资源简介

班级： 姓名： 科目： 制作人： 审核：
03 不等式、基本不等式专题复习训练
专题重难点：
用不等式表示不等式关系
由不等式的性质比较两个数的大小
作差法比较两个数的大小
由不等式的性质证明不等式或者求参数的范围
利用基本不等式最值
基本不等式应用---“1”的妙用及配凑法求最值
基本不等式的恒成立问题
二次与二次（一次）的商式最值
基本不等式的实际应用
重难点突破：
一、单选题
1．若a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知,其中,则的大小关系为( )
A． B． C． D．大小不确定
4．下列函数的最小值为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤
6．设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A． B． C．5 D．6
二、填空题
10．已知，则的取值范围是_____．
11．已知正实数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为_____________．
12．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______.
三、解答题
13．已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；
已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
14．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
15．已知函数，的解集为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值．
16．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低 最低造价是多少
03 不等式、基本不等式专题复习训练
参考答案
1．A
【分析】
按照不等式的性质逐一判断即可得出结果.
【详解】
因为，由不等式的性质得成立，故A正确；
若，当时，成立，故B错误；
若，当时，，故C错误；
若，当时，成立，故D错误；
故选：A.
2．A
【分析】
作差后因式分解，即可判断大小.
【详解】
因为，，
所以，即,选A.
【点睛】
本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.
3．C
【详解】
分析：作差法，用，判断其符号．
详解：，所以，．故选C．
点睛：作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键．
4．C
【解析】
分析：利用基本不等式的性质即可判断出正误，注意“一正二定三相等”的使用法则．
详解：A.时显然不满足条件；
B .其最小值大于2．
D . 令
因此不正确．
故选C.
点睛：本题考查基本不等式，考查通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
5．A
【分析】
由于x＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x，再求出左侧最大值即可求解.
【详解】
由题：对于任意的x＞0，不等式恒成立，
即对于任意的x＞0，不等式恒成立，
根据基本不等式：，当且仅当时，取得等号，
所以的最大值为，
所以.
故选：A
【点睛】
此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.
6．D
【分析】
根据，化简，根据均值不等式，即可求得答案；
【详解】
当时，
，
当且仅当时，即取等号，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．C
【分析】
由变形，代入式子得到，取，带入化简利用均值不等式得到答案.
【详解】
，
设
原式
当即时有最大值为
故答案选C
【点睛】
本题考查了最大值，利用消元和换元的方法简化了运算，最后利用均值不等式得到答案，意在考查学生对于不等式知识的灵活运用.
8．D
【分析】
由题意知，，运用基本不等式即可求出最小值．
【详解】
由题意知，，
因为，所以，
则，（当且仅当，即时取“=”）
故的最小值是5.
故答案为D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题．
9．C
【详解】
由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
10．
【分析】
利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.
故答案为：
11．
【分析】
由等式x+4y﹣xy＝0，变形得，将代数式x+y与代数式相乘并展开，利用基本不等式可求出x+y的最小值，从而可求出m的取值范围．
【详解】
由于x+4y﹣xy＝0，即x+4y＝xy，等式两边同时除以xy得，，
由基本不等式可得，
当且仅当，即当x＝2y=6时，等号成立，
所以，x+y的最小值为9．
因此，m≤9．
故答案为m≤9．
【点睛】
本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．
12．
【分析】
用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得最小值后可得结论．
【详解】
因为，要使恒成立，所以，解得.
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值．
13．当时，y的最小值为7． ，时，xy的最大值为6．
【分析】
直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．
直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．
【详解】
已知，
则：，
故：，
当且仅当：，
解得：，
即：当时，y的最小值为7．
已知，，，
则：，
解得：，
即：，
解得：，时，xy的最大值为6．
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
14．（1）证明见解析；（2）1.
【分析】
（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】
证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
【点睛】
该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
15．（1）；（2）.
【分析】
（1）由的解集为，结合根与系数关系求可求的值，进而得到的解析式；（2）化简函数式为，结合基本不等式求最大值即可；
【详解】
（1）因为函数，的解集为，
那么方程的两个根是，2，且，
由韦达定理有，
所以．
（2），由，则：
根据均值不等式有：，当且仅当 ，即时取等号，
∴当时，．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式，根据一元二次不等式解集求二次函数解析式，利用基本不等式求函数最值；
16．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）池底设计为边长米的正方形时，总造价最低，其值为元.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由长方体的容积除以深度可得池底的面积，用池底面积除以长方形的长可得池底长方形的宽．池壁面积等于池底长方开的周长乘以池子的高底；（Ⅱ）用池底的单价与池壁的单价各自乘以面积后求和，可得总造价的关系式，再利用基本不等式求出为何值时，总造价最低．
试题解析：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有 (平方米)．池底长方形宽为米，则
S2＝8x＋8×＝8(x＋)．
（Ⅱ）设总造价为y，则
y＝120×1 600＋100×8≥192000＋64000＝256000．当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
所以x＝40时，总造价最低为256000元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．
点睛：本题主要考查基本不等式.基本不等式可将积的形式转化为和的形式,也可将和的形式转化为积的形式,两种情况下的放缩功能,可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式,函数等的取值范围或最值中. 与常用来和化积,而和常用来积化和.

展开更多......

收起↑