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2.2 基本不等式
基本不等式：
当，，我们用，分别代替重要不等式中的，可得：.
基本不等式：如果，，那么，当且仅当时等号成立。
（1）基本不等式成立的条件是：，.
（2）其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。因此，这一基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；
如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
（3）和两者的异同：
①成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
②取等号“＝”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
③可以变形为：，可以变形为：.
利用基本不等式求最值问题：
已知则
如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是。(简记：积定和最小)
如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是。(简记：和定积最大)
（1）利用上述结论，可以快速地求出最大值和最小值，积正实数之积为定值，其和有最小值；而正实数之和为定值，其积有最大值，可简记为：积定和最大，和定积最小.
（2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行“一正，二定，三相等”，具体理解如下：
①“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则容易出现错误的答案：比如函数，当时，绝不能认为，由此得出错误的结论：的最小值为.
②“二定”：即含变量的各项系数的和或者积必须为常数，如果要求的最小值，必须为定值；求的最大值，必须为定值；
③“三相等”，即不等式具备等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值.
在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得出错误的的答案.
（3）常用结论：
①若，则 (当且仅当时取“等号”）；
若，则 (当且仅当时取“等号”）
若，则即或 (当且仅当时取“等号”）
②若，则 (当且仅当时取“＝”）
若，则即或 (当且仅当时取“等号”）
活用几个重要的不等式：
(1)； (2)同号）；
(3)； (4)
一．选择题（共44小题）
1．（2022春 甘孜州期末） 的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021 浙江模拟）若x＜0，则x的最大值为（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2
3．（2022春 韩城市期末）函数的最小值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
4．（2022秋 南关区校级月考）y（x＞0）的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022春 青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2022 涪城区校级开学）若x＞0，y＞0，且x+y＝18，则的最大值为（　　）
A．9 B．18 C．36 D．81
7．（2021秋 驻马店期末）已知a＞0，则当取得最小值时，a的值为（　　）
A． B． C． D．3
8．（2022春 遵义期末）负实数x，y满足x+y＝﹣2，则的最小值为（　　）
A．0 B．﹣1 C． D．
9．（2021秋 临渭区期末）已知x＞1，则的最小值是（　　）
A．3 B．8 C．12 D．20
10．（2022春 青羊区校级月考）若x＞2，则函数的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．
11．（2022春 喀什地区期末）若x＞0，则函数的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．
12．（2022春 丹东期末）若x＞1，则函数的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
13．（2021秋 上街区校级期末）若正数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．16 B．13 C．20 D．15
14．（2022秋 永吉县校级月考）若正实数a，b满足a+4b＝1，则的（　　）
A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8
15．（2022秋 河北月考）已知经过第一、二、四象限的直线经过点P（2，1），则2a+b的最小值为（　　）
A．4 B． C．8 D．9
16．（2022春 满洲里市校级期末）若a，b是两正实数，1，则a+b的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．7+4 D．7+8
17．（2022春 天元区校级期末）若x＞0，y＞0，且，则3x+y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C．14 D．16
18．（2022春 安徽期中）已知正实数x，y满足2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．5 D．7
19．（2021秋 虎林市校级期末）已知正实数x，y满足x+2y＝xy，则x+y的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
20．（2022春 涪城区校级期中）已知实数a＞0，b＞0，且3a+b＝ab，则a+3b的最小值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
21．（2021秋 咸阳期末）已知x＞0，y＞0，若2x+y＝8xy，则xy的最小值是（　　）
A． B． C． D．
22．（2021秋 新乡期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则的最小值为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
23．（2022秋 凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
24．（2022秋 日照月考）设正实数m，n满足m+n＝2，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
25．（2022春 西宁期末）已知x，y都是正数，若x+y＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
26．（2022春 三明期末）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
27．（2022春 青羊区校级月考）已知正实数x，y满足x+2y＝4，则的最小值是（　　）
A．9 B． C． D．
