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第一章、集合、常用逻辑、函数
第一节　集　合 四基精演练
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　) (2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)
(3)对于任意两个集合A、B，关系(A∩B) (A∪B)恒成立．(　　)
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
2．(知识点2)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)
A．{a} A　B．a A C．{a}∈A D．a A　
3.（知识点3）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则（ RA）∩B＝　　　　.
4．(知识点3)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}. 若A∩B＝{1}，则B＝(　　)　 A．{1，－3}　B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
考点一　集合的含义及表示[基础练通]
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．9　B．8 C．5 D．4
2．(2018·湖北八校联考)设A＝，B＝{|a－2|，－2}，已知4∈A且4 B，则a的取值集合为________．
3．若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________．
1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
考点二　集合间的基本关系[探究变通]
[例1]　(1)(2018·成都模拟)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　) A．AB　B．BA C．A B D．B＝A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
[母题变式] 1．本例(2)中若B A变为A B则实数m的取值集合为________．
2．本例(2)中的集合A若变为A＝{x|x＜－2或x＞5}，则实数m的取值集合为________．
1．判定集合间的基本关系有(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
[易错提醒]　在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
考点三　集合的基本运算[多维贯通]
命题点1 交集、并集、补集的混合运算
[例2]　(1)(2018·天津卷)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{－1，1} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．{2，3，4}
(2)(2018·湖北孝感模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|x2≤x}，则 A∪B(A∩B)＝(　　) A．(－∞，0) B． C．(－∞，0)∪ D．
命题点2 利用集合运算求参数
[例3]　(1)(2018·辽宁锦州质检)已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　) A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
(2)(2018·海口模拟)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠ ，则实数a的取值范围是(　　) A．－1≤a＜2 B．a≤2 C．a≥－1 D．a＞－1
集合运算的关注点
解集合运算问题应注意如下三点：(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；(2)对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
(2018·西安西北工业大学附属中学模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|x2－5x＋4＜0，x∈Z}，若A∩B≠ ，则a等于(　　)
A．2 B．3 C．2或3 D．2或4
2．(2018·石家庄二检)设集合A＝{x|－1＜x≤2}，B＝{x|x＜0}，则下列结论正确的是(　　) A．A∪B＝{x|x＜0} B．( RA)∩B＝{x|x＜－1}
C．A∩B＝{x|－1＜x＜0} D．A∪( RB)＝{x|x≥0}
与集合有关的创新问题：以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
[例4]　(1)(2018·南昌模拟)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)
A．1　B．3 C．7 D．31
(2)(2018·兰州诊断)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x N}，M N＝(M－N)∪(N－M)，若A＝，B＝{x|x＜0，x∈R}，则A B＝(　　)
A.　　B． C.∪[0，＋∞)
D．∪(0，＋∞)
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．
[素材库]
1．(2018·河北省邢台市月考)已知全集U＝{x∈Z|0＜x≤8}，集合A＝{x∈Z|2＜x＜m}(2＜m＜8)，若 UA的元素的个数为4，则m的取值范围为(　　)
A．(6，7] B．[6，7) C．[6，7] D．(6，7)
2．(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩( RB)＝(　　) A．{x|0＜x≤1}　B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
3．(2018·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则 UA＝(　　)
A． B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级　基础夯实练
1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则 RA＝(　　)
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
3．(2018·广西南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2－2x＜0}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M∩N＝M B．M∪( RN)＝M C．N∪( RM)＝R D．M∪N＝M
4．(2018·南昌模拟)已知集合M＝{x|x2－4x＜0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m＋n等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6
5．(2018·西安模拟)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M (A∩B)的集合M的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3
6．(2018·石家庄重点高中毕业班摸底)已知集合M＝，N＝，则M∩N＝(　　)
A． B．{(3，0)，(0，2)} C．[－2，2] D．[－3，3]
7．(2018·鹰潭模拟)已知集合A＝{x|1＜2x≤16}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
8．(2018·太原阶段性测评)设集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
A．{1} B．{0} C．{－1，0} D．{－1，0，1}
9．(2018·广州模拟)已知集合A＝{4，a}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，若A∩( ZB)≠ ，则实数a的值为(　　) A．2 B．3 C．2或4 D．2或3
10．(2018·淮北二模)已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋2a≥0}，N＝{x|log2(x－1)＜1}，若集合M∩( UN)＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为(　　)
A．a＝ B．a≤ C．a＝－ D．a≥
B级　能力提升练
11．(2018·衡水模拟)已知集合A＝{0，1，2m}，B＝{x|1＜22－x＜4}，若A∩B＝{1，2m}，则实数m的取值范围是(　　)
A. B． C.∪ D．(0，1)
12．(2018·辽宁恒大附中测试)对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“≯”：P≯Q＝{x|x∈P∪Q且x P∩Q}．如果P＝{x|1≤3x≤9}，Q＝{x|y＝}，则P≯Q＝(　　) A．[1，2] B．[0，1]∪[2，＋∞)
C．[0，1]∪(2，＋∞) D．[0，1)∪(2，＋∞)
13．(2017·江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
14．(2018·汕头模拟)已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．
15．(2018·宁波三模)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＋a≥0，x∈R}，B＝{x|x2－2x－8≤0}．若( UA)∩B＝[－2，4]，则实数a的取值范围是________．
C级　素养加强练
16．(2018·深圳模拟)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为________．
第二节　常用逻辑用语
四基精演练、1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“若α＝，则tan α＝1”的否命题是“若α＝，则tan α≠1”．(　　)
(2)若p是q的充分不必要条件，则 p是 q的必要不充分条件．(　　)
(3)若命题p∧q为假命题，则p、q都是假命题．(　　)
