≥1)个代数式是________；
(9)按一定规律排列的分式：，－，，－，…，(其中y≠0)，则第n(n≥1)个分式是________；
(10)按一定规律排列的一列数：2－1，2－3，2－4，2－7，2－11，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，则x、y、z满足的关系式是________；
(11)按一定规律排列的一列数：，，，，…，则前n个数的和为________；
(12)观察下列图形中各数之间的规律，若n＝10，则a的值为________，b的值为________；
例1题图①
(13)观察下列数字：
例1题图②
在上述数字宝塔中，第5层第3个数是13，则49是第________层第________个数．
满分技法
1. 对于循环型的数字规律探索题：
(1)先找出循环周期n；
(2)用N(设问中给出的第N次变化)除以n，当商b余m(0≤m2. 在求多个分数的和时，常考虑拆项相消法：
(1)＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－；
(2)＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝1＋－－＝－.
3. 数阵规律探究求某个数字的位置或者某个位置的数字时需分析数阵中的数字排列方式：
(1)每行、列的个数；
(2)相邻数据的变化特点，并且观察某行或列具有的某些特别的性质(如完全平方数，正整数)等．
4. 对于“杨辉三角”型规律探究，常涉及到以下规律：
(1)每个数等于它上方两数之和；
(2)第n行数字之和为2n－1；
(3)(a＋b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角形的第(n＋1)行中的每一项．
针对训练
1.将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3　　5
7　　9　　11
13 15 17　　19
21 23 25　　27　　29
…
按照以上排列的规律，第25行第20个数是(　　)　　　　 　　　　　 　　　　
A. 639 B. 637 C. 635 D. 633
2. 如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，现用A1表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A1＝1，A2＝2，A3＝1，A4＝1，A5＝3，A6＝3，A7＝1，则A2016＝________．
第2题图
3. 观察下列等式：
x1＝＝＝1＋；
x2＝＝＝1＋；
x3＝＝＝1＋；
　…
根据以上规律，计算x1＋x2＋x3＋…＋x2020－2021＝________.
类型二　图形累加规律
典例精讲
例2　下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第______个图形共有210个小球．
例2题图
满分技法
对于图形个数变化规律探索题，解决的一般步骤为：
1. 标序号：记每个(组)图形的序数为“1，2，3，…，n”；
2. 数图形个数：对应的图形个数用a1，a2，a3，…，an表示；
3. 观察：a1，a2，a3，…，an与对应序数之间的关系；
①图形个数与图序数是倍数或平方关系；
②图形个数与图序数关系不明确时，按照以下步骤找寻关系：
步骤一：列表表示an－an－1的值；
步骤二：将所列等式左右相加，得到(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1的值；
步骤三：表示an.
4. 验证：代入序号检验所得式子是否正确．
针对训练
4. 如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律
排列，依照此规律，第n个图案中三角形的个数比圆的个数多________个．( 用含n 的代数式表示)
第4题图
5. 用大小相等的黑白棋子组成的下列一组图形：
第5题图
按照这样的规律摆下去，若第n个图形中有416枚白棋，则n的值为________．
6. 将大小相同的正三角形按如图所示的规律拼图案，其中图①中有6个小三角形和 1个正六边形；图②中有10个小三角形和2个正六边形；图③中有14个小三角形和3个正六边形；…；按此规律拼下去，若一个小三角形的面积为1，一个正六边形的面积为6，则图⑤中所有小三角形和正六边形的面积之和为________，图中所有的小三角形和正六边形的面积之和为________．
第6题图
典例精讲
例1　(1)n，；(2)2n－1，n2；(3)(－1)n＋1或(－1)n－1；(4)n2；(5)n2－1；(6)3n＋1；(7)；(8)(－1)nn2a2n－1；(9)(－1)n－1·或(－1)n＋1·；(10)xy＝z；
(11)－；【解析】＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝1＋＋－－－＝－.
(12)101，121；(13)10，4.
针对训练
1. A　【解析】由排列的规律可得，前24行共排了1＋2＋3＋…＋24＝300个奇数，所以第25行从左至右的第20个数为第320个正奇数，它为320×2－1＝639.
2. 1953　【解析】 由题意可得，第n行有n个数，故除去前两行的总的个数为－3，当n＝63时，－3＝2013，∵2013＜2016，∴A2016是第64行第三个数，∵第三行第三个数是1，第四行第三个数是3＝1＋2，第五行第三个数是6＝1＋2＋3，…，∴第64行第三个数是1＋2＋3＋…＋62＝＝1953.
3. －　【解析】x1＝1＋＝1＋1－，x2＝1＋＝1＋－，x3＝1＋＝1＋－，…，xn＝1＋＝1＋－，∴x1＋x2＋x3＋…＋xn＝1＋1－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－＝n＋1－，∴x1＋x2＋x3＋…＋x2020－2021＝2021－－2021＝－.
类型二　图形累加规律
典例精讲
例2　20　【解析】∵第1个图形中小球个数为1，第2个图形中小球个数为3＝1＋2，第3个图形中小球个数为6＝1＋2＋3，第4个图形中小球个数为10＝1＋2＋3＋4，…，∴第n个图形中小球个数为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝，当共有210个小球时，即＝210，解得n＝20或n＝－21(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．
针对训练
4. 2n＋1　【解析】第一个图形中有1 个圆，有(1×3)＋1个三角形，第二个图形中有2个圆，有(2×3＋1)个三角形，第三个图形中有3个圆，有(3×3＋1)个三角形，…，以此类推，第n个图形中有n个圆，有(n×3＋1)个三角形，则第n个图中三角形的个数比圆的个数多n×3＋1－n＝(2n＋1)个．
5. 19　【解析】第1个图形中白棋的个数为2×3－4＝2，第2个图形中白棋的个数为3×4－4＝8，第3个图形中白棋的个数为4×5－4＝16，第4个图形中白棋的个数为5×6－4＝26，…，∴第n个图形中白棋的个数为(n＋1)(n＋2)－4，当(n＋1)(n＋2)－4＝416时，解得n＝19(负值已舍去)．
6. 52，10n＋2　【解析】∵图①中有6个小三角形和1个正六边形；图②中有6＋4×1＝10个小三角形和2个正六边形；图③中有6＋4×2＝14个小三角形和3个正六边形；…；∴图中有6＋4(n－1)＝(4n＋2)个小三角形和n个正六边形，∴图⑤中有4×5＋2＝22个小三角形和5个正六边形，∵一个小三角形的面积为1，一个正六边形的面积为6，∴图⑤中所有的小三角形和正六边形的面积之和为22×1＋5×6＝52，图中所有的小三角形和正六边形的面积之和为(4n＋2)×1＋6n＝10n＋2.

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