28．（2021秋 永城市期末）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
29．（2022春 开福区校级月考）已知p，q为正实数且p+q＝3，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
30．（2022春 沈阳期末）已知正实数a，b满足2a+b＝6，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
31．（2021秋 天河区期末）设a＞0，b＞0，若ab﹣5＝4a+b，则ab的最小值是（　　）
A．5 B．9 C．16 D．25
32．（2021秋 灵宝市校级期末）若正实数x，y满足x+y+xy﹣3＝0，则x+y的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
33．（2022春 尧都区校级月考）已知正数a，b满足a+4b+2ab＝6，则a+4b的最小值为（　　）
A．1 B． C．4 D．5
34．（2022 亭湖区校级开学）若实数x，y满足：x，y＞0，3xy﹣x﹣y﹣1＝0，则xy的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．（2022秋 沈阳月考）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
36．（2022春 抚顺期末）已知a＞0，b＞0，ab＝1，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．
37．（2021秋 林州市期末）已知a＞0，b＞1，且a（b﹣1）＝4，则a+b的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
38．（2021秋 临沂期末）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则有（　　）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
39．（2021秋 怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）
40．（2021秋 许昌期末）已知{x|a＜x＜b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，则4a+3b的最小值为（　　）
A． B． C． D．
41．（2021秋 连云港期末）函数的最大值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9
42．（2021秋 丹东期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
43．（2021秋 镇江期末）已知正数x，y满足3x﹣4＝9y，则的最小值为（　　）
A．8 B．12 C． D．
44．（2021秋 辽宁期末）已知函数，则f（x）的最小值为（　　）
A． B．﹣1 C．0 D．1
二．填空题（共16小题）
45．（2022秋 长沙月考）已知x，y∈R*，若x+y+xy＝8，则xy的最大值为 　 　．
46．（2022春 杨浦区校级期末）已知实数a、b满足a2+2b2＝2，则（1+a2）（1+b2）的最大值为 　 　．
47．（2021秋 原阳县校级期中）非负实数x，y满足2xy+x+6y﹣6＝0，则x+2y的最小值为　 　．
48．（2022秋 唐山月考）已知a，b＜0，且ab＝a+b+3，则ab的取值范围是 　 　．
49．（2022秋 新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 　 　．
50．（2021秋 广西月考）函数的最小值为 　 　．
51．（2022春 西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则的最小值为 　 　．
52．（2021秋 华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且1，m恒成立，则实数m的取值范围是 　 　．
53．（2021秋 新乡期中）当x∈（﹣1，+∞）时，2x+2的最小值是 　 　．
54．（2021秋 商丘期中）已知x＞0，y＞0，且满足3x2y+2xy2﹣y﹣2x＝0，则3x+2y的最小值为 　 　．
55．（2021秋 中牟县期中）若a＞0，b＞0，ab＝a+b+15，则ab的最小值为 　 　．
56．（2021秋 重庆期末）已知x＞0，y＞0，2xy＝x+y+4，则x+y的最小值为 　 　．
57．（2022春 麻城市校级月考）若x＞0，y＞0，且1，则x+2y的最小值是 　 　．
58．（2021秋 信阳期中）设x＞0，y＞0，x+y＝2xy，则x+y的最小值为 　 　．
59．（2021秋 郑州期中）已知x＞0，y＞0，且满足（x+3）（y+1）＝18，则x+2y的最小值为 　 　．
60．（2021秋 中山市期末）若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最大值为　 　．
2.2 基本不等式
基本不等式：
当，，我们用，分别代替重要不等式中的，可得：.
基本不等式：如果，，那么，当且仅当时等号成立。
（1）基本不等式成立的条件是：，.
（2）其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。因此，这一基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；
如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
（3）和两者的异同：
①成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
②取等号“＝”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
③可以变形为：，可以变形为：.
利用基本不等式求最值问题：
已知则
如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是。(简记：积定和最小)
如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是。(简记：和定积最大)
（1）利用上述结论，可以快速地求出最大值和最小值，积正实数之积为定值，其和有最小值；而正实数之和为定值，其积有最大值，可简记为：积定和最大，和定积最小.
（2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行“一正，二定，三相等”，具体理解如下：
①“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则容易出现错误的答案：比如函数，当时，绝不能认为，由此得出错误的结论：的最小值为.
②“二定”：即含变量的各项系数的和或者积必须为常数，如果要求的最小值，必须为定值；求的最大值，必须为定值；
③“三相等”，即不等式具备等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值.
在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得出错误的的答案.