(4) x0∈M，p(x0)与 x∈M， p(x)的真假性相反．(　　)
2．(知识点1)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0　
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
3．(知识点2)设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件　
4．(知识点3、4)已知命题p： x∈R，2x＜3x；命题q： x0∈R，使x＝1－x，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q　B．( p)∧q C．p∧( q) D．( p)∧( p)　
考点一　命题及其真假的判断[基础练通]
1．(2018·江西鹰潭二模)下列命题中错误的是(　　)
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨( q)”为真命题
B．命题“若a＋b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题
C．命题“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2－x＝0，则x≠0且x≠1” D．命题p： x0＞0，sin x0＞2x0－1，则 p为 x＞0，sin x≤2x－1
2．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，2x＞0　B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x0∈R，lg x0＜1 D． x0∈R，tan x0＝
3．已知命题p： x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b.下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∧( q) C．( p)∧q D．( p)∧( q)
1．命题真假的判定：给出一个命题，要判定它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．
2．四种命题的关系的应用：掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当直接判断一个命题的真假不易进行时，可以判断其逆否命题的真假．
3．判断“p∧q”“p∨q”“ p”形式命题的真假关键是准确判断简单命题p、q的真假；再由真值表判断复合命题的真假．
考点二　充分条件与必要条件的判断
[探究变通]
[例1]　(1)(2018·沈阳模拟)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∈M”是“m∈N”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)(2018·长春二模)给定两个命题p，q.若 p是q的必要不充分条件，则p是 q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[母题变式] 若本例(1)中的“m∈M”“m∈N”改为：“m M”“m N”，其他不变，则“m M”是“m N”的________条件．
充分条件与必要条件的判断方法
1．定义法：分别判断命题“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
2．集合法：设p、q对应的集合分别为P，Q，利用集合间的包含关系进行判断．
3．利用原命题与其逆否命题同真假来判断．
1．(2018·天津卷)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
★2.(2018·惠州调研)命题“ x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4　B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
考点三　含参命题中参数的取值范围
[创新贯通] [例2]　(1)(2018·烟台模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．
★(2)(2018·唐山二模)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
[母题变式] 1．若本例(1)中的“p∧q”变为“p∨q”其他条件不变，如何解？
2．本例(2)中，若将“ x2∈[1，2]”改为“ x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．
1．已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
2．对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
3．(2018·苏州模拟)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
4．(2018·汕头二模)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q： x＞0，2x－a＞0.若“ p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2，1] C．(1，2) D．(1，＋∞)
逻辑用语的转化技巧：等价转化是一种重要的数学思想，体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”的求解策略．本节内容蕴含了丰富的等价转化思想，对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一种解题思路．因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是等价转化的前提，同时也是灵活解题的基础．
[例3]　[一题多解]已知p：－3≤x≤13，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，换用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．
[素材库]
(2018·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3]　B．(－∞，－2]∪[2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞)
A级　基础夯实练
1．(2018·清华大学自主招生能力测试)“ x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)
A． x∈R，x2－πx＜0　B． x∈R，x2－πx≤0
C． x0∈R，x－πx0≤0 D． x0∈R，x－πx0＜0
2．(2018·衡水模拟)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
3．(2018·武汉质检)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(　　)
A．( p)∨( q)为真命题 B．p∨( q)为真命题
C．( p)∧( q)为真命题 D．p∨q为真命题
4．(2018·太原联考)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2019·吉林实验中学期末)下列命题中正确的是(　　)
A．命题“ x0∈R，使得x－1＜0”的否定是“ x∈R，均有x2－1＞0”
B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题
C．命题“若x2＝y2，则x＝y”的逆否命题是真命题
D．命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的否命题是“若x≠3，则x2－2x－3≠0”
6．(2018·日照二模)已知命题p：存在x0∈R，x0－2＞lg x0；命题q：任意x∈R，x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且 q”是假命题；③命题“ p或q”是真命题；④命题“p或 q”是假命题．其中所有正确结论的序号为(　　)A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③
7．(2018·山东菏泽模拟)函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　) A．a＜0 B．0＜a＜ C.＜a＜1 D．a≤0或a＞1
8．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
9．(2018·豫西南五校联考)若“ x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________．
10．(2018·青岛模拟)已知命题p： x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．现有以下结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧ q”是假命题；③命题“ p∨q”是真命题；④命题“ p∨ q”是假命题．
其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)
B级　能力提升练
11．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12．(2018·温州模拟)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
13．(2018·江西上饶二模)已知命题p：对任意x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x；命题q：存在x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．( p)∧( q) C．p∧( q) D．( p)∧q
14．(2018·沈阳模拟)有关下列说法正确的是(　　)
A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的必要不充分条件 B．若p： x0∈R，x－x0－1＞0，则 p： x∈R，x2－x－1＜0 C．命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题是“若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1” D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是( p∧q)∨( q∧p)为真命题
