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人教A版（2019）选择性必修第二册 5.2导数的运算
一、单选题
1．函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
2．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
3．函数在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
6．已知函数的导函数为，记，
．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，若的导函数是偶函数，则可以是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则等于（ ）
A．11 B．10 C．8 D．1
9．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数，满足且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=-2x-3
D．y=-2x-2
12．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.
14．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为______.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.
15．曲线在点处的切线方程为___________．
16．已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______．
17．定义在上的函数满足，的导函数，则___________.
三、解答题
18．已知函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在处的切线方程．
19．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求曲线在点处的切线方程.
20．求下列函数的导函数
（1）；
（2）．
21．求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用复合函数的导数运算法则计算即可．
【详解】
y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
故选：B
2．C
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】
∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
3．C
先求出导函数，代入可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.
【详解】
解：由已知，
则，
又时，，
则切线方程为.
故选：C.
本题考查利用导数求切线方程，是基础题.
4．B
求导函数，解不等式，结合定义域即可．
【详解】
函数的定义域为，由，得．
故选：B．
5．B
求可得为偶函数，可得，计算可得定值，即可求解.
【详解】
因为，
，
即，所以是偶函数，所以，
又因为
，
所以，
故选：B.
6．D
通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.
【详解】
解：，
则，
，
，
，
，
所以猜想：，
，
，
，
由，，
所以，
，
，
故选：D．
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.
7．A
求出导函数，根据偶函数的性质得到，，,当时，.
【详解】
因为，
所以，
因为为偶函数，所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以，所以，.
当时，.
故选：A
本题考查了导数的计算，考查了函数的奇偶性，考查了两角和与差的余弦公式，属于中档题.
8．A
求导得，则，解得的值，代入即可求得结果.
【详解】
，求导得，
则，解得，
故，
，
故选：A.
9．A
由已知结合导数的几何意义及计算即可求解
【详解】
，求导得，
则当时，，所以切线的斜率为2．
又当时，，所以切点为．
所以切线方程为．
故选：A
方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
10．C
先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.
【详解】
取，则有，即，又因为所以，所以，所以.
故选：C
11．A
对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.
【详解】
，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，
曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.
故选：A
12．B
求导得，从而，即可求出，进而求出即可.
【详解】
∵，∴，
令，则，解得，
∴，
∴.
故选：B.
13．(答案不唯一)
根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.
【详解】
若，则是偶函数，
但，所以不是奇函数；能满足“若为偶函数，则为奇函数”为假命题.
故答案为：.
本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.
14．①②
根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.
【详解】
的导函数，，
故在上恒成立，
所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；
的导函数，，
由可得，解得，
所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；
的导函数，，
因为为上的“严格凸函数”，故在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
故，所以③不正确.
所以正确命题为：①②.
故答案为：①②.
15．.
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】
详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
16．
利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】
令，得．对求导，得，
所以，故曲线在点处的切线方程为．
故答案为：.
17．
对两边同时求导得,进而得答案.
【详解】
因为，
两边同时求导可得：，
故.
故答案为：
本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题.
18．(1)；
(2).
(1)对函数求导，利用给定条件列式计算即可得解.
(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程..
(1)
由求导得：，
又，则，解得，
所以的解析式为.
(2)
由(1)得，，则，
在处的切线方程为，即，
所以f(x)在处的切线方程是：.
19．（1）；（2）.
（1）求函数定义域，当函数是对数型时，要求真数大于零即可得解.
（2）求导得 求出可得切线方程.
【详解】
（1）由题知：，所以，解得.
所以函数的定义域为.
（2）因为，
所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
本题考查函数导数的几何意义求切线方程，属于基础题.
20．（1）；（2）.
（ 1）根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可；
（ 2）原函数可化为，然后利用反比例函数、对数函数的导数公式可得答案.
【详解】
（1）；
（2），
所以.
21．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）方法一：将原函数解析式展开，利用导数的运算法则可求得结果；
方法二：利用导数的运算法则直接化简计算可求得结果；
（2）利用导数的运算法则可求得结果；
（3）利用导数的运算法则可求得结果；
（4）利用导数的运算法则可求得结果.
(1)
解：方法一：，
所以，.
方法二：由导数的乘法法则得
.
(2)
解：根据题意把函数的解析式整理变形可得，
所以，.
(3)
解：根据求导法则可得
.
(4)
解：根据题意，利用求导的除法法则可得
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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