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第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
学案
一、学习目标
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点，并掌握指数函数的图象和性质.
3.能利用指数函数的图象和单调性解决有关指数函数问题.
二、知识归纳
1.指数增长和指数衰减：增长率为常数的变化方式，称为指数增长；衰减率为常数的变化方式，称为指数衰减.
2.指数函数的定义：一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
3.指数函数的图象和性质
图象
性质 定义域 R
值域
过定点 ，即时，
单调性 减函数 增函数
奇偶性 非奇非偶
三、习题检测
1.函数(，且)的图像恒过的定点是( )
A. B. C. D.
2.函数的图象是( )
A. B.
C. D.
3.已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B.
C. D.
4.函数的值域为( )
A. B. C. D.
5.（多选）设函数（且），下列关于该函数的说法正确的是( )
A.若，则
B.若是定义在R上的增函数，则
C.若，则
D.函数是定义在R上的奇函数
6.已知指数函数，且，则实数a的取值范围是___________.
7.函数的值域为________.
8.已知函数(，且)在上恒有，则实数a的取值范围为_________.
9.已知函数(，且)的图像过点，.
（1）求a与b的值；
（2）求时，的最大值与最小值.
10.为了预防某流感，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
答案以及解析
1.答案：B
解析：函数(，且)，令，解得，，的图像过定点.故选B.
2.答案：D
解析：，因此，当时，的图象与的图象相同；当时，的图象与的图象相同.故选D.
3.答案：B
解析：，，.故选B.
4.答案：D
解析：，，又，，令，则，，，即函数的值域是.故选D.
5.答案：AB
解析：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，欲使得该函数为增函数，需满足，解得，故B正确；对于C，，解得，故C错误；对于D，该函数为非奇非偶函数，故D错误.故选AB.
6.答案：
解析：指数函数，且，函数单调递减，，解得.
7.答案：
解析：设，则，，函数在上为增函数，，函数的值域为.
8.答案：
解析：当时，在上是增函数，因为在上恒有，所以.当时，在上是减函数.因为在上恒有，所以，即，所以.综上所述，实数a的取值范围是.
9.解析：（1）点，在函数(，且)的图像上，，，
又不符合题意，.
（2）由（1）可得.
，在其定义域上是增函数，
在区间上单调递增.
在区间上的最小值为，最大值为.
10.解析：（1）依题意，当时，可设，
且，解得.
又由，解得，
所以.
（2）令，即，
得，解得，
即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.
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