15．(2018·佛山模拟)已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“ x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
C级　素养加强练
(2018·湖北襄阳模拟)设p：实数a满足不等式3a≤9，q：函数f(x)＝x3＋x2＋9x无极值点． 已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2－a＋m＞0，若r是 t的必要不充分条件，则正整数m的值为________．
第三节　函数及其表示
四基精演练 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(　　)
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
2．(知识点1)函数f(x)＝＋log2(6－x)的定义域是________．
3．(知识点2)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．　
4．(知识点3)设函数f(x)＝则f(f(3))等于______．　
考点一　求函数的定义域[基础练通]
1．(2018·长沙模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2，0)∪(0，2]　B．(－1，0)∪(0，2] C．[－2，2] D．(－1，2]
2．y＝f(x)的定义域是[1，2 020]，则函数g(x)＝的定义域是________．
3．设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f(f(x))的定义域为________．
1．求函数的定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
考点二　求函数的解析式[探究变通]
[例1]　(1)[一题多解]已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
(2)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________．
★(3)(2018·泉州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
[母题变式] 1．若本例(1)中条件变为f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________．
2．若本例(2)中条件变为2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________．
求函数解析式常用的方法
1．求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、转换法、解方程组法．2．使用换元法时，换元后要注意新元的取值范围．
考点三　分段函数的应用[创新贯通]
命题点1 求分段函数的函数值
[例2]　(1)设f(x)＝ f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2　B．4 C．6 D．8
（2）(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
命题点2 分段函数与方程、不等式的交汇问题
[例3]　设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________．
分段函数问题的求解策略
1．根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．2．已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
1．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
2．(2018·厦门模拟)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
与函数有关的新定义问题：以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新的问题．
[例4]　设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的五个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2x－2－x；⑤f(x)＝2sin x－1，
其中是“美丽函数”的序号有________．
1．紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．
2．巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x，y取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．
3．构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．
[素材库]
1．(2018·长沙市高三模拟)定义运算：x Δy＝例如：3Δ4＝3，(－2)Δ4＝4，则函数f(x)＝x2Δ(2x－x2)的最大值为________．
2．(2018·济宁高三模拟)如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：①y＝－x3＋x＋1；②y＝3x－2(sin x－cos x)；③y＝ex＋1；④f(x)＝以上函数是“H函数”的是________．(填上所有正确的序号)
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级　基础夯实练
1．(2018·河南濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(　　)
A.　B． C．(－1，0)∪ D．(－∞，－1)∪
2．已知函数f(x)＝若f(2 019)＝0，则a＝(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．－2
3．(2018·山西太原二模)若函数f(x)满足f(1－ln x)＝，则f(2)等于(　　)
A. B．e C. D．－1
4．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)
A．1 B． C. D．
5．(2018·宁波模拟)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
6．(2018·南昌模拟)已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝其中满足“倒负”变换的函数是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①
7．(2018·河南南阳模拟)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
(2018·湖北十堰月考)若f(x)＝，则f(x)的定义域为________．
9．(2018·广东韶关模拟)已知函数f(x)＝
若f(1)＝，则f(3)＝________．
10．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
B级　能力提升练
11．(2018·山东济南模拟)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(　　) A．－ B．－ C．－或－ D．或－
12．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3，0) C．[－3，－1] D．{－3}
13．(2018·陕西西安模拟)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为(　　) A．2 B．1 C. D．－
14．(2018·福州调研)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　) A.　B．[0，1] C. D．[1，＋∞)
15．(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________．
16．(2018·柳州模拟)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
第四节　函数的单调性与最值
教材细梳理、知识点1　函数的单调性 单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
思考1：若f(x)的单调递减区间为(a，b)和(c，d)，设x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，且x1＜x2，则f(x1)＞f(x2)成立吗？
提示：不成立，如f(x)＝.
思考2：若函数f(x)的单调增区间是M和它在区间N上单调递增，则M与N有怎样的关系？
提示：N M.
[拓展] 1．函数的单调性定义中的x1、x2的三个特征是任意性、有大小、同属于一个单调区间．
2．f(x)的单调减区间为(a，b)，且t1、t2∈(a，b)．f(t1)＜f(t2) b＞t1＞t2＞a.
知识点2　函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M ③对于任意x∈I，都有f(x)≥M
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ④存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
思考：(1)若函数的最值存在，那么它一定是值域中的元素吗？(2)若函数的值域是开区间，那么函数还存在最值吗？
提示：(1)是．(2)不存在．
四基精演练
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(2)对于函数f(x)，x∈D，若任意的x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　)
(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(4)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(知识点1)设函数f(x)＝是R上的减函数，那么实数a的取值范围是(　　)　
A．(0，1) B． C. D．
解析：当x≤1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a为减函数，则3a－1＜0，即a＜；当x＞1时，f(x)＝logax为减函数，则0＜a＜1，且3a－1＋4a≥0，即≤a＜1.
综上，≤a＜.选C.