（3）常用结论：
①若，则 (当且仅当时取“等号”）；
若，则 (当且仅当时取“等号”）
若，则即或 (当且仅当时取“等号”）
②若，则 (当且仅当时取“＝”）
若，则即或 (当且仅当时取“等号”）
活用几个重要的不等式：
(1)； (2)同号）；
(3)； (4)
一．选择题（共44小题）
1．（2022春 甘孜州期末） 的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由已知函数 ，
∵x≥1，∴ ，∴ ，
当且仅当 ，即x＝2 时等号成立，
∴ 当x＝2 时，函数 有最小值是4，
故选：C．
2．（2021 浙江模拟）若x＜0，则x的最大值为（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2
【解答】解：因为x＜0，则﹣x＞0，
则x[（﹣x）+（）]4，
当且仅当﹣x，即x＝﹣2时取等号，此时取得最大值﹣4．
故选：C．
3．（2022春 韩城市期末）函数的最小值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：由题意f（x）＝5x20，
当且仅当5x，即x＝2时取等号，此时取得最小值为20，
故选：C．
4．（2022秋 南关区校级月考）y（x＞0）的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：当x＞0时，yx14﹣1＝3，
当且仅当x即x＝2时取等号，此时函数取得最小值3．
故选：C．
5．（2022春 青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝4，
∴，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
故选：B．
6．（2022 涪城区校级开学）若x＞0，y＞0，且x+y＝18，则的最大值为（　　）
A．9 B．18 C．36 D．81
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝18，
则9，当且仅当x＝y＝9时取等号．
故选：A．
7．（2021秋 驻马店期末）已知a＞0，则当取得最小值时，a的值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：因为a＞0，
则6，当且仅当9a，即a时，等号成立，上式取得最小值．
故选：C．
8．（2022春 遵义期末）负实数x，y满足x+y＝﹣2，则的最小值为（　　）
A．0 B．﹣1 C． D．
【解答】解：∵负实数x，y满足x+y＝﹣2，
∴y＝﹣x﹣2＜0，∴x＞﹣2，∴x+2＞0，
∴xx+22≥22＝0，
当且仅当x+2，即x＝﹣1时取等号，
∴x+22≥0，
∴的最小值为0，
故选：A．
9．（2021秋 临渭区期末）已知x＞1，则的最小值是（　　）
A．3 B．8 C．12 D．20
【解答】解：x＞1，则x﹣1＞0，则（x﹣1）1≥21＝3，
当且仅当x﹣1，即x＝2时取等号，
则的最小值是3，
故选：A．
10．（2022春 青羊区校级月考）若x＞2，则函数的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．
【解答】解：若x＞2，则x﹣2＞0，
则函数，当且仅当x＝4时，等号成立；
故选：B．
11．（2022春 喀什地区期末）若x＞0，则函数的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：由x＞0，得f（x）＝2x22，
当且仅当2x，即x时等号成立，
所以f（x）＝2x的最小值为2．
故选：C．
12．（2022春 丹东期末）若x＞1，则函数的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴函数x
＝x2＝x﹣13≥23＝7，
当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号，
∴的最小值为7，
故选：C．
13．（2021秋 上街区校级期末）若正数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．16 B．13 C．20 D．15
【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝1，
则（）（a+b）＝1010+216，
当且仅当且a+b＝1，即a，b时取等号，此时取得最小值16．
故选：A．
14．（2022秋 永吉县校级月考）若正实数a，b满足a+4b＝1，则的（　　）
A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8
【解答】解：因为正实数a，b满足a+4b＝1，
则59，
当且仅当且a+4b＝1即b，a时取等号，此时取得最小值9．
故选：B．
15．（2022秋 河北月考）已知经过第一、二、四象限的直线经过点P（2，1），则2a+b的最小值为（　　）
A．4 B． C．8 D．9
【解答】解：由题意得1，a＞0，b＞0，
所以2a+b＝（2a+b）（）＝59，
当且仅当且1即a＝b＝3时取等号，此时2a+b取得最小值9．故选：D．
16．（2022春 满洲里市校级期末）若a，b是两正实数，1，则a+b的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．7+4 D．7+8
【解答】解：因为a，b是两正实数，1，
则a+b＝（a+b）（）＝77+4，
