人教A版(2019)选择性必修第二册5.2导数的运算(含答案)

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人教A版(2019)选择性必修第二册5.2导数的运算(含答案)

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人教A版(2019)选择性必修第二册 5.2导数的运算
一、单选题
1.函数y=x2cos 2x的导数为( )
A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x
B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x
C.y′=x2cos 2x-2xsin 2x
D.y′=2xcos 2x+2x2sin 2x
2.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为
A. B. C. D.
3.函数在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.若函数,则的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数,则( )
A.0 B.2 C.2021 D.2022
6.已知函数的导函数为,记,
.若,则( )
A. B. C. D.
7.设函数,若的导函数是偶函数,则可以是( )
A. B. C. D.
8.已知,则等于( )
A.11 B.10 C.8 D.1
9.函数在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
10.若函数,满足且,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.曲线f(x)=在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=2x+1
B.y=2x-1
C.y=-2x-3
D.y=-2x-2
12.已知函数的导函数为,且满足,则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.能说明“若为偶函数,则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
14.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义:函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上的“严格凸函数”,称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为______.①函数在上为“严格凸函数”;②函数的“严格凸区间”为;③函数在为“严格凸函数”,则的取值范围为.
15.曲线在点处的切线方程为___________.
16.已知定义在上的函数,则曲线在点处的切线方程是______.
17.定义在上的函数满足,的导函数,则___________.
三、解答题
18.已知函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在处的切线方程.
19.已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)求曲线在点处的切线方程.
20.求下列函数的导函数
(1);
(2).
21.求下列函数的导数.
(1);
(2);
(3);
(4).
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.B
利用复合函数的导数运算法则计算即可.
【详解】
y′=(x2)′cos 2x+x2(cos 2x)′=2xcos 2x+x2(-sin 2x)·(2x)′=2xcos 2x-2x2sin 2x
故选:B
2.C
先判断时,在上恒成立;若在上恒成立,转化为在上恒成立.
【详解】
∵,即,
(1)当时,,
当时,,
故当时,在上恒成立;
若在上恒成立,即在上恒成立,
令,则,
当函数单增,当函数单减,
故,所以.当时,在上恒成立;
综上可知,的取值范围是,
故选C.
本题考查分段函数的最值问题,关键利用求导的方法研究函数的单调性,进行综合分析.
3.C
先求出导函数,代入可得切线斜率,再求出切点,进而可得切线方程.
【详解】
解:由已知,
则,
又时,,
则切线方程为.
故选:C.
本题考查利用导数求切线方程,是基础题.
4.B
求导函数,解不等式,结合定义域即可.
【详解】
函数的定义域为,由,得.
故选:B.
5.B
求可得为偶函数,可得,计算可得定值,即可求解.
【详解】
因为,

即,所以是偶函数,所以,
又因为

所以,
故选:B.
6.D
通过计算、、、、,可得、、、,最后计算可得结果.
【详解】
解:,
则,




所以猜想:,



由,,
所以,


故选:D.
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用,属于中档题.
7.A
求出导函数,根据偶函数的性质得到,,,当时,.
【详解】
因为,
所以,
因为为偶函数,所以对任意实数恒成立,
所以对任意实数恒成立,
所以对任意实数恒成立,
所以对任意实数恒成立,
所以对任意实数恒成立,
所以,所以,.
当时,.
故选:A
本题考查了导数的计算,考查了函数的奇偶性,考查了两角和与差的余弦公式,属于中档题.
8.A
求导得,则,解得的值,代入即可求得结果.
【详解】
,求导得,
则,解得,
故,

故选:A.
9.A
由已知结合导数的几何意义及计算即可求解
【详解】
,求导得,
则当时,,所以切线的斜率为2.
又当时,,所以切点为.
所以切线方程为.
故选:A
方法点睛:本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程,求切线常见考法:
(1)已知切点求斜率k,即求该点处的导数值:.
(2)已知斜率k,求切点,即解方程.
(3)若求过点的切线方程,可设切点为,由,求解即可.
10.C
先取,得与之间的关系,然后根据导数的运算直接求导,代值可得.
【详解】
取,则有,即,又因为所以,所以,所以.
故选:C
11.A
对函数f(x)求导,再算出导函数在x=-1时的值,得切线斜率于是得解.
【详解】
,曲线f(x)=在点(-1,-1)处的切线斜率,
曲线f(x)=在点(-1,-1)处的切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
故选:A
12.B
求导得,从而,即可求出,进而求出即可.
【详解】
∵,∴,
令,则,解得,
∴,
∴.
故选:B.
13.(答案不唯一)
根据题中条件,只需任意写出满足题意的函数即可.
【详解】
若,则是偶函数,
但,所以不是奇函数;能满足“若为偶函数,则为奇函数”为假命题.
故答案为:.
本题主要考查命题真假的判定,涉及导数的计算,以及函数奇偶性的判定,属于基础题型.
14.①②
根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.
【详解】
的导函数,,
故在上恒成立,
所以函数在上为“严格凸函数”,所以①正确;
的导函数,,
由可得,解得,
所以函数的“严格凸区间”为,所以②正确;
的导函数,,
因为为上的“严格凸函数”,故在上恒成立,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
故,所以③不正确.
所以正确命题为:①②.
故答案为:①②.
15..
本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】
详解:
所以,
所以,曲线在点处的切线方程为,即.
准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,二导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求.
16.
利用导数的几何意义求出切线斜率,进而可得切线方程.
【详解】
令,得.对求导,得,
所以,故曲线在点处的切线方程为.
故答案为:.
17.
对两边同时求导得,进而得答案.
【详解】
因为,
两边同时求导可得:,
故.
故答案为:
本题考查复合函数导数问题,解题的关键在于根据已知对函数求导,考查运算求解能力,是中档题.
18.(1);
(2).
(1)对函数求导,利用给定条件列式计算即可得解.
(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率,再由直线的点斜式方程即可求出切线方程..
(1)
由求导得:,
又,则,解得,
所以的解析式为.
(2)
由(1)得,,则,
在处的切线方程为,即,
所以f(x)在处的切线方程是:.
19.(1);(2).
(1)求函数定义域,当函数是对数型时,要求真数大于零即可得解.
(2)求导得 求出可得切线方程.
【详解】
(1)由题知:,所以,解得.
所以函数的定义域为.
(2)因为,
所以,
又因为,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
本题考查函数导数的几何意义求切线方程,属于基础题.
20.(1);(2).
( 1)根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可;
( 2)原函数可化为,然后利用反比例函数、对数函数的导数公式可得答案.
【详解】
(1);
(2),
所以.
21.(1)
(2)
(3)
(4)
(1)方法一:将原函数解析式展开,利用导数的运算法则可求得结果;
方法二:利用导数的运算法则直接化简计算可求得结果;
(2)利用导数的运算法则可求得结果;
(3)利用导数的运算法则可求得结果;
(4)利用导数的运算法则可求得结果.
(1)
解:方法一:,
所以,.
方法二:由导数的乘法法则得
.
(2)
解:根据题意把函数的解析式整理变形可得,
所以,.
(3)
解:根据求导法则可得
.
(4)
解:根据题意,利用求导的除法法则可得
.
答案第1页,共2页
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