3．(知识点2)函数f(x)＝在[2，6]上的最大值和最小值分别是________．　
解析：函数f(x)＝＝＝2＋在[2，6]上单调递减，所以f(x)min＝f(6)＝＝，f(x)max＝f(2)＝＝4. 答案：4，
4．(知识点1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是________．　
解析：要使函数有意义，则x2－2x－8＞0，解得：x＜－2或x＞4，结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
考点一　求函数的最值[基础练通]
1．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________．
解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)在上单调递增，
所以即解得a＝.答案：
2．[一题多解]对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：解法一：在同一坐标系中，
作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
解法二：依题意，h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，
当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
答案：1
求函数最值的常用方法
1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
3．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
考点二　确定函数的单调性(区间)[探究变通]
[例1]　(1)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的递减区间为______．
解析：f(x)＝
＝画出函数图象如图所示，可知单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．答案：[－1，0]和[1，＋∞)
(2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1，2]上的单调性．
解：当a∈(1，3)时，函数f(x)＝ax2＋在[1，2]上单调递增．
证明：设1≤x1＜x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.又因为1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，
得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．
[母题变式] 1．若本例(1)中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解析：作出函数y＝|－x2＋2x＋1|＝的图象如图所示．由图象可知，单调递减区间为(－∞，1－)和(1，1＋)．
答案：(－∞，1－)和(1，1＋)
2．若本例(2)中函数变为f(x)＝(a≠0)，试判断f(x)在(－1，1)上的单调性．
解：解法一(定义法)：设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－1，1)上递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递增．
解法二(导数法)：f′(x)＝＝＝－，当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上递增．
1．求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
2．(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
1．函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．
解析：函数f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，且f(x)＝lg x2＝函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)
2．(2018·银川模拟)函数f(x)＝(x－2)|x|的单调增区间为________．
解析：由于f(x)＝(x－2)|x|＝结合图象(图略)可知函数的单调增区间是(－∞，0)，[1，＋∞)．答案：(－∞，0)，[1，＋∞)
考点三　函数单调性的应用[创新贯通]
命题点1 利用单调性比较大小
[例2]　(2018·南昌模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b　B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
解析：由x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立知，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．又f(x)的图象关于直线x＝1对称，由此可得f＝f.因为1＜2＜＜e，所以f(2)＞f＞f(e)，故b＞a＞c. 答案：D
命题点2 利用单调性解不等式
[例3]　已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的范围是(　　) A．(0，－1) B．(－1，＋1) C．(0，＋1) D．(－1，－1)
解析：作出函数f(x)＝的图象如图所示，不等式f(1－x2)＞f(2x)，等价于或解得－1＜x＜－1.答案：D
命题点3 利用单调性求参数的范围
[例4]　(2018·北京西城区模拟)已知函数f(x)＝x|x|，若存在x∈[1，＋∞)，使得f(x－2k)－k＜0，则k的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C. D．
解析：∵当x≥0时，f(x)＝x2，当x＜0时，f(x)＝－x2，∴函数f(x)在R上单调递增．由选项知k＞0，∴f(x－2k)－k＜0 f(x－2k)＜()2 f(x－2k)＜f() x－2k＜ x＜2k＋.∵存在x∈[1，＋∞)，使得x＜2k＋，即xmin＜2k＋，∴1＜2k＋，解得k＞.答案：D
1．比较函数值的大小，应先将自变量转化到同一个单调区间内，再利用函数的单调性解决．
2．求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)＜f(n)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，应注意m，n应在定义域内取值．
3．利用单调性求参数时，应根据问题的具体情况，确定函数的单调区间，列出与参数有关的不等式，或把参数分离出来求解．
3．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A. B． C．(2，3) D．
解析：由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得，化简得0＜a≤.选A.
4．(2018·九江模拟)已知函数f(x)为定义在[0，1]上的单调递减函数，若f(x＋2)≤f，则x的取值范围是(　　)
A．[1－，1＋] B．[1－，－1]
C．[－2，1＋] D．[－，－1]
解析：因为函数f(x)为定义在[0，1]上的单调递减函数且f(x＋2)≤f，
所以1≥x＋2≥x2≥0，所以所以1－≤x≤－1，选B.
单调性与抽象函数的交汇创新
研究抽象函数的单调性主要利用定义来完成，但变形有一定的技巧性，在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
[例5]　(2018·西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.
解：(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数． (2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，
故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养．
[素材库]
(2018·德州模拟)已知函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2＞x1＞－1时，＞0恒成立，设a＝f(－2)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b　B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
解析：由已知可得，函数f(x)的图象关于x＝－1对称，则有f(x)＝f(－2－x)，
∴f(－2)＝f[－2－(－2)]＝f(0)，由x2＞x1＞－1时，＞0恒成立，知f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，又－＜0＜3，∴f(3)＞f(0)＞f，即c＞a＞b.选A.
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级　基础夯实练
1．(2018·江西上饶模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A.　B．－ C．－2 D．2
解析：函数f(x)＝－x＋在上单调递减，可知f(x)的最大值为f(－2)＝2－＝.选A.
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)
A．[1，2] B．[－1，0) C．[0，2] D．[2，＋∞)
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝作出函数图象如图所示：结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]．选A.
3．(2018·陕西汉中模拟)已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，即c≤－1.由c＝－1 c≤－1，但c≤－1c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件．选A.
4．(2018·厦门调研)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：由x2－4＞0，得x＞2或x＜－2，故f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t＝x2－4，则f(x)＝logt(t＞0)．∵t＝x2－4在(－∞，－2)上是减函数，且f(x)＝logt在(0，＋∞)上是减函数，∴函数f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．选D.
5．(2018·深圳质检)已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2) C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：作出f(x)＝的图象，如图，由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.选C.
6．(2018·苏州模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0)　B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选C.由f(x)＞，得－1＜x＜1，由f(x)≤，得x≤－1或x≥1.
所以f(x)＝故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
7．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C.
D.∪
解法一：选A.易知y＝ln(1＋|x|)，y＝－是偶函数，所以f(x)是偶函数．当x＞0时，y＝ln(1＋|x|)单调递增，y＝－单调递增，所以f(x)＝ln(1＋|x|)－在x∈(0，＋∞)上单调递增．求使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围等价于解绝对值不等式|x|＞|2x－1|，即x2＞(2x－1)2，化简为(3x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1.因此选A.