当且仅当且1，即a＝4+2，b＝3+2时取等号．故选：C．
17．（2022春 天元区校级期末）若x＞0，y＞0，且，则3x+y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C．14 D．16
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且，
则3x+y＝（3x+y）（）＝612，当且仅当且，
即x＝2，y＝6时取等号．故选：A．
18．（2022春 安徽期中）已知正实数x，y满足2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．5 D．7
【解答】解：∵2x+y＝xy可得1，∴x+2y＝（x+2y）（）＝55+29，
当且仅当x＝y时，取得最小值9．故选：B．
19．（2021秋 虎林市校级期末）已知正实数x，y满足x+2y＝xy，则x+y的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y＝xy，
∴1，∴x+y＝（x+y）（）＝33+23，
当且仅当x2＝2y2 时，等号成立，
则x+y的最小值为3+2，
故选：D．
20．（2022春 涪城区校级期中）已知实数a＞0，b＞0，且3a+b＝ab，则a+3b的最小值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且3a+b＝ab，所以1，
所以a+3b＝（a+3b）（）＝1+910+216，
当且仅当a＝b＝4时“＝”成立，所以a+3b的最小值为16．故选：C．
21．（2021秋 咸阳期末）已知x＞0，y＞0，若2x+y＝8xy，则xy的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为x＞0，y＞0且8xy＝2x+y≥2，当且仅当2x＝y时取等号，
解得，xy，故xy的最小值．故选：C．
22．（2021秋 新乡期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则的最小值为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
【解答】解：由题意，，
当且仅当，即，时等号成立．故选：B．
23．（2022秋 凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：因为a，b为正实数且a+b＝2，
所以1≥21＝2+1＝3，当且仅当，即a＝b时等号成立，
所以的最小值为3．故选：D．
24．（2022秋 日照月考）设正实数m，n满足m+n＝2，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为正实数m、n，满足m+n＝2，
所以，
当且仅当且m+n＝2，即，时取等号，
所以的最小值是．
故选：C．
25．（2022春 西宁期末）已知x，y都是正数，若x+y＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：已知x，y都是正数，且x+y＝2，
则（x+y）（）（5）（5+2），当且仅当x，y时等号成立，
所以的最小值为：．
故选：B．
26．（2022春 三明期末）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
【解答】解：∵正实数a，b满足，∴ab+1＝2b，∴ab＝2b﹣1，
∴4b2＝（4b）（a）2＝（4ab5）2≥（25）22，
当且仅当4ab，即a，b，时取等号，
∴的最小值是，
故选：A．
27．（2022春 青羊区校级月考）已知正实数x，y满足x+2y＝4，则的最小值是（　　）
A．9 B． C． D．
【解答】解：正实数x，y满足x+2y＝4，整理得（x+1）+2y＝5；
故，
当且仅当时，等号成立．
故选：D．
28．（2021秋 永城市期末）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵m+n＝2，
∴（m+1）+（n+1）＝4，
∴（）[m+1）+（n+1）][5]（5+2]，
当且仅当且m+n＝2，即m，n时取等号，
故选：B．
29．（2022春 开福区校级月考）已知p，q为正实数且p+q＝3，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为p，q为正实数且p+q＝3，
所以p+2+q+1＝6，
则（）（p+2+q+1）（2）（2+2），
当且仅当且p+q＝3，即q＝2，p＝1时取等号，
此时取最小值，
故选：A．
30．（2022春 沈阳期末）已知正实数a，b满足2a+b＝6，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为正实数a，b满足2a+b＝6，
则（2a+b+2）（）（5）（5+4），
当且仅当且2a+b＝6，即，时，取等号，此时取得最小值．
故选：C．
31．（2021秋 天河区期末）设a＞0，b＞0，若ab﹣5＝4a+b，则ab的最小值是（　　）
A．5 B．9 C．16 D．25
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴4a+b4，当且仅当4a＝b时，等号成立，
∴ab﹣5，即ab﹣45≥0，
解得，∴ab≥25，当且仅当a，b＝10时，等号成立，∴ab的最小值是25，
故选：D．
32．（2021秋 灵宝市校级期末）若正实数x，y满足x+y+xy﹣3＝0，则x+y的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：0＝x+y+xy﹣3≤x+y+（）2﹣3，
