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第2节　电势差
学习目标 核心素养形成脉络
1.理解电势差的概念，知道电势差与电势零点的选择无关．2．掌握两点间电势差的表达式，知道两点之间电势差的正负与这两点的电势高低之间的对应关系．3．会用UAB＝φA－φB及UAB＝进行有关计算．4．知道等势面的定义，知道电场线一定垂直于等势面.
一、电势差
1．定义：电场中两点间电势的差值．
2．电场中两点间的电势差与零电势点的选择无关．
3．公式UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，可见UAB＝－UBA．
4．电势差的正负
5．静电力做功与电势差的关系：WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)，即WAB＝qUAB．
二、等势面
1．定义：电场中电势相同的各点构成的面叫作等势面．
2．等势面与电场线的关系：电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．
思维辨析
(1)电场中两点的电势越高，电势差越大．(　　)
(2)UAB＞0说明从A到B电势降低．(　　)
(3)电势差有正负值，是矢量．(　　)
(4)WAB>0说明电荷从A点移到B点的过程中静电力做正功．(　　)
(5)WAB越大，UAB越大，UAB与WAB成正比．(　　)
(6)电场线与等势面可能不垂直．(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
深度思考
如图所示，同一条电场线上的A、B、O三点电势值分别为4 V、1 V、0.
(1)A、B两点间的电势差UAB和B、A两点间的电势差UBA分别为多少？二者有什么关系？
(2)如果取φA＝0，则B、O两点的电势为多少？UAB为多少？UBA为多少？二者有何关系？
(3)由上面的讨论，你能得到什么结论？
提示：(1)UAB＝φA－φB＝3 V
UBA＝φB－φA＝－3 V
UAB＝－UBA
(2)φB＝－3 V，φO＝－4 V
UAB＝φA－φB＝3 V
UBA＝φB－φA＝－3 V
同样有UAB＝－UBA
(3)①电势具有相对性，与零电势点的选取有关，而电势差是绝对的，与零电势点的选取无关．
②电场中两点之间的电势差UAB＝－UBA．
　对电势差的理解
问题导引
电场中A、B、C、D四点的电势如图所示．
(1)A、C及A、B间的电势差各为多少？哪个较大？
(2)若取D点电势为零，则A、B、C三点的电势为多少？A、C及A、B间的电势差各为多少？通过以上计算说明电势、电势差各具有什么特点？
[要点提示]　(1)UAC＝15 V，UAB＝10 V，UAC＞UAB．
(2)φA＝18 V，φB＝8 V，φC＝3 V，UAC＝15 V，UAB＝10 V
电势的大小与零电势点的选取有关，电势差的大小与零电势点的选取无关．
【核心深化】
1．对电势差的进一步理解
(1)电势差反映了电场的能的性质，取决于电场本身，与试探电荷无关．
(2)电场中两点间的电势差与零电势点的选取无关．
2．电势和电势差的比较
电势φ 电势差U
区别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 两点间电势的差值UAB＝φA－φB
决定因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定
相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关
联系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位 相同，均是伏特(V)，常用单位还有kV、mV等
标矢性 都是标量，但均具有正负
　在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为(　　)
A．φA>φB>φC　　　　　 B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB D．φC>φB>φA
[解析]　由UAB＝φA－φB知UAB＝75 V，表示φA比φB高75 V，UBC＝－200 V，表示φC比φB高200 V，所以三点电势高低为φC>φA>φB，故选C．
[答案]　C
eq \a\vs4\al()
电势差的求解技巧
(1)采用直接代入符号运算的方法，会更加便捷，但要注意正负号的运用．
(2)电场中各点间的电势差可依次用代数方法相加，但要注意角标的排序，如UAD＝UAB＋UBC＋UCD，UAB＝－UBA．