解法二：(特殊值法)当x＝0时，f(x)＝－1，f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－，－1＜ln 2－，排除选项B和C. 当x＝1时，f(x)＝f(2x－1)，排除选项D.因此选A.
8．(2018·太原模拟)已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)＞f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知可得解得－3＜a＜－1或a＞3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
9．(2018·石家庄调研)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
解析：由于y＝在R上单调递减，y＝－log2(x＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.答案：3
10．(2018·张家口检测)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，
由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0，1)．答案：[0，1)
B级　能力提升练
11．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析：选B.因为函数y＝log2x与函数y＝＝－的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)＜f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.
12．(2018·株洲二模)定义新运算 ：当a≥b时，a b＝a；当a＜b时，a b＝b2，则函数f(x)＝(1 x)x－(2 x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)
A．－1 B．1 C．6 D．12
解析：由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.选C.
13．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0，2)单调递增 B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析：解法一：选C.f(x)的定义域为(0，2)．由于f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，从而对f(x)的研究可转化为对二次函数g(x)＝2x－x2(x∈(0，2))的研究．因为g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x＝1是y＝g(x)的图象的对称轴．从而排除A，B，D，故选C.
解法二：由于f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x，即f(x)＝f(2－x)，故可得y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故选C.
14．(2018·潍坊二模)已知f(x)＝，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，0) C．(0，2) D．(－2，0)
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a＜2a－x，即x＜在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜，即a＜－2.选A.
15．(2018·唐山模拟)如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：①y＝ex＋x；②y＝x2；③y＝3x－sin x；④f(x)＝
以上函数是“H函数”的所有序号为________．
解析：因为对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，所以不等式等价为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数．①函数y＝ex＋x在定义域上为增函数，满足条件．②函数y＝x2在定义域上不单调，不满足条件．③y＝3x－sin x，y′＝3－cos x＞0，函数单调递增，满足条件．④f(x)＝当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H函数”的函数为①③.答案：①③
C级　素养加强练
16．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.其中正确命题的所有序号是________．
解析：根据题意可画出函数图象，由图象可知，①显然正确；
函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在上恒成立，则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜成立，故④正确．答案：①③④
第五节　函数的奇偶性与周期性
教材细梳理 知识点1　函数的奇偶性
函数奇偶性的实质是函数在关于原点对称的两个自变量处函数值的关系，具体为：
前提(必要条件) 奇偶性 满足的充要条件 图象特征 特性
函数f(x)的定义域关于原点对称 奇函数 定义域中任意的x，都有f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 如果定义域中包含0，那么f(0)＝0
偶函数 定义域中任意的x，都有f(－x)＝f(x) 关于y轴对称
思考：函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数和偶函数吗？反之，成立吗？
提示：一定是．反之，也成立．
[拓展]　奇偶性的重要结论
1．如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
2．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
知识点2　函数的周期性
(1)周期函数：对于定义域中任意的x和一个非零常数T，f(x＋T)＝f(x)恒成立 f(x)是以T为周期的周期函数．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是最小正周期)．
思考：若函数y＝f(x)(x∈R)是周期函数，则其周期唯一吗？是否有最小正周期？
提示：不唯一．若T是y＝f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z)也是函数的周期．若函数y＝f(x)是常数函数，则y＝f(x)是周期函数，且无最小正周期．
[拓展]　周期性的常用结论：设函数y＝f(x)，x∈R，a＞0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则2a为f(x)的一个周期；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则2a为f(x)的一个周期；
(3) 若f(x＋a)＝，则2a为f(x)的一个周期；
(4)若f(x＋a)＝－，则2a为f(x)的一个周期.
知识点3　函数图象的对称性
(1)函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x) y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称．
(2)函数y＝f(x)满足f(x)＝f(2a－x) y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称．
思考：若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(－x)与f(x＋a)＝f(x)有什么区别？
提示：前者函数y＝f(x)关于直线x＝对称，后者当a≠0时函数是周期函数．
四基精演练
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(　　)
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．(　　)
(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
2．(知识点1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　)　A．－2　B．0 C．1 D．2
解析：选A.f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
3．(知识点2)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，　
f(x)＝则f＝________．
解析：由题意得：f＝f＝－4×＋2＝1.答案：1
4．(知识点3)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2，2]　　B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3]
解析：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递减函数，且为奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝1，所以原不等式可化为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，则－1≤x－2≤1，即1≤x≤3，选D.
考点一　函数的奇偶性及其应用[基础练通]
1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数　B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．
解析：∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－4＝－2. 答案：－2
3．(2018·潍坊二模)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.选A.
1．判断函数的奇偶性要注意两点：
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提．
(2)判断关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
2．函数奇偶性的应用主要有：利用函数的奇偶性求函数解析式；利用函数的奇偶性研究函数的单调性；利用函数的奇偶性解不等式；利用函数的奇偶性求最值等．
考点二　函数的周期性及其应用[探究变通]
[例1]　(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 019)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(－1＋4×505)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.答案：－1
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．
解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0
[母题变式] 1．若本例(1)中的条件不变，则f(x)(x∈[2，4])的解析式是________．
解析：当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.答案：f(x)＝x2－6x＋8
2．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________．
解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0
函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案：3
考点三　函数性质的综合应用[创新贯通]
命题点1 函数的奇偶性与单调性的综合
[例2]　(2018·武汉检测)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0.设a＝ln，b＝(ln m)2，c＝ln，其中m＞e，则(　　) A．f(a)＞f(b)＞f(c)　B．f(b)＞f(a)＞f(c)
C．f(c)＞f(a)＞f(b) D．f(c)＞f(b)＞f(a)
解析：根据已知条件知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，|a|＝ln m＞1，b＝(ln m)2＞|a|，0＜c＝ln m＜|a|，∴f(c)＞f(a)＞f(b)．选C
命题点2 函数的周期性与奇偶性的综合
[例3]　[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0 C．2 D．50
解析：解法一：∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，①又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(－x)＝f(2＋x)，②由①②得f(2＋x)＝－f(x)，③
用2＋x代替x得f(4＋x)＝－f(2＋x)．④由③④得f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的最小正周期为4.由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝0＋2＋0＝2.故选C.