可得（x+y）2+4（x+y）﹣12≥0，可得x+y≤﹣6，或x+y≥2，
因为x，y为正实数，所以x+y≥2（当且仅当x＝y＝1时取等号），
所以x+y的最小值为2．
故选：B．
33．（2022春 尧都区校级月考）已知正数a，b满足a+4b+2ab＝6，则a+4b的最小值为（　　）
A．1 B． C．4 D．5
【解答】解：因为正数a，b满足a+4b+2ab＝6，
所以a+4b＝6﹣2ab＝6，当且仅当a＝4b，即b，a＝2时取等号，
解得a+4b≥4，
则a+4b的最小值为4．
故选：C．
34．（2022 亭湖区校级开学）若实数x，y满足：x，y＞0，3xy﹣x﹣y﹣1＝0，则xy的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为x，y＞0，3xy﹣x﹣y﹣1＝0，
所以3xy﹣1＝x+y，当且仅当x＝y时，取等号，
则3xy﹣21≥0，即（3）（ ）≥0
可得，则xy≥1，
故选：A．
35．（2022秋 沈阳月考）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：因为正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，
所以yx＞0，
所以0＜x，
所以3x+y＝2x4，当且仅当2x，即x＝1时取等号，
故选：B．
36．（2022春 抚顺期末）已知a＞0，b＞0，ab＝1，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，ab＝1．
∴，
当且仅当，即a+b＝2，又ab＝1，
即当a＝b＝1时，等号成立，
∴的最小值为4．
故选：B．
37．（2021秋 林州市期末）已知a＞0，b＞1，且a（b﹣1）＝4，则a+b的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵a＞0，b＞1，且a（b﹣1）＝4，
∴a0，∴a+b（b﹣1）+1≥21＝5，当且仅当时取“＝“，
故选：C．
38．（2021秋 临沂期末）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则有（　　）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【解答】解：∵a＞0，且a2﹣b+4＝0，∴，
当且仅当a＝2时取等号，∴有最大值为，
故选：A．
39．（2021秋 怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）
【解答】解：因为x＞0、y＞0，且1，
2x+y＝（2x+y）（）＝59，
当且仅当且1，即x＝y＝3时取等号，此时2x+y取得最小值9，
若2x+y＜m2﹣8m有解，则9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1，
故选：A．
40．（2021秋 许昌期末）已知{x|a＜x＜b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，则4a+3b的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为{x|a＜x＜b}是不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，
所以a，b是方程nx2﹣2x+1＝0的两个实数根且n＞0，
所以a+b，ab，所以2，且a＞0，b＞0；所以4a+3b （4a+3b） （）
（7）（7+2）（7+4）2，
当且仅当b＝2a时“＝”成立；所以4a+3b的最小值为2．
故选：C．
41．（2021秋 连云港期末）函数的最大值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9
【解答】解：由题意可得函数的定义域为{x|x≠0 }，则：x2＞0，
所以1﹣（2x2）≤1﹣27，
当且仅当2x2，即x时取等号，所以函数的最大值是﹣7．
故选：B．
42．（2021秋 丹东期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：由a＞0，b＞0，且a+b＝2，可得b＝2﹣a，a+1+b＝3，
所以11（）（a+1+b）
＝1（），
当且仅当b2＝（a+1）2，即a，b时，等号成立，故的最小值为，
故选：B．
43．（2021秋 镇江期末）已知正数x，y满足3x﹣4＝9y，则的最小值为（　　）
A．8 B．12 C． D．
【解答】解：因为正数x，y满足3x﹣4＝9y＝32y，所以x﹣4＝2y，即x＝2y+4，
则2y412，
当且仅当2y，即y＝2，x＝8时取等号，此时的最小值为12．
故选：B．
44．（2021秋 辽宁期末）已知函数，则f（x）的最小值为（　　）
A． B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：f（x）＝x2+23，令x2+2＝t（t≥2），
y＝t3，y′＝10，即y＝t1在t∈[2，+∞）单调递增，
所以当t＝2时，y有最小值23，
即x＝0时，f（x）有最小值．
故选：A．
二．填空题（共16小题）
45．（2022秋 长沙月考）已知x，y∈R*，若x+y+xy＝8，则xy的最大值为 　4　．
【解答】解：∵正数x，y满足x+y+xy＝8，
∴，即，解得，
故xy≤4，当且仅当x＝y＝2时取等号．
