资源简介

数学学生讲义
学生姓名： 年级：高一年级 科目：数学 学科教师：
课题 函数零点
授课类型 基础知识回顾 经典例题再现 巩固提升
教学目标 (1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点； (2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系； (3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.
教学重难点 理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点。
授课日期及时段
教学内容
一：函数的零点 1.函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点
（3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 2．函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 注释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 注释： 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布． （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧． 设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2． ①； ②； ③； ④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且． 三：二分法 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 类型一、求函数的零点 例1．已知函数． （1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0； （2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点； （3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负． 【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n 例2. 求下列函数的零点. (1)； (2). 【变式1】求函数：(1)；(2)的零点. 类型二、函数零点的存在性定理 例3．已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？ 【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1） （2）； 【变式2】若函数，则下列判断正确的是（ ） A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解 B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解 C．函数f（x）是奇函数 D．函数f（x）是偶函数 类型三、一元二次方程根的分布 例4． 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0． （1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求的取值范围． （2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围． 【变式1】 关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时： （1）方程有一根； （2）方程有一正一负根； （3）方程两根都大于1； （4）方程有一根大于1，一根小于1． 类型四、用二分法求函数的零点的近似值 例5.求函数的一个正数零点(精确到0.1). 【变式1】若函数的一个正数零点附近的函数值 用二分法计算，其参考数据如下： f（1）=－2f（1.5）=0.625f（1.25）=－0.984f（1.375）=－0.260f（1.4375）=0. 162f（1.40625）=－0. 054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【变式2】用二分法求函数的一个正零点（精确到） 1．函数的零点是（ ）． A.-1,4　　B. -4,1　　C.,1　　D.，-1 2．函数的定义域是（ ） A.　　B.　　C.　　D. 3．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A.　　B.　　C. ，且　　D. ，且 4.已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ） A.　　 B.　 　 C. 　 D. 5. 关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ） A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到； B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点； C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点； D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解． 6.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ） A.　　B.　　C.　　D. 7.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内(　　) A.可能有3个实数根　　B.可能有2个实数根　　C.有唯一的实数根　　D.没有实数根 8. 若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0； B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）=0； C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0； D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0． 9.函数的零点是__________. 10．若至多只有一个零点，则的取值范围是 ． 11．已知抛物线的图象经过第一、二、四象限，则直线不经过第 象限． 12.三次方程在下列连续整数____________之间有根. ①-2与-1　②-1与0　③0与1　④1与2　⑤2与3 13. 已知函数的一个零点为1． （1）求函数的其他零点； （2）求时的取值范围． 14．用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).

展开更多......

收起↑