解法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2，故选C.答案：C
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
1．函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
2．周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
2．(2018·兰州诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．选D.
★3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，令t＝x＋4，则x－2＝t－6，所以f(t)＝f(t－6)，所以函数f(x)的周期为6，f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)＝f(－1)＝6.答案：6
函数的“三性”与抽象函数的交汇
以学习过的函数单调性、奇偶性、周期性相关知识为基础，利用单调性、奇偶性、周期性的定义、公式、变形形式等，经过一系列的推理、计算迅速解决问题．
[例4]　(2018·临沂联考)若定义在[－2 020，2 020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2 020，2 020]，x2∈[－2 020，2 020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2 019，且x＞0时有f(x)＞2 019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　)
A．2 019　B．2 020 C．4 040 D．4 038
解析：令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2 019，所以f(0)＝2 019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2 019＝2 019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4 038，令g(x)＝f(x)－2 019，则g(x)max＝M－2 019，g(x)min＝N－2 019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4 038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2 019＋N－2 019＝0，所以M＋N＝4 038.答案：D
函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性．
[素材库]
1．(2018·惠州市调研考试)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1＜x2时，都有＞0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(15)，c＝f(2 019)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
解析：由①知函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 019)＝f(252×8＋3)＝f(3)，b＝f(15)＝f(7)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(7)，c＝f(3)＝f(5)．因为函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即c＜a＜b，选B.
2．(2018·广西桂林市、柳州市高三综合模拟金卷)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为________．
解析：∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(1)＝0，f(x)在(－∞，0)上也是增函数，＝2＜0，即或根据f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，且f(－1)＝f(1)＝0，解得x∈(－1，0)∪(0，1)．答案：(－1，0)∪(0，1)
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级　基础夯实练
1．(2018·唐山二模)函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)
A．－3　B．－1 C．1 D．2
解析：选B.由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.∴f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1，故选B.
2．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：易知函数f(x)的定义域为R且关于原点对称．∵f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又∵y＝3x在R上是增函数，y＝－在R上是增函数，∴f(x)＝3x－在R上是增函数．选A.
3．(2018·南京模拟)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：设g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．∴g(x)是奇函数，∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0，因此f(lg 2)＋f＝2.选D.
4．(2018·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　　)
A.＋1 B．－1 C．－－1 D．－＋1
解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝1－.选D.
5．(2018·乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A. B． C. D．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，∴f(|2x－1|)＜f，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|＜，∴－＜2x－1＜，解得＜x＜，选A.
已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
解析：当x＞时，由f＝f可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，又由题意知f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝2，选D.
7．(2018·青岛模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1) C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0
解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)，选C.
8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________．
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，又∵f(x)的周期为2，
∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，令x＝－1，得f(1)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0.又∵f＝f＝－f＝－4＝－2.∴f＋f(1)＝－2.
答案：－2
9．已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________．
解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.答案：－1
10．(2018·武汉模拟)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．
解析：依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)
＝2－1＋21－1＋20－1＝.答案：
B级　能力提升练
11．(2018·莆田模拟)对于函数f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是(　　)
A．2和1 B．2和0 C．2和－1 D．2和－2
解析：设g(x)＝asin x＋bx3＋cx，g(x)为定义域上的奇函数，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B选项中两个值的和为2.选B.
12．(2018·佛山模拟)已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是(　　)
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c
解析：因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．所以函数f(x)的周期为4，又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，所以函数在[0，1]上单调递增，
因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，
c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，又因为f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.选B.
(2018·西安模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.选C.
14．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝(　　) A．0 B．2 C．3 D．4
解析：∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0.则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，选B.
15．(2018·内蒙古包头模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．
解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.答案：－8
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，在区间上是增函数，且函数y＝f(x－3)为奇函数，则(　　) A．f(－31)＜f(84)＜f(13)
B．f(84)＜f(13)＜f(－31) C．f(13)＜f(84)＜f(－31) D．f(－31)＜f(13)＜f(84)
解析：根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，则有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)为周期为6的周期函数．若函数y＝f(x－3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f(x)＝－f(－6－x)，又由函数的周期为6，则有f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为奇函数．又由函数在区间上是增函数，则函数f(x)在上为增函数，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，则有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，选A.
C级　素养加强练
17．(2018·泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．
解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．由f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)为周期函数．f(x＋2)＝－f(x) f(－x＋2)＝－f(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以函数关于x＝1对称．由f(x)在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．
答案：①②③④
学科素养专题一　巧用函数性质妙解函数
函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，解题过程中要深刻理解并加以巧妙地运用．
应用一　奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
[典例1]　设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析：显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案：2
应用二　函数周期性的应用
已知定义在R上的函数f(x)，若对任意x∈R，总存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么T＝2a.是f(x)的一个周期函数
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么T＝2a.是f(x)的一个周期函数
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么T＝2a.是f(x)的一个周期函数
.(4)如果f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，那么T＝6a.是f(x)的一个周期函数
[典例2]　(2018·河北衡水模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＝(　　)
A．－2　　B．－1 C．0 D．1
解析：因为f＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－f＝f(x)，所以f(x)的周期为3.
