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第二十四章 圆
24.2.1点和圆的位置关系
学案
一、学习目标
1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法，能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关系.
2.掌握不在同一条直线上的三点确定一个圆，能画出三角形的外接圆.
二、基础知识
点和圆的位置关系：
①观察图中点A，B，C与圆的位置关系.
②设的半径为r，请说出点A，B，C与圆心O的距离与半径的关系.
③反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？
探究（确定圆的条件）：
①我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？
②经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？
③经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
三角形的外接圆：
①一个圆可以有 个内接三角形，但是一个三角形 个外接圆
②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于 .
③三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的 ；直角三角形的外心是 ；钝角三角形的外心在三角形的 .
反证法：
①定义：____________________________________________________________
___________________________
及时练（判断题）
1.过三点一定可以作圆
2.三角形有且只有一个外接圆
3.任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形
4.三角形的外心就是这个三角形任意两条垂直平分线的交点
5.三角形的外心到三边的距离相等
三、巩固练习
1.在公园O的附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )
A.E，F，G B.F，G，H C.G，H，E D.H，E，F
2.如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的( )
A.点M B.点P C.点Q D.点R
3.如图，在中，，，，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作，设线段CD的中点为P，则点P与的位置关系是( )
A.点P在内 B.点P在上 C.点P在外 D.无法确定
4.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，点，点，则的外心的坐标是( )
A. B. C. D.
5.利用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于”时，应先假设( )
A.直角三角形的每个锐角都小于
B.直角三角形有一个锐角大于
C.直角三角形的每个锐角都大于
D.直角三角形有一个锐角小于
6.如图，在中，，，，以点C为圆心，以r为半径作圆，请回答下列问题.
（1）当r取何值时，点A在上，且点B在内部？
（2）当r在什么范围内取值时，点A在外部，且点B在内部？
（3）是否存在这样的实数r，使得点B在上，且点A在内部？
7.如图，圆O是的外接圆，AO平分.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求边BC的长.
8.用反证法证明“等腰三角形的底角都是锐角”.
答案
基础知识
点和圆的位置关系：
①点和圆的三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在圆内.
②OAr，由位置关系得出数量关系.
③点P在圆内；点P在圆上；点P在圆外，由数量关系得出位置关系.
探究（确定圆的条件）：
①经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个，如下图（1）.
②经过两点A，B作圆，由于所作圆的圆心到A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线，这样的圆也可以作出无数个，如下图（2）.
③如图，三点A，B，C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上.
（1）分别连接AB，BC，AC；
（2）分别作线段AB，BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O，则OA＝OB＝OC；
（3）以点O为圆心，OA（或OB，OC）为半径作圆，便可以作经过A，B，C三点的圆.
因为过ABC三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只能有一个，即：不在同一条直线上的三点确定一个圆.
三角形的外接圆：
①无数；只有一
②其外接圆的半径
③内部；斜边的中点；外部
反证法：
①假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.
及时练（判断题）
答案：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.×
巩固练习
1.答案：A
解析：结合网格图可知，，，，，所以E，F，G，H四棵树中需要被移除的为E，F，G，故选A.
2.答案：C
解析：分别作线段AB和BC的垂直平分线，发现它们都经过点Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.故选C.
3.答案：A
解析：在中，，，，O是AC的中点，P是CD的中点，所以OP是的中位线，且.又因为半径，，所以点P在内.
4.答案：D
解析：设点P是的外心.点P到的三个顶点的距离相等，点P是线段BC，AB的垂直平分线的交点.由图可知，点P的坐标为.故选D.
5.答案：A
解析：用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不小于”时,应先假设直角三角形的每个锐角都小于.
故选:A.
6.答案：（1）当时，点A在上，且点B在内部
（2）当时，点A在外部，且点B在内部
（3）不存在这样的实数r，使得点B在上，且点A在内部
解析：（1）在中，，，，
.
当时，点A在上，且点B在内部.
（2）当时，点A在外部，且点B在内部.
（3）不存在这样的实数r，使得点B在上，且点A在内部.
7.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图，连接OB，OC.
，AO平分，
.
在和中，
，，
是等腰三角形.
（2）如图，延长AO交BC于点H.
平分，，，.
设，.，，，，
解得
.
8.答案：已知：在中，.
求证：都是锐角.
证明：假设都是直角或钝角，
，
，
，
这与三角形内角和为180°矛盾.
假设不成立，原命题的结论正确，
即都是锐角.
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