(3)利用UAB的正负能判断电场中两点的电势高低．
(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是(　　)
A．UAB＝说明，两点间电势差UAB与WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．UAB和UBA是不同的，它们有关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
D．若φB＝0，则φA＝UAB
解析：选BD．电势差由电场本身决定，与电场力做功、电荷量均无关，A错误；UAB＝－UBA，B正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错误；由UAB＝φA－φB知，若φB＝0时，φA＝UAB，D正确．
　静电力做功与电势差的关系
问题导引
在如图所示的电场中有A、B两点，若选取无穷远处为零电势点，A、B两点的电势分别为φA、φB．
(1)A、B两点的电势差UAB是多少？若把某电荷q从A移到B，电荷的电势能变化了多少？
(2)根据电场力做功与电势能变化的关系，求电场力对该电荷做的功．
[要点提示]　(1)UAB＝φA－φB　电势能的变化量为ΔEp＝EpB－EpA＝q(φB－φA)．
(2)WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝qUAB
【核心深化】
1．公式UAB＝或WAB＝qUAB中正负号的处理方法：
把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大．
2．公式WAB＝qUAB适用于任何电场，其中WAB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．
　(2020·湖北荆门期中)在电场中将2.0×10－9 C的正电荷从A点移到B点，静电力做功1.5×10－7J，再把这个电荷从B点移到C点静电力做功－4.0×10－7 J．求：
(1)AB间、BC间、AC间电势差各是多少？
(2)将－1.5×10－9 C的电荷从A点移到C点静电力做功多少？
[解析]　(1)将一个电荷量2.0×10－9C的正电荷从A点移到电场中的B点，电场力做了1.5×10－7 J的正功，故：UAB＝＝＝75 V
再把这个电荷从B点移到C点，静电力做功为－4.0×10－7J.
UBC＝＝－＝－200 V
UAC＝UAB＋UBC＝75 V＋(－200) V＝－125 V.
(2)把－1.5×10－9 C的电荷从A点移到C点，静电力做功：WAC＝q′UAC＝－1.5×10－9×(－125) J＝1.875×10－7 J.
[答案]　(1)75 V　－200 V　－125 V
(2)1.875×10－7 J
【针对训练】
1．(多选)(2020·福建三明高二期中)关于电势差和电场力做功的说法中，正确的是(　　)
A．电势差的大小由电场力在两点间移动电荷做的功和电荷的电荷量决定
B．电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定
C．电势差是矢量，电场力做的功是标量
D．在匀强电场中与电场线垂直方向上任意两点的电势差均为零
解析：选BD．电势差是反映电场本身的性质的物理量，由电场本身决定，与所移动的电荷无关，A错误；根据电场力做功W＝qU，可知在两点间移动电荷电场力做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定，B正确；电势差有正负，但是正负不表示方向，表示相对大小，是标量，电场力做的功是标量，C错误；在匀强电场中，与电场线垂直的面是等势面，所以在与电场线垂直方向上任意两点间电势差为零，D正确．
2．(2020·人大附中期中)把带电荷量为2×10－8 C的正点电荷从无限远处移到电场中A点，要克服电场力做功8×10－6 J，若把该电荷从无限远处移动到电场中B点，需克服电场力做功2×10－6 J，求：
(1)A点的电势；
(2)A、B两点的电势差；
(3)把2×10－8 C的负电荷由A点移到B点电场力做的功．
解析：(1)无限远处与A点间的电势差：
U∞A＝＝ V＝－400 V，而U∞A＝φ∞－φA，又φ∞＝0，所以φA＝400 V；
(2)无限远处与B点间的电势差：
U∞B＝＝ V＝－100 V，而U∞B＝φ∞－φB，又φ∞＝0，所以φB＝100 V，则A、B两点的电势差为：UAB＝φA－φB＝300 V；
(3)电场力做的功
W＝q′UAB＝－2×10－8×300 J＝－6×10－6 J.