则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝－1，故选B.答案：B
应用三　函数对称性的应用
1．函数图象自身的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点对称．特别地，若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
2．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
[典例3]　(2018·天津河西区二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－2，0] C．[－5，－1] D．[－2，1]
解析：由定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函数，可得函数图象关于直线x＝1对称，且函数f(x)在(－∞，1)上递减，由此得出自变量离1越近，函数值越小．观察四个选项，发现0，1不存在于A，C两个选项的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通过验证a的值(取0与1时两种情况)得出正确选项．当a＝0时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)变为f(2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|2－1|≤|x－1－1|，解得x≥3或x≤1，满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈恒成立，由此排除A，C两个选项；当a＝1时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)变为f(x＋2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|x＋2－1|≤|x－1－1|，解得x≤，不满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈恒成立，由此排除D选项．综上可知，选B.答案：B
第六节　二次函数与幂函数
教材细梳理 知识点1　幂函数
(1)幂函数的定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种幂函数的图象
(3)五种幂函数的性质
函数式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
思考：幂函数的图象能经过第四象限吗？
提示：不能．因为当x＞0时，y＝xα＞0.
知识点2　二次函数的图象与性质
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在x∈上单调递增，在x∈上单调递减 在x∈上单调递增，在x∈上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点坐标
对称性 图象关于直线x＝－对称
思考：函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定在顶点处取到最大(小)值吗？
提示：不一定．因为最值的取得还与自变量的取值区间有关，当x＝－不在自变量的取值区间内时，则最值就不能在顶点处取到最值．
四基精演练
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)
(2)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(知识点1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)　
A.　B．1 C. D．2
解析：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.选C.
3．(知识点1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)　
A．a＜b＜c　B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：根据指数函数的单调性和幂函数的单调性可比较大小．因为函数y＝0.6x是减函数，0＜0.6＜1.5，所以1＞0.60.6＞0.61.5，即b＜a＜1.因为函数y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函数，1＜1.5，所以1.50.6＞10.6＝1，即c＞1.综上，b＜a＜c.选C.
4．(知识点2)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．　
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
考点一　幂函数的图象与性质[基础练通]
1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)
解析：选C.设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方．
2．(2018·银川模拟)若a＝，b＝，c＝，则下列正确的是(　　)
A．a＞b＞c　B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：因为y＝x在第一象限内为增函数，所以a＝＞c＝，因为y＝是减函数，所以c＝＞b＝，所以a＞c＞b.选B.
3．(2018·保定质检)已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.
又m∈N*，所以m＝1或m＝2.由于f(x)的图象关于y轴对称．所以m2－2m－3为偶数，又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，所以m＝2舍去，因此m＝1.答案：1
1．求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究．
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较．
考点二　二次函数解析式的确定[探究变通]
[例1]　[一题多解]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解：解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，所以＝8，解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[母题变式] 1．若本例条件变为：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足(1)不等式f(x)＋2x＞0的解集为{x|1＜x＜3}，(2)方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，则函数f(x)的解析式为________．
解析：因为f(x)＋2x＞0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0，
所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
解得a＝1或a＝－.由于a＜0，舍去a＝1.所以f(x)＝－x2－x－.
2．若本例条件变为：二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且对 x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，则函数f(x)的解析式为________．
解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为x＝2.又因为f(x)的图象在x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，a＝1.
所以所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
答案：f(x)＝x2－4x＋3
二次函数解析式的求法
考点三　二次函数的图象与性质[创新贯通]
命题点1 二次函数图象的识别
[例2]　(2018·深圳二模)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是(　　) A．②④　B．①④ C．②③ D．①③
解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确．对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误．结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案：B
命题点2 二次函数在闭区间上的最值问题
[例3]　(1)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上有最大值2，则a的值为________；
解析：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，则1－a＝2，即a＝－1.当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，则a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，解得a＝(舍去)．当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，则a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.答案：－1或2
(2)(2018·福州模拟)若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．
解析：作出函数y＝x2－2x＋3的图象如图所示．由图象可知，要使函数在区间[0，m]上取得最小值2，则1∈[0，m]，从而m≥1.
当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝3，所以要使函数取得最大值为3，则m≤2.故所求m的取值范围为[1，2]．答案：[1，2]
命题点3 与二次函数有关的恒成立问题
[例4]　(1)(2018·厦门调研)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有即解得－＜m＜0.答案：
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．
解析：由题意得x2＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k＜1.故k的取值范围为(－∞，1)．答案：(－∞，1)
1．二次函数最值问题的解题思路
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的思路
解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．
1．(2018·定州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5，4]，则n的取值范围是(　　) A．[2，5]　B．[1，5] C．[－1，2] D．[0，5]
解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，所以f(2)＝4，又由f(x)＝－5，得x＝－1或5，画出f(x)的图象如图，由f(x)的图象知，2≤n≤5. 选A.