∴xy的最大值为4，
46．（2022春 杨浦区校级期末）已知实数a、b满足a2+2b2＝2，则（1+a2）（1+b2）的最大值为 　　．
【解答】解：∵a2+2b2＝2，
∴（1+a2）（1+b2）（1+a2）（2+2b2）（）2，
当且仅当1+a2＝2+2b2时取到等号．
47．（2021秋 原阳县校级期中）非负实数x，y满足2xy+x+6y﹣6＝0，则x+2y的最小值为　2　．
【解答】解：由2xy+x+6y﹣6＝0，得x（2y+1）+3（2y+1）＝9，即（2y+1）（x+3）＝9．
又（2y+1）（x+3）≤（）2，所以9，
即（x+2y+4）2≥36，则x+2y+4≥6或x+2y+4≤﹣6（舍去），所以x+2y≥2．
当且仅当，即x＝0、y＝1时等号成立．
所以x+2y的最小值为2．
48．（2022秋 唐山月考）已知a，b＜0，且ab＝a+b+3，则ab的取值范围是 　（0，1]　．
【解答】解：∵a，b＜0，且ab＝a+b+3，
∴a+b＝﹣（﹣a﹣b）≤﹣2，
∴ab＝a+b+3≤﹣23，
整理得ab+23＝（1）（3）≤0，
∵a，b＜0，∴01，∴ab的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
49．（2022秋 新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 　43　．
【解答】解：因为ab+a+b＝3，所以a，
则2a+b＝2bb
b﹣23＝4，
当且仅当，即b＝21时取等号，此时最小值为43，
故答案为：4．
50．（2021秋 广西月考）函数的最小值为 　　．
【解答】解：y （x2） （22） ，
当且仅当x，即x＝2时，等号成立；
故函数的最小值为；
51．（2022春 西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则的最小值为 　　．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝2，
则3，当且仅当且x+2y＝2，即y，x＝3时取等号，
52．（2021秋 华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且1，m恒成立，则实数m的取值范围是 　（﹣∞，4]　．
【解答】解：由1，得1，又x＞0，y＞0，
所以（）＝（）（）＝22+24，
当且仅当，即x＝4，y＝6时等号成立，
所以的最小值为4，
又m恒成立，所以m≤4，
53．（2021秋 新乡期中）当x∈（﹣1，+∞）时，2x+2的最小值是 　2　．
【解答】解：由于x∈（﹣1，+∞），所以x+1＞0，
则，当且仅当时，等号成立；
54．（2021秋 商丘期中）已知x＞0，y＞0，且满足3x2y+2xy2﹣y﹣2x＝0，则3x+2y的最小值为 　2　．
【解答】解：∵3x2y+2xy2﹣y﹣2x＝0，
∴3x2y+2xy2＝y+2x，∴3x+2y，
（3x+2y）2＝（3x+2y）（）＝77+27（）2，
当即yx时取“＝”号，
∴3x+2y≥2，
55．（2021秋 中牟县期中）若a＞0，b＞0，ab＝a+b+15，则ab的最小值为 　25　．
【解答】解：∵a，b＞0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a+b＝ab﹣15≥2，即ab﹣215≥0，
解得5，
∴ab的最小值为25．
56．（2021秋 重庆期末）已知x＞0，y＞0，2xy＝x+y+4，则x+y的最小值为 　4　．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴xy，
∵2xy＝x+y+4，∴x+y+4，
即（x+y）2﹣2（x+y）﹣8≥0，
解得x+y≥4或x+y≤﹣2（舍去），
即x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时等号成立，
所以x+y的最小值4，
57．（2022春 麻城市校级月考）若x＞0，y＞0，且1，则x+2y的最小值是 　9+4　．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且1，
所以x+2y＝（x+2y）（）＝99+4，
当且仅当且1，即x＝1+2，y＝4时取等号，
此时x+2y取得最小值9+4．
58．（2021秋 信阳期中）设x＞0，y＞0，x+y＝2xy，则x+y的最小值为 　2　．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2xy，xy≤（）2，
∴x+y，
∴x+y≥2，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
59．（2021秋 郑州期中）已知x＞0，y＞0，且满足（x+3）（y+1）＝18，则x+2y的最小值为 　7　．
【解答】解：x+2y＝（x+3）+2（y+1）﹣5，
由x+3＞0，y+1＞0，
可得x+2y．
当且仅当x+3＝2（y+1）＝6，即x＝3，y＝2时等号成立，
则x+2y的最小值为7．
60．（2021秋 中山市期末）若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最大值为　　．
【解答】解：因为xy≠0，所以，
又x＞0，y＞0，x+2y＝1，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．

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