答案：(1)400 V　(2)300 V　(3)－6×10－6 J
　等势面的特点及应用
【核心深化】
1．等势面的特点
(1)在同一等势面内任意两点间移动电荷时，静电力不做功．
(2)空间两等势面不相交．
(3)电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
(4)在电场线密集的地方，等差等势面密集．在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏．
(5)等势面是虚拟的，是为描述电场能的性质而假想的面．
2．等势面的应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低．
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时静电力做功的情况．
(3)由于等势面和电场线垂直，已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布．
(4)由等差等势面的疏密，可以定性地比较其中两点电场强度的大小．
　如图所示，实线为一正点电荷的电场线，虚线为其等势面．A、B是同一等势面上的两点，C为另一等势面上的一点，下列判断正确的是(　　)
A．A点电场强度与B点电场强度相同
B．C点电势高于B点电势
C．将电子从A点沿虚线移到B点，电场力不做功
D．将质子从A点移到C点，其电势能增加
[解析]　A、B两点电场强度大小相等、方向不同，A错误；A、B两点电势相等，均高于C点电势，B错误；A、B在同一等势面上，将电子从A点沿虚线移到B点，电势能不变，电场力不做功，C正确；由于φA＞φC，质子带正电，故将质子由A点移到C点，质子的电势能减少，D错误．
[答案]　C
eq \a\vs4\al()
等势面和电场线的应用
(1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线的方向．
(2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低．
关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　)
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
解析：选B．若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，A错误；电场线一定与等势面垂直，B正确；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相同，C错误；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，D错误．
1．(电势差)下列说法正确的是(　　)
A．电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫电压
B．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
C．UAB表示B点与A点之间的电势差，即UAB＝φB－φA
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势点的不同而改变，所以UAB＝UBA
答案：A
2．(静电力做功与电势差的关系)(多选)对UAB＝和WAB＝qUAB的理解，下列说法正确的是(　　)
A．电场中A、B两点的电势差和两点间移动电荷的电荷量q成反比
B．在电场中A、B两点移动不同的电荷，电场力做的功WAB和电荷量q成正比
C．UAB与q、WAB无关，与是否移动电荷也没有关系
D．WAB与q、UAB无关，与电荷移动的路径无关
答案：BC
3．(等势面)如图所示为某静电场等势面的分布，电荷量为1.6×10－9 C的正点电荷从A经B、C到达D点，则从A至D，电场力对电荷做的功为(　　)
A．4.8×10－8 J　　　　　 B．－4.8×10－8 J
C．8.0×10－8 J D．－8.0×10－8 J
解析：选B．UAD＝φA－φD＝－40 V－(－10) V＝－30 V．所以WAD＝qUAD＝1.6×10－9×(－30) J＝－4.8×10－8 J.
4．(等势面的应用)如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在x轴上有A、B两点，则(　　)
A．A点电场强度小于B点电场强度
B．A点电场强度方向指向x轴负方向
C．A点电场强度大于B点电场强度
D．A点电势低于B点电势
解析：选A．由电场线与等势面的关系可知，电场线一定与等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面，作出相对应的电场线分布，如图所示，可知A、B两点处的电场强度方向应与x轴同向，由电场线的疏密可知，A点处的电场强度EA小于B点处的电场强度EB，A正确．
(建议用时：30分钟)
【合格考练】
1．(多选)(2020·吉林校级联考)下列说法正确的是(　　)
A．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