★2.(2018·河南开封模拟)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的对称轴为x＝－(a－2)，对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系，画出函数图象如图(1)，(2)，(3)，由图(1)(2)(3)知：
或或解得a∈ 或1≤a＜4或－＜a＜1，
所以a的取值范围为.答案：
“三个二次”模型间的转化
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决．
[例5]　已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1) (1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)≥－1恒成立，求a的范围；(3)若f(x)＝0的两根都在[0，1]上，求a的范围．
解：(1)①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.
②当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.
ⅰ.当0＜≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上递增．∴f(x)min＝f＝－＝－.
ⅱ.当＞1，即0＜a＜1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
③当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
(2)只需f(x)min≥－1，即可．由(1)知，当a＜1时，a－2≥－1，∴a≥1(舍去)；
当a≥1时，－≥－1恒成立，∴a≥1.
(3)由题意知f(x)＝0时，x＝0，x＝(a≠0)，0∈[0，1]，∴0＜≤1，∴a≥2.限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级　基础夯实练
1．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)
A.　　B．±　C．±9　　D．9
解析：由f(4)＝4α＝2可得α＝，即f(x)＝x，f(m)＝m＝3，则m＝9.选D.
2．(2018·茂名模拟)已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间上的最小值是(　　) A．－1　B．0 C．－2 D．
解析：由题设3a＝ a＝－1，故g(x)＝(2x－1)x－1＝2－在上单调递增，则当x＝时取最小值g＝2－2＝0.选B.
3．(2018·济南统考)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．[0，4] B． C. D．
解析：二次函数y＝x2－3x－4的图象的对称轴为直线x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合图象易得m∈.选D.
4．(2018·福州模拟)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则(　　)
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25 C．f(1)≤25 D．f(1)＞25
解析：选A.函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，由已知可得≤－2，得m≤－16，所以f(1)＝4×12－m×1＋5＝9－m≥25.
5．(2018·赣州模拟)函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ba＞0 B．a＋b＞0 C．ab＞1 D．loga2＞b
解析：由图象可知a＞1，b＜0，故loga2＞0，所以loga2＞b.选D.
6．(2018·郑州模拟)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
解析：A项，因为a＜0，－＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，由图象知f(0)＝c＜0，故A项不可能；B项，因为a＜0，－＞0，所以b＞0，又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B项不可能；C项，因为a＞0，－＜0，所以b＞0，又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C项不可能；D项，因为a＞0，－＞0，所以b＜0，又因为abc＞0，所以c＜0，由图象知f(0)＝c＜0.选D.
7．(2018·衡阳模拟)设二次函数f(x)＝ax2－4ax＋c在区间[0，2]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，0]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞) D．[0，4]
解析：二次函数f(x)＝ax2－4ax＋c在区间[0，2]上单调递减，又因为它的对称轴是直线x＝2，所以a＞0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(4)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤4.选D.
8．(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
解析：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.答案：－1
9．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．
解析：x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋，x∈[0，1]，所以当x＝0或1时，x2＋y2取最大值1；当x＝时，x2＋y2取最小值.因此x2＋y2的取值范围为.答案：
10．(2018·深圳模拟)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．当x＝0时，－3＜0，符合题意；当x≠0时，a＜－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.综上，实数a的取值范围是.
B级　能力提升练
11．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
解析：设x1，x2分别是f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，此值与a有关，与b无关．选B.
12．(2018·厦门模拟)已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若对于任意实数x，f(x)与g(x)中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(0，2] B．(－2，2] C．(－∞，－2) D．(0，＋∞)
解析：对于(2－t)x2－4x＋1＝0，Δ＝16－4(2－t)×1＝8＋4t.当t＝0时，f(x)＝0，Δ＞0，g(x)有正有负，不符合题意，故排除B；当t＝2时，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，符合题意，故排除C；当t＞2时，f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1，当x趋近于－∞时，f(x)与g(x)都为负值，不符合题意，故排除D，选A.
13．(2018·临沂质检)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，则(　　)
A． m∈A，都有f(m＋3)＞0 B． m∈A，都有f(m＋3)＜0
C． m0∈A，使得f(m0＋3)＝0 D． m0∈A，使得f(m0＋3)＜0
解析：选A.由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，当x＞1时，f(x)＞0.由a＞b，得1＞，
设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，则x1＋1＝－＞－1，即x1＞－2，
由f(m)＜0可得－2＜m＜1，所以1＜m＋3＜4，由抛物线图象可知，f(m＋3)＞0，
14．(2018·西安二模)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③xf(x1)＞xf(x2)；④xf(x1)＜xf(x2)．其中正确结论的序号是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析：选C.设函数f(x)＝xα，依题意有＝2，所以α＝－，因此f(x)＝x－.
令g(x)＝xf(x)＝x·x－＝x，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而0＜x1＜x2，
所以g(x1)＜g(x2)，即x1f(x1)＜x2f(x2)，故①错误，②正确；令h(x)＝＝＝x－，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而0＜x1＜x2，所以h(x1)＞h(x2)，即eq \f(f（x1）,x)＞eq \f(f（x2）,x)，于是xf(x1)＞xf(x2)，故③正确，④错误，故选C.
15．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)＝x2－2tx＋1，在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t的值为________．
解析：函数f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴是x＝t，函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5.若t≤2，则函数f(x)在区间[2，5]上是增函数，故f(x)max＝f(5)＝25－10t＋1＝8，解得t＝；若t≥5，函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，此时f(x)max＝f(2)＝4－4t＋1＝8，解得t＝－，与t≥5矛盾．综上所述，t＝.答案：
16．(2018·河北衡水模拟)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对

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