B．电势差是一个标量，但是有正值和负值之分
C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势面的不同而改变，所以UAB＝UBA
解析：选BC．两点间的电势差由电场中两点的位置决定，与零电势点的选取无关，A错误．电势差是标量，正负表示大小，B正确．电场力做功跟移动电荷的路径无关，由公式W＝qU知电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关，C正确．A、B两点的电势差是恒定的，但有顺序之分，UAB＝－UBA，D错误．
2．(2020·武威市凉州区模拟)对于电场中A、B两点，下列说法正确的是(　　)
A．电势差的定义式UAB＝，说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点电场力所做的功
C．将1 C电荷从A点移到B点，电场力做1 J的功，这两点间的电势差为1 V
D．电荷由A点移到B点的过程中，除受电场力外，还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于电场力所做的功
解析：选C．A、B两点间的电势差反映电场本身的性质，与试探电荷无关，与电场力做功无关，A错误；根据电势差的定义式可知，A、B两点间的电势差等于将单位正电荷从A点移到B点电场力所做的功，B错误；将1 C电荷从A点移到B点，电场力做1 J的功，这两点间的电势差UAB＝1 V，C正确；电荷由A点移到B点的过程中，电荷电势能的变化仍等于电场力所做的功，D错误．
3．正点电荷电场中有A、B两点，将一电荷量q＝＋3.2×10－19 C的试探电荷从电场中的A点移至B点，电场力做功W＝＋6.4×10－20 J，则A、B两点间的电势差U等于(　　)
A．0.5 V　　　　　　 B．0.2 V
C．5 V D．2 V
解析：选B．A、B两点间的电势差U＝＝ V＝0.2 V，故选B．
4．(多选)如果在某电场中将5.0×10－8 C的电荷由A点移到B点，电场力做功为6.0×10－3 J，那么(　　)
A．A、B两点间的电势差是1.2×105 V
B．A、B两点间的电势差是3.0×10－10 V
C．若在A、B两点间移动2.5×10－8 C的电荷，电场力将做3.0×10－3 J的功
D．若在A、B两点间移动1.0×10－7 C的电荷，电场力将做3.0×10－17 J的功
解析：选AC．A、B两点间的电势差UAB＝＝ V＝1.2×105 V，A正确，B错误；在A、B两点间移动2.5×10－8 C的电荷时，A、B间的电势差不变．则电场力做功为WAB′＝q′UAB＝2.5×10－8×1.2×105 J＝3.0×10－3 J，C正确；在A、B两点间移动1.0×10－7 C的电荷时，电场力做功为WAB″＝q″UAB＝1.0×10－7×1.2×105 J＝1.2×10－2 J，D错误．
5．(多选)如图所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功大小比较(　　)
A．WAB＞WAC B．WAD＞WAB
C．WAC＝WAD D．WAB＝WAC
解析：选CD．点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故UAB＝UAC＝UAD，将同一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点，由功的计算公式W＝qU可得电场力做功相同，故选C、D．
6.图中的平行直线表示一簇垂直于纸面的等势面．一个电荷量为－5.0×10－8 C的点电荷，沿图中曲线从A点移到B点，电场力做的功为(　　)
A．－5.0×10－7 J B．5.0×10－7 J
C．－3.5×10－6 J D．3.5×10－6 J
解析：选B．UAB＝φA－φB＝－10 V，WAB＝qUAB＝5.0×10－7 J，B正确．
7．(多选)(2020·邵阳市期中)电荷q在电场中某两点间移动时，电场力做功为W，由此可算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在这两点间移动，则(　　)
A．电场力做功仍为W
B．电场力做功为2W
C．该两点间的电势差仍为U
D．这两点间的电势差变为
解析：选BC．根据电场力做功公式可知，W＝qU，当电荷量为2q时，电场力做功W′＝2qU＝2W，A错误，B正确；两点间的电势差与电场力做功无关，与电荷量的大小无关，C正确，D错误．
8．在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60 V，B、C两点间的电势差UBC＝－50 V，则A、B、C三点电势高低关系是(　　)
A．φA>φB>φC B．φA<φC<φB
C．φA>φC>φB D．φC>φB>φA
解析：选C．因为UAB＝φA－φB＝60 V>0，所以φA>φB，又UBC＝φB－φC＝－50 V<0，所以φB<φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60 V＋(－50 V)＝10 V>0，所以φA>φC，故φA>φC>φB，C正确．
9．(2020·广西南宁期中)如果在某电场中将带电荷量为5.0×10－8 C的正电荷由A点移到B点，电场力做了－6.0×10－3 J的功，那么将带电荷量为5.0×10－8 C的负电荷也由A点移到B点，电场力做的功为(　　)
A．－6.0×10－3 J　　 　 B．6.0×10－3 J
C．－3.0×10－3 J D．3.0×10－3 J
解析：选B．A、B两点间的电势差UAB＝＝ V＝－1.2×105 V．在A、B两点间移动5.0×10－8 C的负电荷时，A、B间的电势差不变．则电场力做功为W′AB＝q′UAB＝(－5.0×10－8)×(－1.2×105) J＝6.0×10－3 J．B正确，A、C、D错误．
【等级考练】
10．如图所示，虚线1、2、3、4为静电场中的等势面，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为零．一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b两点时的动能分别为26 eV和5 eV，当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV 时，它的动能应为(　　)
A．8 eV　　　　　　 B．13 eV
C．20 eV D．34 eV
解析：选C．由于电荷在电场中移动时只有静电力做功，因此能量之间的转化只有动能和电势能之间的转化.1、2、3、4为等差等势面，等势面3的电势为零，从等势面1到等势面4电荷减少的动能为21 eV，所以从1到3减少的动能为14 eV，故电荷在等势面3上的动能为12 eV，故当电势能为－8 eV时，动能为20 eV.故选C．
11．如图所示，虚线为电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等．一个带正电的点电荷在A点的电势能大于其在B点的电势能，则下列说法正确的是(　　)
A．A点的电势比B点的高
B．无法比较A、B两点的电势高低
C．A点的电场强度比B点的大
D．无法比较A、B两点的电场强度大小
解析：选A．正电荷在电场中，在电势越高的位置，电势能越大，A正确，B错误；等差等势面的疏密代表电场强度的大小，故A点的电场强度小于B点的电场强度，C、D错误．
12．(2020·文山州校级联考)如图所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a与c关于MN对称，b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上．以下判断正确的是(　　)
A．b点电场强度大于d点电场强度
B．b点电势高于d点电势
C．试探电荷＋q在a点的电势能小于在c点的电势能
D．a、b两点的电势差等于b、c两点间的电势差
解析：选D．在两等量异号电荷连线上，中点电场强度最小；在两等量异号电荷连线的中垂线上，中间点电场强度最大，所以b点电场强度小于d点电场强度，A错误；MN是一条等势线，与在两等量异号电荷连线上的点相比较，d点的电势要高，所以d点电势高于b点电势，B错误；因a点的电势高于c点的电势，故试探电荷＋q在a点的电势能大于在c点的电势能，C错误；由对称性可知，a、b两点的电势差等于b、c两点间的电势差，故D正确．
13．(2020·黑龙江安达期中)将带电荷量为6×10－6 C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了3×10－5 J的功，再从B移到C，电场力做了1.2×10－5 J的功．
(1)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点和C点的电势能分别为多少？
(2)求A、C两点间的电势差．
解析：(1)规定B点的电势能为零，从A点到B点，负电荷的电势能增加ΔEpAB＝3×10－5 J，可知A点的电势能为EpA＝－3×10－5 J；
电荷从B点到C点，电势能减小ΔEpBC＝1.2×10－5 J，则C点的电势能为EpC＝－1.2×10－5 J；
(2)从A经B到C的过程中，电场力做的功是WAC＝WAB＋WBC
而WAC＝qUAC，所以：WAB＋WBC＝qUAC
代入数据可知AC间的电势差为UAC＝3 V.
答案：(1)－3×10－5 J　－1.2×10－5 J　(2)3 V
14．如图所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，将电荷量为q＝1.2×10－6 C的正电荷在该电场中移动．
(1)把这个电荷从C移到D，静电力做功多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
解析：(1)UCD＝φC－φD＝30 V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J＝3.6×10－5 J.
(2)UDA＝φD－φA＝－30 V－10 V＝－40 V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J＝－4.8×10－5 J
所以电势能增加了4.8×10－5 J.
答案：(1)3.6×10－5 J　(2)增加了4.8×10－5 J

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